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Séries (Math 3) Par LAADJ Toufik(2) Pour Deuxi`eme année Licence Domaine : Sciences et Technologies Septembre 2013 (1)USTHB : Bab Ezzouar Alger, 

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UNIVERSITE DESSCIENCES ET DE LATECHNOLOGIE

HOUARIBOUMEDIENNE(1)

FACULTE DESMATHEMATIQUES

D

EPARTEMENT D'ANALYSENotes de Cours du module

Series (Math 3)

Par

LAADJ Touk

(2) Pour

Deuxieme annee Licence

Domaine : Sciences et Technologies

Septembre 2013(1)

USTHB : Bab Ezzouar Alger, Algerie.

(2)Page Web :h ttp://perso.usthb.dz/~tlaadj/

Table des matieres

Table des matieres

iii

Description du Cours

iv

0 Rappel sur les suites numeriques reelles

1

1 Series numeriques

3

1.1 Generalites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.1.1 Convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.1.2 Proprietes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2 Series a termes positifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.2.1 Regles de comparaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.2.2 Series de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.2.3 Critere de D'Alembert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.2.4 Critere de Cauchy (ou regle de Cauchy) . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.2.5 Critere de Raabe-Duhamel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

1.2.6 Critere de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

1.3 Series a termes quelconques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14 i

Table des matieres

1.3.1 Critere d'Abel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

1.3.2 Series alternees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

1.4 Series absolument convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

1.5 Series commutativement convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

2 Suites et series de fonctions

19

2.1 Suites de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

2.1.1 Convergence simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

2.1.2 Convergence uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

2.1.3 Theoremes de passage a la limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

2.2 Series de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

2.2.1 Domaine de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

2.2.2 Convergence uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

2.2.3 Convergence normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

2.2.4 Proprietes des series de fonctions uniformement convergentes . . . . . . .

24

3 Series entieres

26

3.1 Generalites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

3.2 Rayon de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

3.2.1 Existence du rayon de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

3.2.2 Calcul du rayon de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

3.3 Proprietes des series entieres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

3.3.1 Continuite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

3.3.2 Derivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

3.3.3 Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

3.3.4 Operations sur les series entieres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33
ii

Table des matieres

3.4 Fonctions developpables en serie entiere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

3.4.1 Serie de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

3.5 Series entieres et equations dierentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

4 Series de Fourier

39

4.1 Series trigonometriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

4.1.1 Representation complexe d'une serie trigonometrique . . . . . . . . . . .

41

4.1.2 Calcul des coecients de la serie trigonometrique . . . . . . . . . . . . .

41

4.2 Series de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

42

4.2.1 Series de Fourier de fonctions 2-periodiques . . . . . . . . . . . . . . . .42

4.2.2 Series de Fourier d'une fonction de periode arbitraire . . . . . . . . . . .

45

4.2.3 Series de Fourier de fonctions non periodiques . . . . . . . . . . . . . . .

46
4.2.4 Egalite de Parseval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .47

References49

iii

Description du Cours

Objectif du Cours

L'objectif du module Series (Math 3) est l'etude des sommes innies u

0+u1+u2+:::+un+::::

Ces notes de cours donnent les principales denitions et les resultats concernant ces sommes innies (series), illustres par des exemples.

Contenu du Cours

Series numeriques

Suites et series de fonctions

Series entieres

Series de Fourier

Resultats d'apprentissage

A la n du cours, l'etudiant doit avoir une comprehension approfondie de la theorie des series et devrait ^etre en mesure d'appliquer ces connaissances pour resoudre les exercices dans une variete de contextes. En particulier, l'etudiant doit ^etre capable de : iv

Description du Cours

Comprendre ce qu'une serie est.

Comprendre la distinction entre une suite, suite des sommes partielles et une serie. Comprendre la condition necessaire de convergence. Etudier la nature des series en utilisant les divers criteres de convergence. Comprendre la convergence absolue et semi convergence. Etudier la convergence simple et uniforme des suites et des series de fonctions. Trouver le rayon de convergence et la somme d'une serie entiere. Trouver le developpement en series entieres d'une fonction.

Etudier la convergence d'une serie de Fourier.

Developper une fonction en serie de Fourier.

Trouver la somme des series numeriques en utilisant les series de Fourier. v C hapitre0 Rappel sur les suites numeriques reellesUne suite numerique reelle est une application f:N!R n7!f(n):

On notef(n) paru(n) ouun:

unest le terme general de la suite (un)n2N;ou (un)n;ou simplement (un):

La suite (un) converge vers une limitelsi

8" >0;9N2Ntel que8nNimpliquejunlj< ":ll+"l"u

npournNOn lit "la suite (un) tends versllorsquentends vers +1" et on ecrit limn!+1un=lou simplementun!l: La suite (un) diverge si elle ne converge pas ou limn!+1un=1:

Si la limite d'une suite existe elle est unique.

Une suite reelle croissante et majoree converge.

1

0. Rappel sur les suites numeriques reelles

Une suite reelle decroissante et minoree converge. Deux suites (un) et (vn) sont adjacentes, si (un) croissante, (vn) decroissante,unvnet lim n!+1(unvn) = 0: Si (un) et (vn) sont deux suites adjacentes, alors elles convergent vers la m^eme limite.

