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23 mar 2011 · Cours de Mathématiques Sup MPSI PCSI PTSI TSI En partenariat avec l' association Sésamath http://www sesamath net et le site
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LESMÉTHODES ETEXERCICES DE MATHÉMATIQUES MPSI Jean-Marie Monier Professeur en classes de Spéciales au lycée La Martinière-Monplaisir à
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Mathématiques MPSI
Pierron Théo
ENS Ker Lann
2
Table des matièresI Algèbre1
1 Ensembles3
1.1 Vocabulaire général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Opérations sur les parties d"un ensemble . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Relations d"ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2 Applications7
2.1 Vocabulaire général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.1.1 Fonction et application . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.1.2 Restriction et prolongement d"applications . . . . . . .8
2.1.3 Composition d"applications . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.1.4 Image directe et réciproque de parties par une application 9
2.2 Injections, surjections, bijections . . . . . . . . . . . . . . .. . 10
2.2.1 Présentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2.2 Étude des bijections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3 Le principe de récurrence13
3.1 Axiomes de Péano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.2 Principe de récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
4 Ensembles finis17
4.1 Notion d"ensemble fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4.1.1 Présentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4.1.2 Résultats essentiels sur les ensembles finis . . . . . . . 18
4.2 Analyse combinatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4.2.1 Résultats généraux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4.2.2 Combinaisons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5 Arithmétique dansZ21
5.1 Structure additive deZ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5.2 PGCD et PPCM de deux entiers . . . . . . . . . . . . . . . . 22
i iiTABLE DES MATIÈRES
5.2.1 Présentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
5.2.2 Entiers premiers entre eux . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5.2.3 Algorithme d"Euclide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
5.3 Nombres premiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
6 Le corps des réels29
6.1 Relation d"ordre surR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
6.1.1 Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
6.1.2 Bornes supérieure et inférieure d"une partie deR. . . 30
6.2 Théorème de la borne supérieure . . . . . . . . . . . . . . . . 31
6.2.1 Énoncé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
6.2.2 Partie entière d"un réel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
6.2.3 Notion d"intervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
6.3 Droite numérique achevée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
7 Les complexes35
7.1 Présentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
7.2 Rappels sur les complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
7.2.1 Opérations dansC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
7.2.2 Conjugaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
7.2.3 Module . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
7.3 Forme trigonométrique d"un complexe . . . . . . . . . . . . . . 37
7.3.1 Écriture trigonométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
7.3.2 Calcul numérique d"un argument . . . . . . . . . . . . 38
7.4 Exponentielle complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
7.4.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
7.4.2 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
7.4.3 Étude de formes trigonométriques . . . . . . . . . . . . 40
7.5 Racinesn-ièmes d"un complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
7.5.1 Définition et expression . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
7.5.2 Extraction des racines carrées d"un complexe sous forme
algébrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
7.5.3 Équation du second degré . . . . . . . . . . . . . . . . 43
8 Géométrie plane45
8.1 Repérage d"un point dans le plan . . . . . . . . . . . . . . . . 45
8.1.1 Repère cartésien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
8.1.2 Orientation du plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
8.1.3 Repérage polaire du plan . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
8.2 Identification dePdansC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
8.2.1 Présentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
TABLE DES MATIÈRESiii
8.2.2 Représentation analytique complexe d"applicationsde
PdansP. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
8.3 Outils géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
8.3.1 Produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
8.3.2 Produit mixte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
8.3.3 Un exercice corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
8.4 Étude des droites du plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
8.4.1 Description d"une droite dans un repère quelconque . .53
8.4.2 Étude quand le repère d"étude est orthonormé direct . 55
8.4.3 Distance d"un point à une droite . . . . . . . . . . . . . 57
8.4.4 Angles de droites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
8.5 Étude des cercles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
8.5.1 Repérage cartésien d"un cercle . . . . . . . . . . . . . . 58
8.5.2 Autres paramétrages d"un cercle . . . . . . . . . . . . . 61
8.5.3 Intersection droite-cercle . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
9 Coniques65
9.1 Présentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
9.2 Ellipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
9.3 Hyperbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
9.3.1 Paramétrages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
9.3.2 Asymptotes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
9.4 Parabole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
10 Courbes du second degré75
10.1 Changements de repères . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
10.1.1 Effet d"une translation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
10.1.2 Effet d"une rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
