[PDF] [PDF] Mathématiques pour lingénieur

Produit de convolution appliqué `a ϕ ∈ D = produit tensoriel appliqué `a (x,y) ↦ → ϕ(x + y) ∈ D(R2) Thomas Cluzeau Mathématiques pour l'ingénieur 



Previous PDF Next PDF





[PDF] Mathématiques pour lingénieur

Produit de convolution appliqué `a ϕ ∈ D = produit tensoriel appliqué `a (x,y) ↦ → ϕ(x + y) ∈ D(R2) Thomas Cluzeau Mathématiques pour l'ingénieur 



[PDF] MT12 Mathématiques pour lingénieur - UTC - Moodle

Lebesgue, présentée par M Picard Dans le cas des fonctions continues, il y a identité entre les notions d'intégrale et de fonction primitive Riemann a 



[PDF] Mathématiques de lingénieur - Dunod

13 mar 2017 · aRb a et b satisfont à une relation binaire désignée par R f (x) x élément de E s' applique sur y, élément de F y ⇔ f (x)



[PDF] COURS METHODES MATHEMATIQUES POUR LINGENIEUR 2

Ceci semble contredir la propriété L9) mais la fonction f n'est continue en aucun point, donc la propriété L9) ne s'applique pas L10) (Théorème de convergence 



[PDF] Mathématiques pour Ingénieurs - WikiDocs, Université de Lorraine

introduction aux mathématiques de base pour l'ingénieur en tant qu'outil l' étude des méthodes analytiques de la mécanique appliquées à des systèmes à  



[PDF] Mathématiques pour lingénieur 1 - Centre Inria Sophia Antipolis

11 déc 2007 · Le théor`eme de la convergence dominée s'applique et donne le résultat Exemple : La transformée de Fourier d'une fonction de L1(R), ˆ f(t) = ∫ 



[PDF] MATHEMATIQUES APPLIQUEES - CMAP

3 avr 2015 · Tous les cours de Mathématiques Appliquées sont construits (dans(de( multiples(aspects(des(sciences(de(l'ingénieur((télécommunications,(



[PDF] INGÉNIEUR MATHÉMATIQUES APPLIQUÉES ET CALCUL

615,10 euros Poursuite d'études L'obtention du diplome d'ingenieur entraine l' attribution du grade de Master



[PDF] Mathématiques appliquées - Cours Tech Info

27 sept 2018 · inter réseau "Mathématiques appliquées" Code 012301U21D1 Ces notes ne sont pas encore http://courstechinfo be/Math/TI/MathApp_2ppf pdf Il existe aussi une version web de Notation ingénieur Puissances de 1000

[PDF] mathématiques avec des pouces

[PDF] Mathématiques avec frontières 3eme

[PDF] mathématiques avec histoire pour grille

[PDF] mathématiques besoin d'aide

[PDF] Mathématiques calcul d'un pourcentage

[PDF] Mathématiques Chercher un nombre

[PDF] mathématiques classe de cinquième

[PDF] Mathématiques CNED 4 EME

[PDF] Mathématiques comment expliquer la démarche

[PDF] Mathématiques correction de mon exercice svp

[PDF] Mathématiques Corriger Merci

[PDF] Mathematiques Cosinus randre pour demain

[PDF] Mathematiques Cosinus rendre pour demain

[PDF] mathématiques cuve pleine de fuel

[PDF] Mathématiques dans un carré

Mathematiques pour l'ingenieur

Thomas Cluzeau

Ma^tre de Conferences

Ecole Nationale Superieure d'Ingenieurs de Limoges Parc ester technopole, 16 rue d'atlantis 87068 Limoges Cedex cluzeau@ensil.unilim.fr http://www.ensil.unilim.fr/ ~cluzeauThomas CluzeauMathematiques pour l'ingenieur

Maths a l'ENSIL en TC1

Harmonisationen fonction du test de la rentr eeAnalyse

Algebre lineaire

A l'interieur de UE - Enseignements de TC1 S1Mathematiques pour l'ingenieur (coe. 2) A l'interieur de UE - Enseignements de TC1 S2Analyse numerique (coe. 2)

Thomas CluzeauMathematiques pour l'ingenieur

Maths pour l'ingenieur : organisation et evaluation

Organisation7 seances d'1h30 de cours

8 seances d'1h30 de TD

Evaluation: 1 examen intermediaire de 30 min. sans documents en S9

1/4 note nale Tutorat en S131 examen nal de 1h30 avec documents en S15

3/4 note nale

Thomas CluzeauMathematiques pour l'ingenieur

Plan du cours

1Introduction aux distributions

2La convolution

3La transformation de Fourier

4La transformation de Laplace

Thomas CluzeauMathematiques pour l'ingenieur

Chapitre 1

Introduction aux distributions

Thomas CluzeauMathematiques pour l'ingenieur

I

Pourquoi introduire les

distributions ?

