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ECO L1

Les mathematiques,

au service de l'economie ? -Regards sur les maths ECO L1 - Universite de Tours, Arnold Chassagnon, Septembre 2013

Pour plus de clarte

Pour un langage universel

Pour mesurer les phenomenes

Mais ... la diculte de la

resolution ne doitjamais masquer l'economie du probleme, les questions qui se posent.

PLAN DE LA CONFERENCE

La culture Les mathematiques elementaires

\Ceteris paribus" - approximations lineaires - econometrie - derivees partiellesLe comportement individuel rationnelTechniques et theoremes de Maximisa- tion individuelleCalcul de l'equilibre - Theoreme de la valeur intermediaire, - Resolution de systeme de plusieurs equations a plusieurs inconnues - Algebre (espace vectoriels - dimensions) - Equations dierentielles - Analyse avanceeEconomie publique (eco du bien-^etre)- Calcul de surfaces - integration, theorie de la mesureIncertain Probabilites, convexite

Les mathematiques elementaires

I Tracer la droite qui passe par le point (0,0) et par le point (5,5) I Tracer la droite qui passe par le point (0,5) et par le point (4,0) I Quelle est l'intersection de ces deux droites, quelle est la pente de chacune de ces droites

2.232.23

Les derivees d'une variable

Interpretation Le co^ut d'un rme depend du nombre de biens qu'elle produit. Par exempleC(q) =q2.Quelles sont les proprietes de cette fonction. Si le pdg decide d'augmenter sa production de", de combien va augmenter son co^ut?Quelle notion suggerez vous de denir?

Commenter la formule

F(x+") =F(x) + 3;7"+o(")

Quel est le graphique correspondant?

Econometrie?

Les derivees partielles d'une fonction

Dans l'analyse economique, il appara^t que les fonctions dependent de plusieurs variables. Plus l'analyse est riche, plus il y aura de variable. Pour comprendre le r^ole de chacune des variables,onetudie uencela fonction. ExempleSi la demande de bien estX=X(R;p;ps) ouRdesigne le revenu du menage,p, le prix du bien, etps, on calcule l'in uence de ces variables, en etudiant

1) le SIGNE,

2) la VALEUR,

des derivees partielles c-a-d, ici,@X@R,@X@p,@X@ps.ANX=R1 +ps2 +pvoir aussi l'exempleX=R1 +p2 +ps

Comportements rationnels

Denition :L'economie est une science humaine qui s'interesse a l'homme, mais a un certain aspect de l'homme, l'homme en tant

qu'il a des comportements humains, rationnels et ecaces.L'agent economique a desobjectifsqu'il poursuit, mais, il doit les poursuivre

etant donne un ensemble decontraintesdenies par son environnement. Ces contraintes(1)limitent ses choix et(2)rendent ses choix sensibles a toute modication de l'environnement economiqueProgramme Dans les analyses economiques, le comportement de l'agent economique est represente a travers le type de programme suivant : maximiserun objectif chire tout enrespectant des contraintes l'objectif chire, c'est, par exemple, pour une entreprise, le prot. Les contraintes, dans ce cas, ce sont des contraintes technologiques.

Exemples de maximisation

x;yetant des nombres positifs, trouver le maximum possible de la quantitex+ysachant quex2y8.x;yetant des nombres positifs, trouver le minimum possible de la quantitex+ysachant quex2y8.Une rme produit une quantiteqd'un bien et le vend au prixp. Pour produire cette quantiteq, elle doit depenserpq [la production n'est pas lineaire]. Determiner la production optimale de la rme. Determiner la taille optimale de la rme.

Solutions des exemples precedents

Le programme diverge. Il sut de prendrey= 0 etxaussi grand que l'on veut.Le programme a la solutionx= 2213 ,y= 213 .Le prot de la rme est la fonction(q) =pqpqdont la derivee0(q) =p12 pq s'annulle pourq=12p 2

Methodes et analyse

Remarquer qu'il ne s'agit pas simplement de savoir resoudre des problemes,

Il s'agit d'en comprendre les contours,

Ici par exemple, dans un probleme de maximisation, la comprehension de la nature des contraintes est par elle m^eme parfois aussi importante que de savoir calculer la solution d'un probleme.

Les mathematiques de l'equilibre

Theoreme de la valeur intermediaire :si une fonction d'une variable et continue a des valeurs positives et des valeurs negatives, alors il existe une variable pour laquelle cette fonction est nulle. Application a l'equilibre partielSoit un marche caracterise par la fonction de demande suivante :D(p) = 100pet par la fonction d'oreS(p) =p). Il existe un prix qui equilibre ce marche. En eet, si on considere la fonctionD(p)S(p). En zero, elle vaut : 100. En 80 elle vaut 2080 =60. Donc on sait qu'il y a un equilibre entre 0 et 80 L'equilibre est ici enp= 50,q= 50Noterlatresgrandedierenceentrel'economistequisaitqualier capabled'exhiberlasolutionp= 50.

Economie du bien-^etre

Mathematiques probabilistes

Un agent peut acheter des actifs de rendement-variance (ra;Va) ou des actifs de rendement-variance (rb;Vb). Il peut composer un portefeuille qui combine ces deux actifs, en prenant une proportion d'actifs de typeaou 1d'actifs de typeb. On sait que pour un tel portefeuille : r() =ra+ (1)rb

V() =2Va+ 2(1)ab+ (1)2Vb

ouabdesigne la covariance des deux actifsaetb.Question :A supposer queVa portefeuille le moins risque possible, choisit-il ou non le portefeuille qui ne contient que de l'actifa?

Pour nir

Y a t'il de tres bons mathematiciens chez les economiste qui publient : OUI

Mais parfois des tres mauvais

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