10.2 Étude deA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
11 Géométrie dans l"espace usuel 79
11.1 Repérage dansE. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
11.1.1 Repère cartésien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
11.1.2 Orientation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
11.2 Outils géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
11.2.1 Produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
11.2.2 Produit vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
11.2.3 Produit mixte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
11.3 Plans de l"espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
11.3.1 Représentation dans un repère quelconque . . . . . . . 83
11.3.2 Dans un repère orthonormé . . . . . . . . . . . . . . . 84
ivTABLE DES MATIÈRES
11.4 Droites de l"espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
11.4.1 Dans un repère quelconque . . . . . . . . . . . . . . . . 85
11.4.2 Distance d"un point à une droite . . . . . . . . . . . . . 87
11.4.3 Perpendiculaire commune à deux droites . . . . . . . . 88
11.5 Étude des sphères . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
12 Groupes, anneaux, corps93
12.1 Lois de composition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
12.1.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
12.1.2 Propriétés des lois de composition internes . . . . . . .93
12.1.3 Élements remarquables d"un ensemble . . . . . . . . . 94
12.1.4 Propriétés des lois associatives . . . . . . . . . . . . . . 95
12.1.5 Notations multiplicatives . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
12.1.6 Notations additives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
12.2 Groupes et morphismes de groupes . . . . . . . . . . . . . . . 96
12.3 Sous-groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
12.4 Structure d"anneau et de corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
12.4.1 Définitions et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
12.4.2 Règles de calculs dans un anneau . . . . . . . . . . . . 100
13 Résolution de systèmes linéaires 103
13.1 Présentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
13.2 Pivot de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
13.2.1 Opération de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
13.2.2 Quelques exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
13.3 Compléments pour limiter les calculs . . . . . . . . . . . . . . 106
13.4 Compatibilité d"un système linéaire . . . . . . . . . . . . . . .107
14 Structure d"espace vectoriel 109
14.1 Présentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
14.2 Sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
14.2.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
14.2.2 Stabilité de la notion de sous-espace vectoriel . . . .. 112
14.2.3 Somme de sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . 114
14.3 Applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
14.3.1 Vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
14.3.2 Image directe et réciproque de sous-espaces vectoriels . 118
14.3.3 Équations linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
14.3.4 Structure deL(E,E?) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
14.4 Liens entre applications linéaires et sommes directes. . . . . . 120
14.4.1 Construction d"une application linéaire . . . . . . . . .120
TABLE DES MATIÈRESv
14.4.2 Projecteurs d"un espace vectoriel . . . . . . . . . . . . 121
14.4.3 Symétries d"unK-espace vectoriel . . . . . . . . . . . . 123
15 Familles de vecteurs125
15.1 Décomposition d"un vecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
15.1.1 Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
15.1.2 Familles génératrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
15.1.3 Familles libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
15.2 Bases d"un espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
15.2.1 Définition et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
15.2.2 Existence de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
15.2.3 Notion de dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
15.2.4 Théorème fondamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
15.3 Étude pratique d"une famille de vecteurs . . . . . . . . . . . .132
15.4 Systèmes linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
16 Applications linéaires en dimension finie 137
16.1 Image d"une famille de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
16.1.1 Deux propositions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
16.1.2 Image d"une base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
16.1.3 Théorème fondamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
16.2 Calcul de dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
16.2.1 Résultats généraux et applications directes . . . . . .. 140
16.2.2 Étude des suites récurrentes linéaires . . . . . . . . . . 140
16.3 Rang d"une application linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
16.3.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
16.3.2 Théorème du rang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
16.3.3 Équations d"hyperplans . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
16.4 Description analytique d"une application linéaire . .. . . . . . 144
16.4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
16.4.2 Usage d"une représentation analytique . . . . . . . . . 145
16.4.3 Opérations sur les applications linéaires . . . . . . . .. 147
17 Sous-espaces vectoriels d"un espace vectoriel de dimension
finie151
17.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
17.1.1 Dimension d"un sous-espace vectoriel . . . . . . . . . . 151
17.1.2 Représentation d"un sous-espace vectoriel . . . . . . .. 152
17.2 Somme de sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . 152
17.2.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
17.2.2 Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
viTABLE DES MATIÈRES
18 Calcul matriciel157
18.1 Vocabulaire général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
18.2 Opérations sur les matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
18.2.1 Addition et produit par un scalaire . . . . . . . . . . . 158
18.2.2 Multiplication de deux matrices . . . . . . . . . . . . . 158
18.2.3 Transposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
18.3 Le pivot de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
