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Correction Baccalauréat S - Spécialité

Nouvelle Calédonie - Novembre 2013

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Exercice 1. Étude de fonctions (5 points)

Commun à tous les candidats

Soitfla fonction dérivable, définie sur l"intervalle]0 ; +∞[parf(x) =ex+1 x.

1. Étude d"une fonction auxiliaire

1. 1.Soit la fonctiongdérivable, définie sur[0 ; +∞[parg(x) =x2ex-1.

Étudier le sens de variation de la fonctiong.

Pour tout réelxde[0 ; +∞[, la fonctiongest dérivable et : g ?(x) = 2xex

Doncg?(x)>0sur]0 ; +∞[.

La fonctiongest donc strictement croissante sur[0 ; +∞[

1. 2. Démontrer qu"il existe un unique réelaappartenant à[0 ; +∞[tel queg(a) = 0.

•Dressons le tableau de variations deg: x0a1 +∞ g(x) -10e- 1 Avec g(0) =-1<0etg(1) =e-1>0 •Sur l"intervalle[1 ; +∞[.

La fonctiongest strictement croissante sur l"intervalle[1 ; +∞[avecg(1) =e-1>0. L"équationg(x) = 0

n"admet donc pas de solution sur cet intervalle. •Application du TVI sur l"intervalle[0 ; 1]. Sifest une fonction définie,continueet strictementmonotonesur un intervalle[a;b], alors, pour tout réelkcompris entref(a)etf(b), l"équationf(x) =kadmet une unique solution dans l"in- tervalle[a;b]. Théorème 1(Corolaire du théorème des valeurs intermédiaires)

Remarque: Le première démonstrationrigoureusede ce théorème est due au mathématicienautrichien Bernard

Bolzano (1781-1848,Prague, Empire d"Autriche).BernhardPlacidus Johann Nepomuk Bolzano est le fils d"une

germanophone et d"un émigré italien en Bohême, alors dans l"Empire d"Autriche. Dans son premier ouvrage

Rein analytischer Beweis...(1817) il démontre le théorème des valeurs intermédiaires sans utiliser l"évidence

géométrique comme on le faisait alors. www.math93.com / www.mathexams.fr1/8 Correction Bac S Spécialité - Nouvelle Calédonie - Novembre2013 -La fonctiongestcontinueetstrictement croissantesur l"intervalle[0 ; 1]; -L"image pargde l"intervalle[0 ; 1]est[-1 ;e-1]d"après le tableau de variations. -Le réelk= 0appartient à l"intervalle image[-1 ;e-1].

Donc, d"après lecorollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l"équationg(x) =k= 0admet une

solution uniqueasur l"intervalle[0 ; 1].

En conclusion:

Il existe un unique réelaappartenant à[0 ; +∞[tel queg(a) = 0 •Démontrer queaappartient à l"intervalle [0,703; 0,704[. Pour avoir un encadrement dea, on peut utiliser la fonction TABLE de la calculatrice. Avec un pas deΔ = 0,1on obtient :?g(0,7)≈ -0,013<0 Avec un pas deΔ = 0,01on obtient :?g(0,7)≈ -0,013<0 Avec un pas deΔ = 0,001on obtient :?g(0,703)≈ -0,0018<0 Pour conclure: la solutionade l"équationg(x) = 0appartient à l"intervalle ]0,703; 0,704[

1. 3. Déterminer le signe deg(x)sur[0 ; +∞[.

D"après le tableau de variations deg:?g(x)<0sur[0;a[ g(x)>0sur]a;+∞[

2. Étude de la fonctionf

2. 1. Déterminer les limites de la fonctionfen0et en+∞.

On a :limx→0ex= 1

lim x→0 x>01 x= +∞????? =?limx→0 x>0ex+1x= +∞ soit lim x→0 x>0f(x) = +∞

On a :limx→+∞ex= +∞

lim x→+∞1 x= 0??? =?limx→+∞ex+1x= +∞ et donc limx→+∞f(x) = +∞

2. 2. On notef?la fonction dérivée defsur l"intervalle]0 ; +∞[.

