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GÉOMÉTRIE
COURS DE MATHÉMATIQUES
PREMIÈRE ET DEUXIÈME ANNÉEExo7
Géométrie
Ce recueil regroupe différents chapitres de géométrie de niveau première et deuxième année.
Sommaire
1 La règle et le compas1
1 Constructions et les trois problèmes grecs
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Les nombres constructibles à la règle et au compas
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 Éléments de théorie des corps
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 Corps et nombres constructibles
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 Applications aux problèmes grecs
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216 Exercices
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2 L"inversion29
1 Cercle-droite
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292 L"inversion
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313 Les homographies
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364 Dispositifs mécaniques
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395 Construction au compas seulement
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416 Exercices
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3 La chaînette51
1 Le cosinus hyperbolique
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522 Équation de la chaînette
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553 Longueur d"une chaînette
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594 Exercices
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4 Systèmes itérés de fonctions
651 Introduction
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 652 Topologie deR2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3 Attracteurs
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 694 Isométries, similitudes
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 725 Exemples à partir de similitudes
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 766 Transformations affines
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 787 Exemples à partir des transformations affines
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 828 Dimension de Hausdorff
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 849 Le théorème du collage et le jeu du chaos
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8610 Exercices
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
5 Mathématiques du GPS
931 L"île aux 7 phares
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 932 Se repérer grâce au GPS
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 983 Temps
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
4 Vitesse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
5 Systèmes de coordonnées
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1236 Position approchée
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134La règle et le compasChapitre
1 matériel s"ouvre à vous un monde merveilleux rempli de géométrie et d"algèbre.1. Constructions et les trois problèmes grecs
Nous allons voir dans cette première partie que tout un tas de constructions sont possibles. Mais le but de
ce cours est de répondre à trois problèmes qui datent des mathématiciens grecs : la trisection des angles, la
duplication du cube ainsi que le célèbre problème de la quadrature du cercle.1.1. Premières constructions géométriques
Nous avons à notre disposition un compas et une règle (non graduée). On démarre par des constructions
élémentaires.
SiA,Bsont deux points donnés du plan, alors on peut construire, à la règle et au compas, lesymétrique
deBpar rapport àA. Pour cela, il suffit juste de tracer la droite(AB)et le cercle de centreApassant
parB. Cette droite et ce cercle se coupent enBbien sûr et aussi enB0=sA(B), le symétrique deBpar
rapport àA.AB B 0AC DB I SiA,Bsont deux points donnés du plan, alors on peut construire lamédiatricede[AB]. Pour cela,tracer le cercle centré enApassant parBet aussi le cercle centré enBpassant parA. Ces deux cercles
LA RÈGLE ET LE COMPAS1. CONSTRUCTIONS ET LES TROIS PROBLÈMES GRECS2s"intersectent en deux pointsC,D. Les pointsC,Dappartiennent à la médiatrice de[AB]. Avec la règle
on trace la droite(CD)qui est la médiatrice de[AB].En particulier cela permet de construire lemilieuIdu segment[AB]. En effet, c"est l"intersection de la
droite(AB)et de la médiatrice(CD)que l"on vient de construire.SiA,B,Csont trois points donnés alors on peut construire laparallèleà la droite(AB)passant parC.
Tout d"abord construire le milieuIde[AC]. Puis construireDle symétrique deBpar rapport àI. LafigureABCDest unparallélogramme, donc la droite(CD)est bien la parallèle à la droite(AB)passant
parC.BACD I ABC Pour construire laperpendiculaireà(AB)passant par un pointC, on construit d"abord deux points de la médiatrice de[AB], puis la parallèle à cette médiatrice passant parC.1.2. Règles du jeu
Il est peut-être temps d"expliquer ce que l"on est autorisé à faire. Voici les règles du jeu : partez de points sur
une feuille. Vous pouvez maintenant tracer d"autres points, à partir de cercles et de droites en respectant les
conditions suivantes : vous pouvez tracer une droite entre deux points déjà construits,vous pouvez tracer un cercle dont le centre est un point construit et qui passe par un autre point construit,
•vous pouvez utiliser les points obtenus comme intersections de deux droites tracées, ou bien intersections
d"une droite et d"un cercle tracé, ou bien intersections de deux cercles tracés. LA RÈGLE ET LE COMPAS1. CONSTRUCTIONS ET LES TROIS PROBLÈMES GRECS3• Une remarque importante : la règle est une règle simple, qui n"est pas graduée.•Convention pour les couleurs : les points donnés à l"avance sont les points bleus. Les constructions se
font en rouge (rouge pâle pour les constructions qui viennent en premier, rouge vif pour les constructions
qui viennent en dernier).1.3. Conserver l"écartement du compas
On peutconserver l"écartement du compas. C"est une propriété importante qui simplifie les construc-
tions.Si l"on a placé des pointsA,B,A0alors on peut placer la pointe enAavec un écartement de longueurAB.
