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Dans le triangle ABC, I est le milieu de [AB] et J est le milieu de [AC] donc (IJ) est parallèle à (BC) P 13 Si deux droites sont symétriques par rapport à un point

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I est le milieu de [AB] J est le milieu de [AC] Que constate-t-on ? I J (IJ) // (BC) et BC = 2 x IJ B C Premier théorème des milieux : Dans un triangle,

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Si une droite coupe un segment perpendiculairement en son milieu, alors c'est la Réciproque du théorème de la droite des milieux : Dans un triangle, si une

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b) Démontrez que C est le milieu de [DE] 3) M est un point de la droite d parall `ele `a l'axe des ordonnées Les droites (AB) et (CM) sont parall`eles

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les diagonales se coupent en leur milieu b) Prouver qu'un quadrilatère est un rectangle Pour prouver qu'un quadrilatère est un rectangle, il suffit de : –

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1 Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr LES THEOREMES DES MILIEUX I. En hypothèse : deux milieux Introduction : A I est le milieu de [AB] J est le milieu de [AC] Que constate-t-on ? I J (IJ) // (BC) et BC = 2 x IJ B C Premier théorème des milieux : Dans un triangle, si une droite passe par les milieux de deux côtés, alors elle est parallèle au troisième côté. Exercices conseillés En devoir p230 n°11, 12 et 15 p228 n°1 et 4 p236 n°72 // ...alors Si

2 Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr Deuxième théorème des milieux : Dans un triangle, la longueur du segment joignant les milieux de deux côtés est égale à la moitié de celle du troisième côté. Exercices conseillés p230 n°13 p228 n°2 et 5 Méthode : K A B ABCD est un rectangle tel que BD = 7 cm et AD = 3 cm. L K et L sont les milieux respectifs de [AB] et 3cm 7cm [AD]. 1) Démontrer que (KL)//(BD). D C Hypothèses : 1) ABCD est un rectangle 2) BD = 7 cm 3) AD = 3 cm 4) K milieu de [AB] 5) L milieu de [AD]. Par hypothèse, K milieu de [AB] (1) et L milieu de [AD] (2). J'utilise le premier théorème des milieux et donc (KL)//(BD). 2) Calculer la longueur LK. Dans un triangle, la longueur du segment joignant les milieux de deux côtés est égale à la moitié de celle du troisième côté, donc LK = ½ BD = ½ x 7 = 3,5 cm. Exercices conseillés En devoir p231 n°19 à 27 p231 n°30 p238 n°88 p236 n°74 p237 n°78 p241 n°1

3 Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr II. En hypothèse : un milieu et deux droites parallèles Introduction : B I est le milieu de [AB] (d) La droite (d) passant par I est parallèle à (BC) Que constate-t-on ? I (d) coupe [AC] en son milieu J. A C J Troisième théorème des milieux : Dans un triangle, si une droite passe par le milieu d'un côté et est parallèle à un deuxième côté, alors elle coupe le troisième en son milieu. Exercices conseillés En devoir p230 n°14 et 16 p190 n°1 J Si ... alors

4 Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr Méthode : Les hypothèses sont codées sur la figure. Démontrer que J est le milieu de [AC]. Hypothèses : 1) I milieu de [AB] 2) O milieu de [AM] 3) (IJ)//(BC) (vient dans un 2e temps !) Par hypothèse, I est milieu de [AB] (1) et O est milieu de [AM] (2). J'utilise le premier théorème des milieux et donc (IO)//(BM), d'où par construction (IJ)//(BC) (3). De plus, I est milieu de [AB] (1) et (IJ)//(BC) (3). J'utilise le troisième théorème des milieux et donc J est le milieu de [AC]. Exercices conseillés En devoir p228 n°3 p230 n°17 p231 n°18 et 28 p232 n°31 et 32 p239 n°93 p236 n°73 p237 n°76 A B C M O J Hors du cadre de la classe, aucune reproduction, même partielle, autres que celles prévues à l'article L 122-5 du code de la propriété intellectuelle, ne peut être faite de ce site sans l'autorisation expresse de l'auteur. www.maths-et-tiques.fr/index.php/mentions-legales

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