Démontrer que pour tout réel strictement positifx, f?(x) =g(x) x2. ?x?]0 ; +∞[, f(x) =ex+1 x www.math93.com / www.mathexams.fr2/8 Correction Bac S Spécialité - Nouvelle Calédonie - Novembre2013 soit f ?(x) =ex-1 x2=x2ex-1x2=g(x)x2

2. 3. En déduire le sens de variationde la fonctionfet dresser son tableau de variationsur l"intervalle]0 ; +∞[.

Pour toutxde]0 ; +∞[,x2>0doncf?(x)est du signe deg(x). On dresse le tableau de variation def: x0a+∞ g(x)-1---0 +++ f?(x)---0 +++ f(x) f(a)

2. 4. Démontrer que la fonctionfadmet pour minimum le nombre réel.

D"après son tableau de variation, la fonctionfadmet le nombref(a)comme minimum sur son intervalle de définition.

f(a) =ea+1 a

Oraest la solution de l"équationg(x) = 0donc

g(a) = 0??a2ea-1 = 0??a2ea= 1??ea=1 a2

On en déduit que

f(a) =1 a2+1a et on a donc démontré que : la fonctionfadmettait pour minimum sur]0 ; +∞[le nombre réelm=1 a2+1a.

2. 5. Justifier que3,43< m <3,45.

m=1 a2+1a=a+ 1a2=1a2(a+ 1)

On a successivement (en valeurs approchées) :

?0,703< a <0,704

0,4942< a2<0,4957: car la fonction carré est croissante surR+

0,4957<1a2<10,4942: car la fonction inverse est décroissante surR?+

2,017<1

a2<2,024 ?0,703< a <0,704 1

0,704<1a<10,703: car la fonction inverse est décroissante surR?+

1,420<1

a<1,423 donc par somme :

2,017+ 1,420<1

a2+1a<2,024 + 1,423 et donc :

3,43< m <3,45

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Exercice 2. Suite (5 points)

Commun à tous les candidats

Soient deux suites(un)et(vn)définies paru0= 2etv0= 10et pour toutn?Npar : u n+1=2un+vn

3etvn+1=un+ 3vn4

Partie A

Variables :Nest un entier

U,V,Wsont des réels

Kest un entier

Début :Affecter0àK

Affecter 2 àU

Affecter 10 àV

SaisirN

Tant queK < N

AffecterK+ 1àK

AffecterUàW

Affecter2U+V3àU

AffecterW+ 3V4àV

Fin tant que

AfficherU

AfficherV

Fin

État des variables :

KWUV

0210

1214/38

214/352/943/6

Partie B

1. 1. 1. Montrer que pour tout entier natureln, vn+1-un+1=5

12(vn-un).

Pour tout entier natureln,

v n+1-un+1=un+ 3vn

4-2un+vn3=3(un+ 3vn)12-4(2un+vn)12

3un+ 9vn-8un-4vn

12=5vn-5un12=512(vn-un)

?n?N, vn+1-un+1=5

12(vn-un)

1. 2.Pour tout entier naturelnon posewn=vn-un.

Montrer que pour tout entier natureln, wn= 8?5

12? n

D"après la question précédente, on peut dire que la suite(wn)est géométrique de raison5

12et de premier terme

0=v0-u0= 10-2 = 8.

On a donc d"après le cours :

?n?N, wn= 8?5 12? n

2. 2. 1. Démontrer que la suite(un)est croissante et que la suite(vn)est décroissante.

Pour tout entier naturelnon a :un+1-un=2un+vn

3-3un3=2un+vn-3un3=vn-un3=wn3

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On a vu que, pour toutn,wn= 8?512?

n ; on peut en déduire que pour toutn,wn>0et donc que, ?n?N, un+1-un=wn 3=83? 512?
n >0

Donc la suite(un)est croissante

?n?N, vn+1-vn=un+ 3vn

4-4vn4=un+ 3vn-4vn4=un-vn4=-wn4

Et commewn>0, on peut dire quevn+1-vn<0pour toutn.

