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Denis Vekemans

Exercice 1

Affirmation 1On est certain que cet homme a34ans.

Faux!Si on appelleAl"âge de cet homme, durant l"année en cours, après sa date d"anniversaire.

L"an dernier, son âge était divisible par11. L"an dernier, son âge était soitA-2, soitA-1. Donc,

soitA-2, soitA-1est divisible par11.

L"année prochaine, son âge sera divisible par5. L"année prochaine, son âge sera soitA, soitA+ 1.

Donc, soitA, soitA+ 1est divisible par5.

SiA= 89,A-1 = 88est divisible par11etA+ 1 = 90est divisible par5. L"homme peut donc avoir

89ans (après sa date d"anniversaire), par exemple; auquel cas, il avait88ans au31décembre de l"an

dernier et aura90ans au31décembre de l"année prochaine.

Affirmation 2

La probabilité que le temps soit humide après-demain est0,25. Vrai!Si on noteSl"état "temps sec" etHl"état "temps humide". On note un événement par une succession d"états : -SSdésigne le passage d"un état "temps sec" à un état "temps sec", onaP(SS) =5

6d"après l"énoncé;

-SHdésigne le passage d"un état "temps sec" à un état "temps humide",on aP(SH) =1

6car la

modélisation ne permettant que les deux étatSetH, on aP(SS) +P(SH) = 1; -HHdésigne le passage d"un état "temps humide" à un état "temps humide", on aP(HH) =2

3d"après l"énoncé;

-HSdésigne le passage d"un état "temps humide" à un état "temps sec",on aP(HS) =1

3car la

modélisation ne permettant que les deux étatSetH, on aP(HH) +P(HS) = 1.

En tenant compte du fait qu""aujourd"hui, le temps est sec", les seules suites qui vont fournir un état

"temps humide" après demain sont :

?. Université du Littoral Côte d"Opale; Laboratoire de mathématiques pures et appliquées Joseph Liouville; 50, rue Ferdi-

nand Buisson BP 699; 62 228 Calais cedex; France 1

CRPEPG12014

-SSHqui désigne qu"aujourd"hui l"état est "temps sec", que demain l"étatsera "temps sec" et qu"après

demain l"état sera "temps humide", on a P(SSH) =P(SS)×P(SH)on passe d"abord d"un état "temps sec" à un état "temps sec", puis d"un état "temps sec" à un état "temps humide" 5

6×16=536.

- ouSHHqui désigne qu"aujourd"hui l"état est "temps sec", que demain l"étatsera "temps humide"

et qu"après demain l"état sera "temps humide", on a P(SHH) =P(SH)×P(HH)on passe d"abord d"un état "temps sec" à un état "temps humide", puis d"un état "temps humide" à un état "temps humide" 1

6×23=19.

La probabilité que le temps soit humide après demain est doncP(SSH) +P(SHH) =5

36+19=14=

0,25. Remarque: dansP(SSH) =P(SS)×P(SH)ou dansP(SHH) =P(SH)×P(HH), on utilise

tacitement le fait que les changements de temps sont indépendantsles uns des autres; dans l"addition

P(SSH)+P(SHH), on utilise tacitement le fait que les événementsSSHetSHHsont incompatibles.

Affirmation 3

Cette voiture est en excès de vitesse.

Faux!Une voiture roulant à une vitesse constante a parcouru 150 mètres en 8 secondes, roule à

150

1 000km

3 600h= 67,5km/h <70km/h.

On a utilisé les conversions1km= 1 000met1h= 3 600s.

Affirmation 4

La somme des carrés de deux nombres entiers impairs est un nombre entier pair.

