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?? ???????!2 ??????P( )![0;1]????? ??? ??P( ) = 1 P nA n =X nP(An): ? ??????? ?? ???????A?P(Ac) = 1P(A) ?? AB? ?????P(A)P(B) nA n X nP(An)? A c(= =f!1;!2;:::;!ng? ?? ?????? ?? 1 =P( ) =P(f!1g) ++P(f!ng); ?? ???? ?????P(f!1g) ==P(f!ng) =1n ??? ? ???? ????A=f!i1;!i2;:::;!ikg

P(A) =kn

=CardACard n! =n(n1)21: A kn=n(n1)(nk+ 1)|{z} k??????=n!(nk)!: n k =Ckn=n(n1)(nk+ 1)k!=n!k!(nk)!: )![0;1]?????? ???

P(AjB) =P(A\B)P(B)

???? ????i6=j; Ai\Aj=;;?? nA n:

P(A) =X

nP(AjAn)P(An):

P(A) =P(AjB)P(B) +P(AjBc)P(Bc):

P(AijA) =P(AjAi)P(Ai)P

nP(AjAn)P(An):

P(BcjA) =P(AjBc)P(Bc)P(AjB)P(B) +P(AjBc)P(Bc):

P(A\B) =P(A)P(B):

?? ? ?????P(AjB) =P(A)??P(BjA) =P(B)? ??P(A)6= 0??P(B)6= 0?

P(Ai1\Ai2 \Aik) =P(Ai1)P(Ai2)P(Aik):

P(A\B) =P(A)P(B); P(B\C) =P(B)P(C); P(A\C) =P(A)P(C) ??P(A\B\C) =P(A)P(B)P(C): ??????P(Ai) =p?? ?? ????0kn? P k p k(1p)nk: !R? ???? ????BR; PX(B) =P(f!2 jX(!)2Bg) =P(X2B): P )??? ??????? ?????? ???X? ???? ????!2 ;1A(!) =(

1??!2A

0??! =2A?

X( P

X(B) =P(X2B) =P[

x2B\X(!)fX=xg =X x2B\X( )P(X=x) =X x2BP(X=x): p

X(x) =P(X=x)???? ????x2X(

? ??????? x2E?p(x)0 ??X x2Ep(x) = 1? ;P)?? ???? ????x2E; P(X=x) =p(x):

P(X=x) =1CardE???? ????x2E?

P(1A= 1) =P(A) =p??P(1A= 0) = 1p:

S

P(Sn=k) =n

k p k(1p)nk????k= 0;1;:::;n: N= minfn2Nj1An= 1g=? ??????? ??????n??? ???An?? ??????? ? ??? ? ??????? ????N??? ?P(N=1) =P(Ac1\Ac2\ ) = (1p)(1p)= 0? ?? ?? ???

P(N=n) = (1p)n1p;????n= 1;2;:::?

???? ????k2N; P(X=k) =ekk!: ???? ????k2N; P(Sn=k)!n!1ekk!: ????? ???? ???? ????BR? P

X(B) =P(X2B) =Z

B f

X(x)dx:

? ??????? x2R?f(x)0 ??Z R f(x)dx= 1? ;P)? ?? ???????fX=f? ? ??????? x2R? ?? ?P(X=x) = 0

Supp(fX) =fx2RjfX(x)>0g:

U([a;b])? ??? ?? ??? ?? ???????

f(x) =1ba1[a;b](x) =

1ba??axb

0??x =2[a;b]:

?????? ?????E()? ??? ?? ??? ?? ??????? f(x) =ex?R+(x):

P(Xs+tjXs) =P(fXs+tg \ fXsg)P(Xs)=e(s+t)e

s=et=P(Xt); ???? ????x2R; FX(x) =P(Xx): lim x!1FX(x) = 0??limx!+1FX(x) = 1:

X??Y??? ???? ????

???? ??? ????? ?? ??????? ??? ?????? ??X( )??? ????x2X( ?????x??? ????? ?P(X=x)? ???? ????x2R; FX(x) =Z x 1 f

X(t)dt;

??? ??? ??Y='(X) ??? ???? ????y2'(X(

P(Y=y) =P('(X) =y) =X

x2R??? ???'(x)=yP(X=x): F

Y(y) =P(Yy) =P('(X)y) =P(X'1(y)) =FX('1(y)):

P(a < Y < b) =P('1(a)< X < '1(b)) =Z

'1(b) 1(a)f

X(x)dx=Z

b a f

X('1(y))('1)0(y)dy

E[X] =X

x2X( )xP(X=x):

E[X] =Z

R xf

X(x)dx:

?X(!) =c?? ?????E[X] =E[c] =c? ? ??????? ?? ???????A ?E[1A] =P(A)?

E[aX] =aE[X]??E[X+Y] =E[X] +E[Y]:

E['(X)] =X

x2X( )'(x)P(X=x):

E['(X)] =Z

R '(x)fX(x)dx:

Var(X) =EhXE[X]2i

0: ??????? ??????X???(X) =pVar(X)? ??Var(X) =E[X2]E[X]2 ??Var(aX) =a2Var(X) ??Var(X+a) = Var(X)

Cov(X;Y) =EhXE[X]YE[Y]i

=E[XY]E[X]E[Y]: m r(X) =E[Xr]??r(X) =EhXE[X]ri

P(jXj a)EjXja

P(jXj a)EjXjra

r:

E[jXjr] =Z

R jxjrfX(x)dx=Z a 1 jxjrfX(x)dx+Z a ajxjrfX(x)dx+Z +1 a jxjrfX(x)dx Z a 1 arfX(x)dx+ 0 +Z +1 a arfX(x)dx =arP(X a) +arP(Xa) =arP(jXj a); P

XE[X]a

Var(X)a

2: P

E[X]A(X)XE[X] +A(X)

11A 2:

P(X12B1;:::;Xn2Bn) =P(X12B1)P(Xn2Bn):

1

E[X1Xn] =E[X1]E[Xn]

Var(X1++Xn) = Var(X1) ++ Var(Xn):

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