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Université Mohammed V - Agdal

Faculté des Sciences

Département de Mathématiques et Informatique

Avenue Ibn Batouta, B.P. 1014

Rabat, Maroc

Filière DEUG :

Sciences Mathématiques et Informatique (SMI)

et

Sciences Mathématiques (SM)

Module Mathématiques I

Analyse I

Chapitre I :

SUITES NUMERIQUES

Par

Saïd EL HAJJI

Groupe d'Analyse Numérique et Optimisation

Email : elhajji@fsr.ac.ma

et

Samir HAKAM

Email : s-hakam@fsr.ac.ma

Année 2003-2004

1

Chapitre I :

SUITES NUMERIQUES

1

Objectif du chapitre :

1) Donner la définition d'une suite et utiliser les notations adéquates

2) "Déterminer" le terme général d'une suite

3) Utiliser les raisonnements par l'absurde et par récurrence

4) Etudier la monotonie d'une suite.

5) Etudier la nature d'une suite

6) Résoudre certains exercices et problèmes implicant des suites.

Plan du chapitre :

1) Corps des réels :

1.1 : Notion de fonctions et notations.

1.2 : Construction sommaire deR

2) Suites numériques:

2.1 : Définitions et notations.

2.2 : Suites particulières.

2.3 : Suites monotones (croissance ou décroissance)

2.4 : Nature (convergence ou divergence) d'une suite

2.5:Etudedesuitesparticulières.

1) Corps des réels :

1.1 : Notion de fonctions et notations.

On suppose acquise la notion intuitive d'ensemble. On détermine un ensembleen explicitant ses éléments ou par compréhension ={vérifieunepropriété()}.

Exemple : Si

1 ={1234}alors 2 1 vérifie25}est dite expression par compréhension 2 ={234}est dite expression explicite Soitun ensemble, on dit queest une partie (ou un sous ensemble) desi tout élément deest un élément de.Onditaussiqueest inclus dans et on note 1

Analyse I SMI & SM S. EL HAJJI

2

Remarque :

Le symboledénote l'appartenance.

La notationn'a pas de sens !

Définition : Une fonctiond'un ensemblevers un ensemble,onnote :, est une rélation qui à chaque élément deassocie au plus plus un seul élément de. On exprime une fonction deverssous la forme: 7() est appelé l'ensemble de départ etl'ensemble d'arrivée de la fonction. De plus, l'ensemble des éléments dequi possédent une image s'appelle le domaine de(noté()ou ) et l'ensemble des éléments dequi sont des images, s'appelle image de(noté()ou()). Ainsi()et De facon générale, lorsque on détermine le domaine d'une fonction, il faut ex- clure du()les valeurs : a) qui annulent le dénominateur de la fonction b) qui donnent une quantité négative sous une racine paire c)... ainsi()est l'ensemble des éléments de, pour lesquels()existe c'est

àdire(notécàd ou i.e.)est calculable.

Si:on note()={()existe}

Exemples :

1)Soit:7()=

6 93
R Puisqueonnepeutpasdiviserpar0ni extraire la raciune sizième d'un nombre négatif, alors : ()={R(93)6=0et(93)0} càd()={R(93)Â0}={R3} que l'on écrit sous la forme()=]3[

2)Soit:7()=ln(||)

On a :()=!

1.2 : Construction axiomatique deRet Propriétés de base

2 a) Construction sommaire et axiomatique du corps des Réels L'ensembleN(notéaussiou)={0123}, dit ensemble des nombres entiers naturels ou des entiers naturels, a été introduit pour compter. L'ensembleZ(noté aussiou)={3210123}, dit ensem- ble des nombres relatifs ou des entiers relatifs, a été introduit pour résoudre l'équation :+=oùetsont des entiers naturels. L'ensembleQ(notéaussiou) , dit ensemble des nombres rationnels, a été introduit pour résoudre l'équation :=oùetsont des nombres relatifs 2

Analyse I SMI & SM S. EL HAJJI

3 avec6=0.Pardéfinition siQalors= t oùetsont des nombres relatifs premiers entre eux avec6=0(on dit que la fraction t est irreductible).

Proprièté : Siest solution de l'équation

2 =2alorsQ.Onditqueest irrationnel. Démonstration : Elle se fait par l'absurde. On suppose que= t oùZet Z sont premiers entre eux avec6=0. On a alors 2 =2 2 2 est pair doncest aussi pair (siest impair alors=2+1et 2 =4 2 +4+1= 2(2 2 +2)+1est impair). Ainsi=2donc 2 =4 2 =2 2 Donc2 2 2 Doncest pair. Ce qui est impossible car la fraction t est irreductible. Définition : On note parR(noté aussiou) l'ensemble des nombres réels. Il a été introduit pout compléter l'ensembleQdes nombres rationnels. On dit queestunnombreréelsietseulementsi: ou bienQest dit rationnel ou bienQest dit irrationnel. Parmi les réels qui sont irrationnels, on peut citer :

2ln(2)

Remarque : On peut définir un nombre réel à partir de son développement déci- mal c'est à dire un réelpeut être vu, sous forme numérique, comme un entier relatif constituant sa partie entière (siR, sa partie entière est notée() ou[]et on a()=[]=au plus grand entier inférieur ou égaleà)suivie (séparée par une virgule) d'une infinité de chires constituant sa partie déci- male. Exemple :=314159265958979323Cette définition (ou notation) dite représentation arithmétique (voir cours d'Analyse Numérique au2 nd semestre) d'un nombre réel pose un certain nombre de problèmes. La construction de l'ensemble des nombres réels date de 1870 et repose sur les axiomes de base :

1)(R+)est un corps commutatif

2)(R)est totalement ordonnée :(,)R

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