Vrai!Si un nombre est impair, son carré est un nombre impair (c"est évident, mais on peut le démontrer

comme suit : un nombre est impair s"il peut s"écrire2×k+ 1aveckentier, donc son carré est donc

(2×k+ 1)2= 4×k2+ 4×k+ 1 = 2×(2×k2+ 2×k) + 1qui est un nombre impair). Ainsi, la somme des carrés de deux nombres entiers impairs est en faitune somme de deux nombres entiers impairs et la somme de deux nombres impairs est un nombre pair(c"est encore évident, mais

on peut le démontrer comme suit : un nombre est impair s"il peut s"écrire2×κ+ 1avecκentier

(pour le premier à sommer) et2×λ+ 1avecλentier (pour le second à sommer), donc la somme est

(2×κ+ 1) + (2×λ+ 1) = 2×(κ+λ+ 1)qui est un nombre pair).

Affirmation 5

La somme de deux nombres premiers est toujours un nombre premier. Faux!Contre-exemple :3et5sont des nombres premiers, mais3+5 = 8n"est pas un nombre premier (car8est divisible par1,2,4ou8).

Affirmation 6

La somme de deux nombres premiers n"est jamais un nombre premier. Faux!Contre-exemple :2et3sont des nombres premiers, et2 + 3 = 5est aussi un nombre premier.

Exercice 2

Denis Vekemans -2/7-Mathématiques et sciences expérimentales et technologie

CRPEPG12014

1.0,5Lde boissonAcontient0,5×0,1L= 0,05Lde jus d"orange;1,25Lde boissonBcontient

1,25×0,05L= 0,0625Lde jus d"orange. La bouteille de boissonBcontient donc plus de jus d"orange

que la bouteille de boissonA.

2.20cLde boissonAcontient20×0,1cL= 2cLde jus d"orange;30cLde boissonBcontient30×

0,05cL= 1,5cLde jus d"orange. Le mélange de20cL+30cL= 50cLcontient2cL+1,5cL= 3,5cL

de jus d"orange soit un taux de3,5cL

50cL= 0,07 = 7%.

3. Le verre de40cLcontientx cLde boissonAsoitx×0,1cLde jus d"orange et(40-x)cLde boisson

Bsoit(40-x)×0,05cLde jus d"orange.

Le mélange de40cLcontientx×0,1cL+(40-x)×0,05cL= (2+0,05×x)cLde jus d"orange soit un taux de (2 + 0,05×x)cL

40cL=2 + 0,05×x40.

Le mélange doit contenir8%de jus d"orange, donc0,08 =2 + 0,05×x

40, i.e.3,2 = 2 + 0,05×x, i.e.

x=1,2

0,05= 24.

Conclusion : un verre qui contient24cLde boissonAet16cLde boissonBcontient8%de jus d"orange pour un mélange de40cL.

4. Quel nombre est alors obtenu dans la cellule C14?

Il s"agit du nombre(0,1×A14 + 0,05×B14)/40d"après la formule copiée/collée. Ce nombre vaut(0,1×12 + 0,05×28)/40 = (1,2 + 1,4)/40 = 0,065. Ce nombre représente le taux de jus d"orange dans le mélange de composé de12cLde boissonAet

28cLde boissonB:0,065 = 6,5%de jus d"orange dans le mélange.

Exercice 3

Partie A

1. Le quadrilatèreMBCNest un trapèze rectangle enBet enC(car les angles enBet enCde ce

quadrilatère sont droits par propriété du rectangleABCD). Denis Vekemans -3/7-Mathématiques et sciences expérimentales et technologie

CRPEPG12014

2. Soitsla symétrie de centreO.

Pars, - l"image du pointAest le pointCet l"image du pointBest le pointD(carOest centre de symétrie du rectangleABCD);

- l"image de la droite(AB)est donc la droite(CD)(parce que la symétrie centrale est une isométrie

et qu"elle conserve, par conséquent, l"alignement); - l"image de la droite(OM)est la droite(OM)(parce qu"une droite passant par le centre de symétrie est globalement invariante par cette symétrie); - l"image deM(comme point de concours des droites(AB)et(OM)) est doncN(comme point de concours des droites(CD)et(OM)); - donc, l"image du segment[AM]est le segment[CN]et l"image du segment[BM]est le segment[DN]

(parce que la symétrie centrale est une isométrie et qu"elle conserve, par conséquent, l"alignement),

et ainsi,AM=CNetBM=DN(parce que la symétrie centrale est une isométrie et qu"elle conserve, par conséquent, les longueurs).

