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Image des intervalles

Dedou

Mars 2012

Exemples d'images

L'image de [2;3] par la fonction carre est [4;9]L'image de ]2;3[ par la fonction carre est [0;9[.Exo 1

Quelle est l'image de [2;1[ par la fonctionx7!1 +x4?

Denition de l'image

Denition

Soitfune fonction etIune partie deDDf.

L'image deIparf, noteef(I) est l'ensemble des nombres de la formef(x) avecx2I: f(I) :=ff(x)jx2Ig:

Valeurs intermediaires

Theoreme

Soitfune fonction continue etIun intervalle contenu dansDDf. Alorsf(I) est un intervalle.Autrement dit, l'image d'un intervalle par une fonction continue est un intervalle.

Intervalles

Il y a environ sept sortes d'intervalles. Mais on peut donner une denition uniforme. Les mathematiciens aiment bien ce genre de "factorisation".Denition Une partieIdeRest un intervalle ssi chaque fois qu'elle contient deux nombres, elle contient aussi tout l'intervalle entre ces deux nombres :

8x;y;z2R;x2Ietz2Ietx

Cas des fonctions croissantes

Proposition

Sifest continue croissante sur l'intervalle [a;b] alors on a f([a;b]) = [f(a);f(b)]

Si de plusfest strictement croissante, on a aussi

f(]a;b[) =]f(a);f(b)[:Contre exemple L'image par la fonction partie entiereEde l'intervalle [0;1] n'est pas l'intervalle [0;1].

Cas des fonctions quelconques

Pour calculer l'image par des fonctions non monotones, on utilise la formule suivante pour l'image d'une reunion :Proposition L'image par une fonction quelconquefde la reunionI[Jde deux intervalles est la reunionf(I)[f(J) des images des deux intervalles.Exemple

Soitfla fonction carre. On a

f([2;3]) =f([2;0][[0;3]) =f([2;0])[f([0;3]) = [0;4][[0;9].

Et doncf([2;3]) = [0;9]:Exo 2

Expliquez le calcul def(]4;1]).

Warning

Attention

L'image d'une intersection n'est en general pas l'intersection des images.Exo 3 Calculez sin([0;2]\[;3]) et sin([0;2])\sin([;3]) .

Les bornes des fonctions continues

Theoreme

L'image par une fonction continue d'un intervalle ferme borne est aussi un intervalle ferme borne.Autrement dit, sur un intervalle [a;b] de son domaine de denition, une fonction continue est bornee et atteint ses bornes.Encore autrement dit L'image d'un intervalle [a;b] par une fonction continue est un intervalle ferme borne [m;M].Cet enonce ne nous etonne pas du tout, avec nos potes, vu que pour les fonctions qu'on conna^t, ca se voit gros comme une maison sur le tableau de variations. Pourtant ce theoreme n'est pas facile a prouver. Ceux que ca interesse sont bienvenus a essayer de comprendre la preuve.

Exemple

Exo corrige

On posef:=x7!x36x+ 1. Calculerf([2;4]).

Exo Exo 4

On posef:=x7!x315x+ 2. Calculerf([3;5]).

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