Donc la suite(vn)est décroissante

2. 2. Déduire des résultats des questions 1. b. et 2. a. que pour tout entier naturelnon aun?10etvn?2.

On a vu que, pour toutn,wn>0; donc, pour toutn,vn-un>0c"est-à -direvn> un. La suite(vn)est décroissante donc, pour toutn,vn?v0??vn?10.

Pour tout entier natureln,vn> un

v n?10? =? ?n?N, un?10 La suite(un)est croissante donc pour toutn,un?u0??un?2.

Pour tout entier natureln,vn> un

u n?2? =? ?n?N, vn?2

2. 3. En déduire que les suites(un)et(vn)sont convergentes.

•La suite(un)est croissante majorée par 10 donc, d"après le théorème de laconvergencemonotone, la suite(un)

•La suite(vn)est décroissante minorée par 2 donc, d"après ce même théorème, la suite(vn)est convergentevers

3. Montrer que les suites(un)et(vn)ont la même limite.

•La suite(wn), définie parwn=vn-un, est convergente comme différence de deux suites convergentes, et sa

limite est égale à?2-?1. •Or la suite(wn)est géométrique de raison5

12avec-1<512<1; donc la suite(wn)est convergentevers 0.

•La limite d"une suite est unique donc?2-?1= 0et?2=?1. Les suites(un)et(vn)ont donc la même limite

notée?.

4. Montrer que la suite(tn)définie partn= 3un+ 4vnest constante.

Pour tout entiernon a :

t n+1= 3un+1+ 4vn+1 = 3×2un+vn

3+ 4×un+ 3vn4

= 2un+vn+un+ 3vn t n+1= 3un+ 4vn=tn donc la suite(tn)est constante. t

0= 3u0+ 4v0= 3×2 + 4×10 = 6 + 40 = 46

Comme la suite(tn)est constante, pour toutn,tn=t0= 46; la suite(tn)est donc convergentevers 46.

Les suites(un)et(vn)sont toutes les deux convergentes vers?donc la suite(tn)définie partn= 3un+ 4vnest

convergentevers3?+ 4?= 7?. La limite d"une suite est unique donc7?= 46???=46 7.

La limite commune des suites(un)et(vn)est donc46

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Exercice 3. Probabilités (5 points)

Commun à tous les candidats

Partie A

1. Montrer qu"une valeur approchée à 0,0001 près de la probabilité qu"une bille soit hors norme est 0,0124. On

pourra utiliser la table de valeurs donnée en annexe.

Une bille est dans la norme si son diamètre est entre 9 et 11 mm;donc la probabilité qu"une bille soit dans la norme est

P(9?X?11) =P(X?11)-P(X?9)

La probabilité que la bille soit hors norme est donc :

1-(P(X?11)-P(X?9)) = 1-(0,99379034-0,00620967) = 1-0,98758067 = 0,01241933; donc une

valeur approchée à 0,0001 de la probabilité qu"une bille soit hors norme est 0,0124

2. 2. 1.On construit un arbre pondéré qui réunit les données de l"énoncé :

0,9876?A

0,99 A0,01 N

0,0124?A

0,02 A0,98

2. 2. Calculer la probabilité de l"évènementA.

D"après la formule des probabilités totales :

P(A) =P(N∩A) +P?

N∩A?

P(A) =P(N)×PN(A) +P?

N?×PN(A)

= 0,9876×0,99 + 0,0124×0,02 = 0,977724+ 0,000248 = 0,977972 La probabilité deAarrondie au dix-millième est :

P(A)≈0,9780

2. 3. Quelle est la probabilité pour qu"une bille acceptée soit hors norme?

On cherche :PA?

N?=P?A∩N?

P(A)=0,0002480,977972≈0,0003

La probabilité qu"une bille acceptée soit hors norme est 0,0003 (arrondie au dix-millième)

Partie B

1. Quelle est la loi suivie par la variable aléatoireY?

La probabilité qu"une bille soit hors norme est 0,0124 : on admet que prendre au hasard un sac de 100 billes revient à

effectuer un tirage avec remise de 100 billes dans l"ensemble des billes fabriquées.