Suites de Cauchy

On dit que (un) est une suite de Cauchy si

8" >0;9N2Ntel que8n;mNimpliquejunumj< ":u

nu m" n;mNUne suite (un) converge si et seulement si elle est de Cauchy. Si (un) n'est pas une suite de Cauchy, elle diverge. 2 C hapitre1

Series numeriquesSommaire

1.1 Generalites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.1.1 Convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.1.2 Proprietes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2 Series a termes positifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.2.1 Regles de comparaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.2.2 Series de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.2.3 Critere de D'Alembert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.2.4 Critere de Cauchy (ou regle de Cauchy) . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.2.5 Critere de Raabe-Duhamel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

1.2.6 Critere de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

1.3 Series a termes quelconques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

1.3.1 Critere d'Abel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

1.3.2 Series alternees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

1.4 Series absolument convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

1.5 Series commutativement convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . .

16 3

1.1. Generalites

1.1 Generalites

Soit (un) une suite de nombres reels, on pose

S 0=u0; S

1=u0+u1;

S

2=u0+u1+u2;

S n=u0+u1+:::+un=nP k=0u k:

Denition 1

La suite (Sn)nest appeleesuite des sommes partielles.

La limite de (Sn) est appeleeseriede terme generalun.Notation.Une serie de terme generalunest notee+1P

n=0u n, ouP n0u n, ou simplementPun.

1.1.1 Convergence

Denition 2 (Convergence)

Si (Sn)nest convergente versS, la serie+1P

n=0u nest diteconvergenteet

S= limn!+1Sn=+1X

n=0u n est sa somme.

Une serie qui n'est pas convergente est ditedivergente.Le nombrern=SSn=un+1+un+2+:::est appele lerested'ordren.

Exemple 1

a)Serie geometrique. Le terme general d'une serie geometrique estun=arn; a6= 0:

La somme partielleSn=8

:a

1rn+11r; r6= 1;

a(n+ 1); r= 1:

La serie

+1P n=0u nest convergente sijrj<1 et divergente sijrj 1:

Dans le cas de convergence

+1P n=0u n=a1r: 4

1.1. Generalites

b)Serie harmonique. Le terme general d'une serie harmonique estun=1n ; n2N:

La serie

+1P n=11n est une serie divergente. On ecrit+1P n=11n = +1: c) +1P n=1u nouun=1n(n+ 1)=1n

1n+ 1:Sa somme partielle est

S n=u1+u2+:::+un= 112
+12 13 +:::1n 1n+ 1 = 11n+ 1:

On a lim

n!+1Sn= 1, alors la serie+1P n=1u nest convergente et sa sommeS= 1.

On ecrit

+1P n=1u n= 1.Condition necessaire de convergence Si

Punest convergente, alors limn!+1un= 0.

Remarque 3

a)La condition limn!+1un= 0 n'est susante. b)Si limn!+1un6= 0, alorsPunest divergente.Denition 4

Si lim

n!+1un6= 0, la seriePunest ditegrossierement divergente.Exemple 2 a)On a limn!+11n = 0 mais la serie+1P n=11n diverge (non grossierement). b)La serie+1P n=1cosn est grossierement divergente car limn!+1cosn = 16= 0.1.1.2 Proprietes

Proposition 5

Si les series

PunetPvnne dierent que par un nombre ni de termes, alors les deux series sont de m^eme nature. En cas de convergence, elles n'ont pas necessairement la m^eme somme. 5

1.2. Series a termes positifs

Corollaire 6

On ne change pas la nature d'une serie

Punsi on lui rajoute ou on lui retranche un nombre ni de termes.

Remarque 7

La nature d'une serie ne depend pas de ses premiers termes.

Proposition 8

Si +1P n=0u n=Uet+1P n=0v n=Vsont convergentes, alors+1P n=0(un+vn); ;2Rconverge et +1P n=0(un+vn) =U+V.

Exemple 3

Considerons la serie

+1P n=1 32
n+2n(n+ 1) . Cette serie est convergente car les series+1P n=112 net +1P n=11n(n+ 1)convergent. De plus on a +1X n=1 32
n+2n(n+ 1) = 3+1X n=112 n+ 2+1X n=11n(n+ 1)= 31 + 21 = 5:Denition 9 (Critere de Cauchy) Une serie est dite de Cauchy si la suite des sommes partielles est de Cauchyi.e.

8" >0;9N2Ntel que8n;m2N;mnNimpliquejSmSnj< ";

ou

8" >0;9N2Ntel que8n;m2N;mnNimplique

m X k=n+1u k < ":1.2 Series a termes positifs

Denition 10

Une serie

Punest dite serie a termes positifs siun0 pour toutnN0,N02N.Exemple 4

La serie

+1P n=1n5n

2est une serie a termes positifs.6

1.2. Series a termes positifs

Proposition 11

Une serie a termes positifs

Punconverge si et seulement si la suite des sommes partielles(Sn)n est majoree.

1.2.1 Regles de comparaison

Theoreme 12 (Regle de comparaison)

Soit PunetPvndeux series a termes positifs. On suppose que0unvnpour toutn2N.

Alors :

Pvnconverge)Punconverge.

Pundiverge)Pvndiverge.

Exemple 5

Considerons les series

+1P n=0sin12 n et+1P n=012 n:quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47