[PDF] Les vecteurs

2 juil 2018 · Somme de deux vecteurs – Relation de Chasles Règle du parallélogramme −−→ OA + −→ Centre de gravité d'un triangle Soit ABC

[PDF] Géométrie Vectorielle - JavMathch

1 3 3 Point milieu et centre de gravité En utilisant la règle de Chasles, simplifier le plus possible les expressions suivantes : a) # — Test de colinéarité I: Pour déterminer si deux vecteurs du plan ou de l'espace sont coli- néaires et Cp´4;3q Remarque: Le produit scalaire est un outil mathématique que l'on utilise fré-

[PDF] Vecteurs

ACTIVITÉ 1 Patinage mathématique L'entraîneur (un brin soit de même origine afin d'utiliser la règle du parallélogramme ; Vérifier la colinéarité de deux vecteurs Ex 74 p 18 CC′ = #»0 3) On note G le centre de gravité de ABC

[PDF] CHAPITRE III VECTEURS - Serveur de mathématiques - LMRL

Le point d'équilibre est alors caractérisé par l'égalité GA GB GC 0 + + = , alors que MA MB MC 0 + + ≠ • Définition On appelle centre de gravité d'un triangle ( )

Définition Deux vecteurs u et v sont égaux si et seulement si ils ont Règle du parallélogramme Lorsque La relation de colinéarité entre un vecteur quelconque u et le vecteur Caractérisation vectorielle du centre de gravité d'un triangle

[PDF] Vecteurs en Seconde

e programme de mathématiques de l'enseignement français en classe de seconde comporte Savoir utiliser la colinéarité pour démontrer un alignement Connaître l'égalité vectorielle caractérisant la position du centre de gravité d'un triangle Construire, à la règle non graduée et au compas seul, le quatrième sommet

[PDF] Seconde Géométrie vectorielle - Free

Remarque : A chaque translation correspond un vecteur qu'on appelle vecteur de la translation ( Le centre de gravité du triangle ABC est le point G tel que → b) règles de calcul Propriétés : Colinéarité de deux vecteurs a) vecteurs

Définition

Un vecteur?udont un représentant est le vecteur-→AB , est une classe d"équivalence définie par : une direction : celle de la droite (AB) un sens : de A vers B une longueur appelé norme du vecteur?uet notée ?u||ou||-→AB||.

Il s"agit de la distance AB?0

AB u? u u

Remarque :

Par abus de langage, on dira indistinctement

le vecteur ?uou le vecteur-→AB

Somme de deux vecteurs - Relation de Chasles

Pour additionner deux vecteurs?u=-→AB et?v=-→BC on utilise la relation de Chasles : AB BC AC ?u? v u+?v AB C

Règle du parallélogramme

OA OB OC --→OA+-→OBOA B C

L"addition de deux vecteurs est :commutative

:?u+?v=?v+?u

associative

possède un

élément neutre

:?0 tout vecteur-→AB possède un opposé -→BA=--→AB .

Application de la relation de Chasles

La relation de Chasles permet :

d"" éclater » un vecteur en introduisant un point : AB AC CB de réduire une somme : --→MN+--→NA? ?+-→AP=--→MA+-→AP? ?=--→MP La relation de Chasles est un outil fondamental pour montrerquedesvecteurs sontcolinéaires parexemple. Égalité de deux vecteurs - Milieu d"un segment -→AB=--→CD?

ABDC parallélogramme

AB C D

I milieu du segment [AB]

???A I B -→AI=1

2-→AB ou-→AI=-→IB ou-→AI+-→IB=?0

Les vecteurs

Le point de vue géométrique

Milieu d"un segment

Soit ABC un triangle et I le milieu de [BC].

=2-→AI+-→IB+-→IC? ?0=2-→AI

On retient :

-→AI=1

2(-→AB+--→AC)

Centre de gravité d"un triangle

Soit ABC un triangle alors ses trois médianes sont concourantes au centre de gravité G.

Soit I le milieu de [BC], on a alors :

G centre de gravité --→AG=2

3-→AI

--→GA+-→GB+--→GC=?0 CA B I G

Multiplication par un scalaire

Soitkun réel, le vecteurk?ucorrespond :

à un vecteur de longueur|k| × ||?u||

de même sens que?usik>0 de sens contraire à?usik<0 La multiplication par un réel est bilinéaire : k(?u+?v) =k?u+k?vet(k+k?)?u=k?u+k??u

Application du produit par un scalaire

On dit que?uet?vsont colinéaire ssi?v=k?u,k?R

A, B, C alignés?-→AB et--→AC colinéaires

(AB)//(CD)?-→AB et--→CD colinéairesCes deux équivalences sont fondamentales en géométriecar elles s"utilisent très souvent!

PAUL MILAN

DERNIÈRE IMPRESSION LE2 juillet 2018 à 11:39PREMIÈRE S

Un exemple d"application de la colinéarité

Soit ABC un triangle, E, I et F tels que :-→AE=1

3-→BC ,-→CI=2

3-→CB et-→AF=1

3--→AC .