Donc la variable aléatoireYqui, à tout sac de 100 billes, associe le nombre de billes horsnorme, suit une loi binomiale

de paramètresn= 100etp= 0,0124. www.math93.com / www.mathexams.fr6/8 Correction Bac S Spécialité - Nouvelle Calédonie - Novembre2013

2. Quels sont l"espérance et l"écart-type de la variable aléatoireY?

L"espérance mathématique et l"écart type d"une variable aléatoire qui suit une loi binomiale de paramètresnetpsont

respectivementnpet? np(1-p). Donc

E(Y) =np= 100×0,0124 = 1,24

etσ(Y) =?np(1-p) =?100×0,0124×0,9876≈1,1066soit

σ(Y)≈1,1066

3.La probabilité pour qu"un sac de100billes contienne exactement deux billes hors norme estP(Y= 2).

P(Y= 2) =?n

2? p

2(1-p)n-2=?100

×0,01242×0,987698≈0,02241.

P(Y= 2)≈0,02241

4. Quelle est la probabilité pour qu"un sac de100billes contienne au plus une bille hors norme?

Un sac de billes contient au plus une bille hors norme est l"événement(Y?1).

P(Y?1) =P(Y= 0) +P(Y= 1)

=?100 0?

×0,01240×0,9876100+?100

×0,01241×0,987699

P(Y?1)≈0,2871 + 0,3605≈0,6476

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Exercice 4. Arithmétique (5 points)

Pour les candidats ayant suivi l"enseignement de spécialité

1. Trouver tous les entiersxdeEtels queg(x) =xc"est-à -dire invariants parg.

On cherche tous les entiersxdeEtels queg(x) =x:

g(x) =x??4x+ 3≡x(mod 27)??3x≡ -3 (mod 27)

De ce fait :

3x=-3 + 27k(k?Z)

x?E??0?x?26

0?3x?81

or3x=-3 + 27kdonc0?-3 + 27k?81

3?27k?843

27?k?8427

Orkest entier donck??1,2,3?.

•Pourk= 1,3x=-3 + 27 = 24doncx= 8; •pourk= 2,3x=-3 + 54 = 51doncx= 17; •pourk= 3,3x=-3 + 81 = 78doncx= 26. Les éléments deEinvariants pargsont 8, 17 et 26

Les caractères invariants dans ce codage sont les caractères correspondant à 8,17 et 26 donc ce sont les caractères :

i,ret?

2. Démontrer que, pour tout entier naturelxappartenant àEet tout entier naturelyappartenant àE,

siy≡4x+ 3modulo 27 alorsx≡7y+ 6modulo 27. Soientxetydeux éléments deEtels quey≡4x+ 3 (mod 27). y≡4x+ 3 (mod 27)??7y≡28x+ 21 (mod 27); or21≡ -6 (mod 27)et28≡1 (mod 27)donc28x≡x(mod 27)

7y≡28x+ 21 (mod 27)??7y≡x-6 (mod 27)??7y+ 6≡x(mod 27)

??x≡7y+ 6 (mod 27) On suppose qu"il existe deux caractèresxetx?deEqui se codent par le même caractèreydeE.

On a alorsx≡7y+ 6 (mod 27)etx?≡7y+ 6 (mod 27)ce qui entraînex≡x?(mod 27)donc on peut écrire

x=x?+ 27koùk?Z. Or

0?x?26et0?x??26donck= 0etx=x?

Deux caractères distincts ne sont pas codés par un même caractère, doncdeux caractères distincts sont codés par deux

caractères distincts.

3. Proposer une méthode de décodage.

Une méthode de décodage consiste à utiliser la méthode de codage, en remplaçant la fonctiongpar la fonctionfqui, à

chaque élémentydeE, associe le reste de la division euclidienne de7y+ 6par 27.