18.3.1 Outils de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
18.3.2 Pivot de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
18.3.3 Résolution d"un système linéaire . . . . . . . . . . . . . 161
18.3.4 Calcul d"un inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
18.4 Interprétation matricielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
18.4.1 Matrice d"une application linéaire . . . . . . . . . . . . 163
18.4.2 Traduction des égalités vectorielles . . . . . . . . . . . 164
18.4.3 Changement de bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
18.5 Exemple de transformation algèbre/technique . . . . . . .. . 167
18.5.1 Transformation algébrique→technique . . . . . . . . . 167
18.5.2 Transformation d"un problème numérique . . . . . . . . 168
18.5.3 Application à la notion de rang d"une matrice . . . . . 169
19 Déterminant173
19.1 Le groupe des permutations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
19.2 Un peu de vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
19.3 Différentes notions de déterminant . . . . . . . . . . . . . . . 176
19.3.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
19.3.2 Déterminant d"une famille de vecteurs . . . . . . . . . 176
19.3.3 Déterminant d"une matrice carrée . . . . . . . . . . . . 177
19.3.4 Déterminant d"un endomorphisme . . . . . . . . . . . . 177
19.4 Calcul de déterminant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
19.5 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
19.5.1 Orientation d"unR-espace vectoriel de dimension finie . 179
19.5.2 Calcul d"inverses de matrices . . . . . . . . . . . . . . . 181
19.5.3 Systèmes de Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
20 Espaces euclidiens185
20.1 Produit scalaire sur un espace vectoriel réel . . . . . . . .. . . 185
20.1.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
20.1.2 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
20.1.3 Norme d"un vecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
20.2 Orthogonalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
20.2.1 Vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
TABLE DES MATIÈRESvii
20.2.2 Orthogonal d"une partie deE. . . . . . . . . . . . . . 188
20.2.3 Familles orthogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
20.3 Cas de la dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
20.3.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
20.3.2 Existence de bases orthonormées . . . . . . . . . . . . 190
20.4 Projection orthogonale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
20.4.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
20.4.2 Distance d"un vecteur à un sous-espace . . . . . . . . . 193
20.4.3 Orthonormalisation de Gram-Schmidt . . . . . . . . . . 194
21 Groupe orthogonal197
21.1 Automorphisme orthogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
21.1.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
21.1.2 Caractérisations algébriques . . . . . . . . . . . . . . . 198
21.1.3 Caractérisation matricielle . . . . . . . . . . . . . . . . 198
21.1.4 Structure deO(E) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
21.2 Étude quand dim(E) = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
21.2.1 Étude deO(E) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
21.2.2 Complément surSO(E) . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
21.3 Étude quand dim(E) = 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
21.3.1 Complément surO(E) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
21.3.2 Détermination pratique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
22 Compléments de géométrie affine 207
22.1 Espaces affines réels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
22.2 Sous-espaces affines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
22.2.1 Définitions et propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
22.2.2 Propriétés de stabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
22.3 Applications affines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
22.3.1 Définitions et premières propriétés . . . . . . . . . . . . 210
22.3.2 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
22.3.3 Représentations d"une application affine . . . . . . . . 215
22.3.4 Images de parties du plan par des applications affines .217
23 Compléments de géométrie euclidienne 219
23.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
23.1.1 Vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
23.1.2 Isométries d"un espace affine euclidien . . . . . . . . . 219
23.2 Transformations planes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
23.2.1 Description des isométries planes . . . . . . . . . . . . 220
23.2.2 Rappels sur les similitudes planes . . . . . . . . . . . . 223
viiiTABLE DES MATIÈRES
23.3 Description des isométries directes en dimension 3 . . .. . . . 224
23.3.1 Quelques éléments de Is
+(E) . . . . . . . . . . . . . . . 224
23.3.2 Description de Is
+(E) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
24 Polynômes à une indéterminée à coefficients dans un corps 229
24.1 Définitions générales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
24.2 Structure algébrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
24.2.1 Lois de composition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
24.2.2 Structure algébrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
24.2.3 Écriture des éléments deK[X] . . . . . . . . . . . . . . 232
24.3 Divisibilité et division . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
25 Arithmétique des polynômes 235
25.1 Généralisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
25.2 Notion de pgcd et ppcm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
25.3 Élements irréductibles deK[X] . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
26 Racines d"un polynôme241
26.1 Vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
26.2 Recherche des ordres de multiplicité des racines . . . . .. . . 242
26.2.1 Dérivation de polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
26.3 Ensemble des racines d"un polynôme . . . . . . . . . . . . . . 245
26.3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
26.3.2 Complémént sur les fonctions polynômes . . . . . . . . 246
26.4 Factorisation d"un polynôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
26.4.1 Polynôme scindé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
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[PDF] Mathématiques MPSI