Démontrer que I, E et F sont alignés

Exprimons-→EI et-→EF en fonction de-→AB .

-→CI=2

3-→CB donc-→BI=1

3-→BC .

On en déduit que

-→AE=-→BI donc que AEIB est un parallélogramme.

On a alors :

-→EI -→AB

-→EF

=-→EA+-→AF 1

3-→CB+1

3--→AC

3(--→AC+-→CB) =

13-→AB

A B CE I F

On en déduit alors :-→EF=1

3-→EI . Les vecteurs-→EF et-→EF sont colinéaires et donc les

points E, F et I sont alignés.

Pour aller plus loin - Notion de barycentre

On appelle

barycentre de deux points A et B associés aux coefficientsαetβ, le point

G tel que :

α--→GA+β-→GB=?0 avecα+β?=0

(1) On note alors G barycentre des points pondérés(A,α)et(B,β)

Remarque :

Lorsque

, on dit que G est l" isobarycentre des points A et B.

Le point G est alors le

milieu du segment [AB].

De cette définition (1), on montre que

--→AG=β

α+β-→AB

(2)

Exemple :

Soient A et B deux points.

Placer le barycentre G

1des points pondérés respectifs (A, 2), (B, 1).

D"après (2), on a :--→AG1=12+1-→AB=1

3-→AB

??AB ?G1

Formule de réduction :

Si G est le barycentre de (A,α) et (B,β) alors?M : α--→MA+β--→MB= (α+β)--→MG Cette formule de réduction permet de déterminer les lignes de niveau c"est à dire de déterminer puis tracer l"ensemble des points M qui vérifientune relation vectorielle.Exemple : Déterminer l"ensemble des points M qui vérifient :||2--→MA+3--→MB||=10 Soit G barycentre de (A, 2) et (B, 3), on a alors : 2 --→MA+3--→MB=5--→MG

L"égalité devient :||5--→MG||=10?MG=2

L"ensemble demandé est donc le cercle de centre G est de rayon2.

De même, on définit le

barycentre G de 3 points pondérés (A,α), (B,β) et (C,γ) : α--→GA+β-→GB+γ--→GC=-→0 avecα+β+γ?=0

Remarque :

L"isobarycentre

de trois points A, B et C est le centre de gravité du triangle ABC.

On généralise avecnpoints pondérés :Le barycentre G de(A1,α1),(A2,α2), ...,(An,αn)est défini par :

n∑ i=1α i--→GAi=-→0 avecn∑ i=1α i?=0

PAUL MILAN

PREMIÈRE S

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Définition

Il s"agit de la distance AB?0

Remarque :

Par abus de langage, on dira indistinctement

Somme de deux vecteurs - Relation de Chasles

Règle du parallélogramme

L"addition de deux vecteurs est :commutative

associative

élément neutre

Application de la relation de Chasles

La relation de Chasles permet :

ABDC parallélogramme

I milieu du segment [AB]

2-→AB ou-→AI=-→IB ou-→AI+-→IB=?0

Les vecteurs

Le point de vue géométrique

Milieu d"un segment

Soit ABC un triangle et I le milieu de [BC].

On retient :

2(-→AB+--→AC)

Centre de gravité d"un triangle

Soit I le milieu de [BC], on a alors :

3-→AI

Multiplication par un scalaire

Soitkun réel, le vecteurk?ucorrespond :

à un vecteur de longueur|k| × ||?u||

Application du produit par un scalaire

On dit que?uet?vsont colinéaire ssi?v=k?u,k?R

PAUL MILAN

Un exemple d"application de la colinéarité

3-→BC ,-→CI=2

3-→CB et-→AF=1

3--→AC .

Démontrer que I, E et F sont alignés

-→CI=2

3-→CB donc-→BI=1

3-→BC .

On en déduit que

On a alors :

-→EF

3-→CB+1

3--→AC

3(--→AC+-→CB) =

13-→AB

On en déduit alors :-→EF=1

3-→EI . Les vecteurs-→EF et-→EF sont colinéaires et donc les

Pour aller plus loin - Notion de barycentre

On appelle

G tel que :

α--→GA+β-→GB=?0 avecα+β?=0

Remarque :

Lorsque

Le point G est alors le

De cette définition (1), on montre que

α+β-→AB

Exemple :

Soient A et B deux points.

Placer le barycentre G

1des points pondérés respectifs (A, 2), (B, 1).

D"après (2), on a :--→AG1=12+1-→AB=1

3-→AB

Formule de réduction :

L"égalité devient :||5--→MG||=10?MG=2

De même, on définit le

Remarque :

L"isobarycentre

PAUL MILAN

PREMIÈRE S

L"addition de deux vecteurs est :commutative

associative

La relation de Chasles permet :

-→CI=2

-→EF