Thomas CluzeauMathematiques pour l'ingenieur

Historique

Distributions : utilisees depuis tres longtemps par lesphysiciens Theoriemath ematiquerigoureuse plus r ecente: Sob olev(1936),

L. Schwartz (1950)

, Gelfand (1964) Theorie la mieux adaptee al' etudede nom breuxsyst emes physiques (systemes lineaires continus) Convolution et Transformee de Fourieroutils tr espuissants gr ^ace aux distributions

Denition intuitive d'une distribution :

outil math ematiqueutilis e pour representer des phenomenes physiques que les fonctions classiques s'averent incapables de transcrire

Thomas CluzeauMathematiques pour l'ingenieur

Exemple introductif (1)

Exemple : choc elastique & choc dur entre deux objetsPartie de squash : vitessev0avant puisv0apres tLoi de la mecanique Newtonnienne)F=m_vThomas CluzeauMathematiques pour l'ingenieur

Exemple introductif 1

Partie de petanque : on passe dev0av0sans tOn a encoreF=m_vdoncF(t) = 0;8t6= 0

De plus

1m R +1

1F(t)dt=v(+1)v(1) =2v0

ce qui est absurde p ourdes fonctions )Probleme ne pouvant ^etre traite au sens des fonctions )On a besoin d'objets plus generaux :les distributions Thomas CluzeauMathematiques pour l'ingenieur

Autres exemples

Distributions de charges en

electrostatique (cf. p olycopie) En m ecanique , dans le cadre de l'application du Principe Fondamental de la Dynamique, comment ecrire l'equation du mouvement d'un solide lorsque le systeme est soumis a une force intense appliquee pendant un intervalle de temps tres court a partir de l'instantt=t0?En electricite, comment va se comporter un circuit dont l'entree varie brusquement ; par exemple par fermeture d'un

interrupteur sur une source de tension continue ?Enhydraulique , comment va se comporter un systeme dont

on ouvre brusquement une vanne a l'instantt=t0?Thomas CluzeauMathematiques pour l'ingenieur II

Fonctionnelles et espaceDdes

fonctions tests

Thomas CluzeauMathematiques pour l'ingenieur

Fonctionnelles

Denition

On dit que l'on a

u nefonctionnelle sur un ensemble de f onctions appelees fonctions tests , si a chacune de ces fonctions on peut associer un nombre complexe.FonctionnelleTsur un espace de fonctionsF:

T:F !C; '7!

Plus les conditions de regularite imposees aux fonctions tests sont severes, plus les fonctionnelles denies sont generales Les distributions seront denies comme fonctionnelles sur un

certain espace, noteD, que nous allons presenter maintenantThomas CluzeauMathematiques pour l'ingenieur

L'espace des fonctions testsDRESTRICTION POUR CE COURS: fonctions aune seule va riable

Denition

Soit f une fonction a valeurs complexes denie surR. Lesupp ort de f , not eSupp(f), est l'adherence des x2Rtels que f(x)6= 0.

Supp(f) =fx2R;f(x)6= 0g:Denition

On denit l'ensembleDcomme l'espace des fonctions a valeurs complexes denies surRindeniment derivables et a support borne (compact).Remarques: C'est un espace vectoriel de dimension innie. Les fonctions deDont deslimites nulles e n1Thomas CluzeauMathematiques pour l'ingenieur Exemples de fonctions deDDes exemples ne viennent pas immediatement a l'esprit

Exemple fondamental:

a(x) =0pourjxj 1=a; exp(

11a2x2)pourjxj<1=a;

aveca>0.Thomas CluzeauMathematiques pour l'ingenieur Exemples de fonctions deDPlus generalement, toute fonctionabdenie par ab(x) =0pourx=2]a;b[; exp( 12 [1xb1xa])pourx2]a;b[:Thomas CluzeauMathematiques pour l'ingenieur

Autres exemples et theoreme d'approximation

Autre famille de fonctions deD:

k(x) =1(k x)R

1(k x)dxTheoreme

Si'2 Det si f est une fonction sommable (integrable) a support borne, alors (x) =Rf(t)'(xt)dt est une fonction deD.Soit k(x) =Rf(t) k(xt)dt fcontinue)( k)kconverge uniformement versfTheoreme (Theoreme d'approximation) Toute fonction continue a support borne peut ^etre approchee uniformement par une suite('n)n>0de fonctions deD.