C"est-à-dire que l"on peut mesurer le segment[AB], puis soulever le compas en gardant l"écartement
pour tracer le cercle centré enA0et d"écartementAB.Cette opération se justifie de la façon suivante : on pourrait construire le pointB0tel queA0ABB0soit un
parallélogramme et ensuite tracer le cercle centré enA0passant parB0.AA 0BB0•
En conservant l"écartement du compas, nous pouvons plus facilement construire les parallélogrammes,
avec seulement deux traits de compas. Donnons-nous trois pointsA,B,C. On mesure l"écartement[AB],on trace le cercle centré enCde rayonAB. Puis on mesure l"écartement[BC]et on trace le cercle centré
enAde rayonBC. Ces deux cercles se recoupent en deux points, dont l"un estD, tel queABCDest un parallélogramme. LA RÈGLE ET LE COMPAS1. CONSTRUCTIONS ET LES TROIS PROBLÈMES GRECS4BACD1.4. Thalès et Pythagore
Voyons comment le théorème de Thalès nous permet de diviser un segment ennmorceaux. Fixonsnun entier. Voici les étapes pour diviser un segment[AB]ennparts égales. 1. T racerune droite Dquelconque, passant parA, autre que la droite(AB).2.Prendre un écartement quelconque du compas. Sur la droiteDet en partant deA, tracernsegments de
même longueur. On obtient des pointsA1,A2,...,An. 3.Tracer la droite(AnB). Tracer les parallèles à cette droite passant parAi. Ces droites recoupent le segment
[AB]en des pointsB1,B2,...,Bn1qui découpent l"intervalle[AB]ennsegments égaux. Cette construction fonctionne grâce au théorème de Thalès.ABA 1ABA 1A 2A 3A 4A 5AB A 1A 2A 3A 4A 5ABA 1A 2A 3A 4A 5AB 1B 2B 3B 4BABVoyons maintenant comment le théorème de Pythagore va nous permettre de faire apparaître des racines
carrées. Supposons que l"on parte d"un segment de longueur1. Il est facile de construire un segment de
longueurp2: c"est la longueur de la diagonale du carré de côté1. Repartons du segment diagonal de
longueurp2: on construit un triangle rectangle avec un côté de longueur1, et l"hypoténuse a alors pour
longueurp3(voir le calcul plus bas). Repartant de ce segment, on construit un " escargot » avec des
segments de longueursp4, p5... LA RÈGLE ET LE COMPAS1. CONSTRUCTIONS ET LES TROIS PROBLÈMES GRECS51p211p21p31
1p21p31
p411p21p31
p41 p51 p61 p71 p81p9 1p101Tout ceci se justifie par le théorème de Pythagore : dans un triangle rectangle ayant un côté de longueur
`et un autre de longueur1, l"hypoténuse est de longueurp`2+1. En partant de`1=1, on trouve
`2=q` 21+1=p2, puis`3=q`
22+1=p3,`4=p4=2, et plus généralement`n=pn.1
`p` 2+1Voici maintenant trois questions qui datent de la Grèce antique et qui vont nous occuper le reste du chapitre.
1.5. La trisection des angles
Considérons un angle, c"est-à-dire la donnée d"un pointAet de deux demi-droites issues de ce point. Nous
savons diviser cet angle en deux à l"aide d"une règle et d"un compas : il suffit de tracer la bissectrice. Pour
cela on fixe un écartement de compas et on trace un cercle centré enA: il recoupe les demi-droites en
des pointsBetC. On trace maintenant deux cercles centrés enBpuisC(avec le même rayon pour lesdeux cercles). SiDest un point de l"intersection de ces deux cercles alors la droite(AD)est la bissectrice de
l"angle. LA RÈGLE ET LE COMPAS1. CONSTRUCTIONS ET LES TROIS PROBLÈMES GRECS6A AB CD Problème de la trisection.Peut-on diviser un angle donné en trois angles égaux à l"aide de la règle et du compas?1.6. La duplication du cubeCommençons par un problème assez simple : étant donné un carré, construire (à la règle et au compas) un
carré dont l"aire est le double. C"est facile, car cela revient à savoir tracer un côté de longueurap2à partir
d"un côté de longueura. En fait la diagonale de notre carré original a la longueur voulueap2. Partant de
cette longueur, on construit un carré dont l"aire est(ap2)2=2a2: son aire est bien le double de celle du
carré de départ.a aa p2 a p2S=a2S=2a2
Posons nous la question dans l"espace : étant donné un cube, peut-on construire un second cube dont le
volume est le double de celui du premier? Si le premier cube a ses côtés de longueura, alors le second doit
avoir ses côtés de longueura3p2. La question se formule alors de la manière suivante : LA RÈGLE ET LE COMPAS2. LES NOMBRES CONSTRUCTIBLES À LA RÈGLE ET AU COMPAS7a V=a3a 3p2 V=2a3Problème de la duplication du cube.Étant donné un segment de longueur1, peut-on construire à la règle et au compas un segment de longueur
3p2?1.7. La quadrature du cercle
Problème de la quadrature du cercle.