4. Décoder le mot "vfv».

On sait que la lettresse code en la lettrev, donc la lettrevse décode ens. La lettrefcorrespond au nombrey= 5;7y+ 6 = 7×5 + 6 = 35 + 6 = 41. Or41 = 27×1 + 14donc 14 est le reste de la division de 41 par 27.

Le nombre 14 correspond à la lettreo.

Donc v f vse décode ensos www.math93.com / www.mathexams.fr8/8quotesdbs_dbs8.pdfusesText_14

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Nouvelle Calédonie - Novembre 2013

Exercice 1. Étude de fonctions (5 points)

Commun à tous les candidats

1. Étude d"une fonction auxiliaire

1. 1.Soit la fonctiongdérivable, définie sur[0 ; +∞[parg(x) =x2ex-1.

Étudier le sens de variation de la fonctiong.

Doncg?(x)>0sur]0 ; +∞[.

1. 2. Démontrer qu"il existe un unique réelaappartenant à[0 ; +∞[tel queg(a) = 0.

En conclusion:

1. 3. Déterminer le signe deg(x)sur[0 ; +∞[.

2. Étude de la fonctionf

2. 1. Déterminer les limites de la fonctionfen0et en+∞.

On a :limx→0ex= 1

On a :limx→+∞ex= +∞

2. 2. On notef?la fonction dérivée defsur l"intervalle]0 ; +∞[.

2. 3. En déduire le sens de variationde la fonctionfet dresser son tableau de variationsur l"intervalle]0 ; +∞[.

2. 4. Démontrer que la fonctionfadmet pour minimum le nombre réel.

Oraest la solution de l"équationg(x) = 0donc

On en déduit que

2. 5. Justifier que3,43< m <3,45.

On a successivement (en valeurs approchées) :

0,4942< a2<0,4957: car la fonction carré est croissante surR+

0,4957<1a2<10,4942: car la fonction inverse est décroissante surR?+

2,017<1

0,704<1a<10,703: car la fonction inverse est décroissante surR?+

1,420<1

2,017+ 1,420<1

3,43< m <3,45

Exercice 2. Suite (5 points)

Commun à tous les candidats

3etvn+1=un+ 3vn4

Partie A

Variables :Nest un entier

U,V,Wsont des réels

Kest un entier

Début :Affecter0àK

Affecter 2 àU

Affecter 10 àV

SaisirN

Tant queK < N

AffecterK+ 1àK

AffecterUàW

Affecter2U+V3àU

AffecterW+ 3V4àV

Fin tant que

AfficherU

AfficherV

État des variables :

0210

1214/38

214/352/943/6

Partie B

1. 1. 1. Montrer que pour tout entier natureln, vn+1-un+1=5

12(vn-un).

Pour tout entier natureln,

4-2un+vn3=3(un+ 3vn)12-4(2un+vn)12

3un+ 9vn-8un-4vn

12=5vn-5un12=512(vn-un)

12(vn-un)

1. 2.Pour tout entier naturelnon posewn=vn-un.

Montrer que pour tout entier natureln, wn= 8?5

12et de premier terme

0=v0-u0= 10-2 = 8.

On a donc d"après le cours :

2. 2. 1. Démontrer que la suite(un)est croissante et que la suite(vn)est décroissante.

Pour tout entier naturelnon a :un+1-un=2un+vn

3-3un3=2un+vn-3un3=vn-un3=wn3

On a vu que, pour toutn,wn= 8?512?

Donc la suite(un)est croissante

4-4vn4=un+ 3vn-4vn4=un-vn4=-wn4

Donc la suite(vn)est décroissante

2. 2. Déduire des résultats des questions 1. b. et 2. a. que pour tout entier naturelnon aun?10etvn?2.

Pour tout entier natureln,vn> un

Pour tout entier natureln,vn> un

2. 3. En déduire que les suites(un)et(vn)sont convergentes.

3. Montrer que les suites(un)et(vn)ont la même limite.

12avec-1<512<1; donc la suite(wn)est convergentevers 0.

4. Montrer que la suite(tn)définie partn= 3un+ 4vnest constante.

0210