8 >0;9N2N;tel que;8nN;8x;jf(x)'n(x)j:Thomas CluzeauMathematiques pour l'ingenieur

Topologie deDDenie par un critere de convergence pour les suitesDenition Une suite('n)n>0de fonctions deDconverge vers une fonction' lorsque n tend vers l'inni si :1Il existe un ensemble borne B (independant de n) deRtel que pour tout n>0,Supp('n)B ;2Pour tout entier k0, la suite des derivees('(k)n)nconverge

uniformement surRvers'(k).On peut montrer que la limite'appartient alors aDThomas CluzeauMathematiques pour l'ingenieur

III

L'espaceD0des distributions

Thomas CluzeauMathematiques pour l'ingenieur

Denition (1)

Denition

On appelle

distribution toute fonctionnelle lin eairecontinue sur l'espace vectorielD.DistributionT:

T:D !C; '7!=T(')1Linearite

=1+22Continuite: ( 'k)k>0converge dansDvers' )()k>0converge au sens usuel vers,i.e.,

8 >0;9N2Ntel que;8k>N;jjThomas CluzeauMathematiques pour l'ingenieur

Denition (2)

Ensemble des distributions =espace vecto rielnot eD0 La somme de deux distributions et le produit d'une distribution

par un scalaire sont denis comme suit :=+< T;' >= Thomas CluzeauMathematiques pour l'ingenieur

Exemples : distributions regulieres (1)

Denition

Une fonction f:R!Cest ditelo calementsommable si elle est integrable sur tout intervalle borne.A toute fonction f localement sommable, on associe la distribution T fdenie par

8'2 D; =Z

f(x)'(x)dx:Une telle distribution est diter eguliereLemme Deux fonctions localement sommables denissent la m^eme distribution ssi elle sont egales presque partout.

Thomas CluzeauMathematiques pour l'ingenieur

Exemples : distributions regulieres (2)

Valeur principale de Cauchy de 1=xnoteevp1x

= lim!0+Z jxj>'(x)x dx

Distribution de HeavisideFonctionHde Heavside :

H(x) =1pourx0

0pourx<0DistributionW=THde Heaviside :

==Z +1 1

H(x)'(x)dx=Z

+1 0 '(x)dxThomas CluzeauMathematiques pour l'ingenieur

Exemples : distributions singulieres (1)

Les distributions qui ne s'ecrivent pasTfpourflocalement sommable sont dites singuli eres

Distributionde Dirac(exemple le p lususuel)

8'2 D; < ;' >='(0)

Plus generalement,

la distribution ade Dirac au pointa

8'2 D; < a;' >='(a):

Attention: en physique, on ecrit souvent(x) ou(xa) au lieu deeta. Cette ecriture laisse croire queest une fonction ce qui est faux !

Thomas CluzeauMathematiques pour l'ingenieur

Exemples : distributions singulieres (2)

Distribution de Diracasouvent interpretee comme representant la masse (ou la cha rge)+1 au p ointa CL de distributions de Dirac = distribution singuliere

En particulier,

distribution p eignede Dirac aa =+1X n=1 n (proprietes interessantes, joue un r^ole important en physique)

Remarque: generalisations a 3 dimensions desa

representation mathematique correcte des charges ponctuelles et supercielles en electrostatique

Thomas CluzeauMathematiques pour l'ingenieur

Support d'une distribution (1)

Denition

On dit que deux distributions S et T sont

egales si =quelque soit'2 D. On dit qu'elles sont egales sur un ouvert

Rsi=quelque soit

'2 Dayant son support dans .Exemples:T

1etWsont egales sur ]0;+1[. SiSupp(')]0;+1[

=R+1

11(x)'(x)dx=R+1

01'(x)dx=et``sont egales sur ]12

;12 [. SiSupp(')]12 ;12 <``;' >=P+1 n=1'(n) ='(0) =< ;' >Thomas CluzeauMathematiques pour l'ingenieur

Support d'une distribution (2)

Denition

Considerons la reunion de tous les ouverts sur lesquels une distribution T est nulle. Cet ensemble est alors le plus grand ouvert sur lequel T est nulle (admis). Son complementaire (qui est un ferme) est appele supp ortde la distribution T ; on le note Supp(T).Exemples:Supp(a) =fagSupp(``) =ZThomas CluzeauMathematiques pour l'ingenieur IV

Operations sur les distributions

Thomas CluzeauMathematiques pour l'ingenieur

Methodologie

Strategie

p ourd enirune op erationsur les distributions :

1etudier comment cette operation est denie pour unefonction

localement sommable2traduire ceci avec le langage des distributions sur la distribution reguliere associee3generaliser atoutes les distributions

Thomas CluzeauMathematiques pour l'ingenieur

Translation

ffonction localement sommable,a2R )translateefadefest la fonction donnee parfa(x) =f(xa)

La distribution reguliere associee afaverie :

=Z f(xa)'(x)dx=Z f(y)'(y+a)dy=Denition La translat ee d'un edistribution T ,not ee T aest la distribution denie par : = :Exemple: Translatee devp1x =vp1xaThomas CluzeauMathematiques pour l'ingenieur

Transposition

quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47