Étant donné un cercle, peut-on
construire à la règle et au compas un carré de même aire?rprprS=r2S=r2Cela revient à construire un segment de longueurpà la règle et au compas, à partir d"un segment de
longueur 1.2. Les nombres constructibles à la règle et au compas
Pour résoudre les trois problèmes grecs, il va falloir les transformer complètement. D"une question géo-
métrique nous allons passer à une question algébrique. Dans cette partie on ramène le problème de la
construction de points dans le plan à la construction de points sur la droite numérique réelle.
2.1. Nombre constructible
On considère le plan euclidienPmuni d"un repère orthonormé, que l"on identifiera àR2(ouC). On définit
des ensembles de pointsCi Ppar récurrence. LA RÈGLE ET LE COMPAS2. LES NOMBRES CONSTRUCTIBLES À LA RÈGLE ET AU COMPAS8OI On se donne au départ seulement deux points :C0=fO,IgoùO= (0,0)etI= (1,0).•Fixonsi>0, et supposons qu"un certain ensemble de pointsCisoit déjà construit. Alors on définit
Ci+1par récurrence, comme l"ensemble despoints élémentairement constructiblesà partir deCi.
C"est-à-dire :P2 Ci+1si et seulement si
0.P2 Ci
1. ou P2(AB)\(A0B0)avecA,B,A0,B02 Ci, 2. ou P2(AB)\C(A0,A0B0)avecA,B,A0,B02 Ci, 3. ou P2 C(A,AB)\C(A0,A0B0)avecA,B,A0,B02 Ci. On a notéC(A,r)le cercle de centreAet de rayonr.Il faut comprendre cette construction ainsi : siA,B,A0,B0ont été construits et sont dansCialors, à partir de
ces points, on peut tracer plusieurs objets à la règle et au compas : par exemple la droite(AB)-à l"aide de
la règle- ou le cercle de centreA0et de rayon de longueurA0B0en plaçant la pointe du compas enA0avec
un écartement faisant passer le cercle parB0. Si cette droite(AB)et ce cercleC(A0,A0B0)s"intersectent alors
les points d"intersection sont par définition dansCi+1.Voici les trois situations possibles. Les pointsA,B,A0,B0en bleu sont dansCi, et les pointsPen rouge sont
dansCi+1.P AB A 0B 0P P 0AB A 0B 0P P 0AB A 0B 0Voici la première étape. Partant deC0(en bleu à gauche), on peut tracer une droite et deux cercles (au
milieu), ce qui donne pourC1quatre points supplémentaires (en rouge à droite).LA RÈGLE ET LE COMPAS2. LES NOMBRES CONSTRUCTIBLES À LA RÈGLE ET AU COMPAS9OIOIOIPourC2on repartirait de tous les points (rouges ou bleus) deC1, et on tracerait tous les cercles ou droites
possibles (il y en a beaucoup!), et les points d"intersection formeraient l"ensembleC2.Définition 1.
C =S i>0Ciest l"ensemble despoints constructibles. Autrement ditC=C0[ C1[ C2[ De plusP2 Csi et seulement s"il existei>0 tel queP2 Ci. CRR est l"ensemble des abscisses des points constructibles : ce sont lesnombres (réels) construc- tibles. CCC est l"ensemble des affixes des points constructibles : ce sont lesnombres complexes construc-tibles.Attention! Même si deux pointsA,Bsont constructibles et que l"on peut tracer la droite(AB), pour autant
les points de(AB)ne sont pas tous constructibles. Seuls les points d"intersection de(AB)avec d"autres objets
construits sont constructibles.Déterminer les points constructiblesCou déterminer les nombres constructiblesCRsont deux problèmes
équivalents. En effet, si(x,y)est un point constructible alors par projection sur l"axe des abscisses nous
obtenons le réel constructiblex, et de même pouryprojection sur l"axe des ordonnées, puis report sur
l"axe des abscisses. Réciproquement on peut passer de deux nombres constructiblesx,y2Rà un point
constructible(x,y)dans le plan. Voici comment : partant du point(y,0)on construit(0,y)sur l"axe desordonnées par un coup de compas en reportanty. Une fois que(x,0)et(0,y)sont construits, il est facile
de construire(x,y).0y(0,y)x(x,y)2.2. Premières constructions algébriquesProposition 1.
Si x,x0sont des réels constructibles alors :
1. x +x0est constructible,LA RÈGLE ET LE COMPAS2. LES NOMBRES CONSTRUCTIBLES À LA RÈGLE ET AU COMPAS102.x est constructible,
3. x x0est constructible. 4. Si x06=0, alors x=x0est constructible.
Tous ces résultats sont valables si l"on remplace x,x0par des nombres complexes z,z0.Démonstration.
1.La construction pour le réelx+x0est facile en utilisant le report du compas (on reporte la longueurx0
à partir dex). Une autre méthode est de construire d"abord le milieux+x02puis le symétrique de0par
rapport à ce milieu : c"estx+x0. La somme de deux nombres complexesz+z0correspond à la construction d"un parallélogrammede sommets0,z,z0,z+z0: les points d"affixes0,z,z0étant supposés constructibles, on construit un
parallélogramme de sorte quez+z0soit le quatrième sommet.0zz0z+z02.
L"opposé du réelx(resp. du complexez) s"obtient comme symétrique par rapport à l"origine : tracez la
droite passant par0etx(resp.z); tracez le cercle de centre0passant parx(resp.z); ce cercle recoupe la droite enx(resp.z).0z zxx3. Commençons par le produit de deux nombres réelsxx0. On suppose construits les points(x,0)et (0,x0)(dessin de gauche). On trace la droiteDpassant par(x,0)et(0,1). On construit ensuite -à larègle et au compas- la droiteD0parallèle àDet passant par(0,x0). Le théorème de Thalès prouve que
D0recoupe l"axe des abscisses en(xx0,0).1
xx 0xx01 x=x0x 0x LA RÈGLE ET LE COMPAS2. LES NOMBRES CONSTRUCTIBLES À LA RÈGLE ET AU COMPAS11 4. P ourle quotient la méthode est similaire (dessin de droite).5.Il reste à s"occuper du produit et du quotient de deux nombres complexes. Tout d"abord, siz=ei
est un nombre complexe constructible, alorsest constructible (considérer le cercle centré à l"origine
qui passe parz; il recoupe l"axe des abscisses en(,0)). Le nombreeiest aussi constructible : c"estl"intersection de la droite passant par l"origine etzavec le cercle unité. Réciproquement aveceteion
construit facilementz=ei.e ieie ie i0e i(+0) 0+0 Maintenant siz=eietz0=0ei0alorszz0= (0)ei(+0). Le réel0est constructible commenous l"avons vu au-dessus. Il reste à construire le nombre complexeei(+0), qui correspond à la somme
de deux angleset0. Cela se fait simplement, à partir du cercle unité, en reportant au compas la
mesure d"un angle à partir de l"extrémité de l"autre. Pour le quotient la méthode est similaire.Corollaire 1.N CRZ CRQ CRAutrement dit, tous les rationnels (et en particulier tous les entiers) sont des nombres réels constructibles.
La preuve découle facilement de la proposition :Démonstration.
Puisque1est un nombre constructible alors2=1+1est constructible, mais alors3=2+1est constructible et par récurrence tout entiern>0 est un élément deCR. Comme tout entiern>0est constructible alorsnl"est aussi; donc tous les entiersn2Zsont constructibles.Enfin pourpq
2Q, comme les entiersp,qsont constructibles, alors le quotientpqest constructible et ainsi
Q CR.Nous allons voir queCRcontient davantage de nombres que les rationnels.Proposition 2. Si x>0est un nombre constructible, alorspx est constructible.Remarques :
1. La réciproque est vraie. En effet six0=pxest un nombre constructible, alors par la proposition1 : x0x0est constructible. Orx0x0=pxpx=x, doncxest constructible. LA RÈGLE ET LE COMPAS2. LES NOMBRES CONSTRUCTIBLES À LA RÈGLE ET AU COMPAS122.On peut en déduire aussi que siz2Cest constructible alors les racines carrées (complexes) dezsont
constructibles. On utilise pour cela la racine carrée du module et la bissection de l"argument comme on
l"a vue au paragraphe 1.5 3.