3. En considérant les parallèles(NP)et(DB)et les sécantes(DC)et(BC), le théorème de Thalès donneCD

CN=CBCP(=DBNP).

On déduit

CN=5cm9cm=59.

Et, deCP=5

9×CNet deCB=59×CD, on tire

BP=CB-CP

9×CN-59×CD

9×(CD-CN)

9×DN

9×BMcarBM=DNvoir question précédente.

Partie B

1. (a) Soitsla symétrie de centreO.

Pars, l"image du quadrilatèreBMNCest le quadrilatèreDNMA, doncA(BMNC) =A(DNMA)

(parce que la symétrie centrale est une isométrie et qu"elle conserve, par conséquent, les longueurs).

Ainsi,A(ABCD) =A(BMNC)+A(DNMA) = 2×A(BMNC)etA(BMNC) =A(ABCD) 2=

5cm×9cm

2=452cm2.

Denis Vekemans -4/7-Mathématiques et sciences expérimentales et technologie

CRPEPG12014

(b) La formule donnant l"aire d"un triangle fournit

A(BMP) =BM×BP

2car l"angle enBdu triangleBMPest droit

BM×5

9×BM

2d"après la partie précédente

9×BM2

2 5

9×(9cm-AM)2

2carAM+MB=AB

9×(9cm-6cm)2

2car pour cette question,AM= 6cm

5 2cm2 et

A(PNC) =PC×CN

2car l"angle enCdu trianglePNCest droit

9×CN×CN

2d"après la partie précédente

9×CN2

2 5

9×AM2

2carAM=CNd"après la partie précédente

9×(6cm)2

2car pour cette question,AM= 6cm

= 10cm2 (c) DeA(BMNC) =A(BMP) +A(MNP) +A(PNC), on extrait

A(MNP) =45

2cm2-52cm2-10cm2= 10cm2.

2. À partir de maintenant, les longueurs sont données encmet les aires sont données encm2:AM=x

signifie que le segment[AM]mesurex cm;A(BMNC) =45

2signifie que l"aire du quadrilatèreBMNC

est de 45

2cm2; etc.

(a) Soitsla symétrie de centreO. Pars, l"image du quadrilatèreBMNCest le quadrilatèreDNMA, doncA(BMNC) =A(DNMA)

(parce que la symétrie centrale est une isométrie et qu"elle conserve, par conséquent, les longueurs).

Ainsi,A(ABCD) =A(BMNC)+A(DNMA) = 2×A(BMNC)etA(BMNC) =A(ABCD) 2=

5×9

2=452ne dépend pas dex.

Denis Vekemans -5/7-Mathématiques et sciences expérimentales et technologie

CRPEPG12014

(b) La formule donnant l"aire d"un triangle fournit

A(BMP) =BM×BP

2car l"angle enBdu triangleBMPest droit

BM×5

9×BM

2d"après la partie précédente

9×BM2

2 5

9×(9-x)2

2carAM+MB=ABetAM=x

5×(9-x)2

18 et

A(PNC) =PC×CN

2car l"angle enCdu trianglePNCest droit

9×CN×CN

2d"après la partie précédente

9×CN2

2 5

9×x2

2carAM=CNd"après la partie précédente etAM=x

5×x2

DeA(BMNC) =A(BMP) +A(MNP) +A(PNC), on extrait

f(x) =A(MNP) =45

2-5×(9-x)218-5×x218

405-5×(x2-18×x+ 81)-5×x2

405-5×x2+ 90×x-405-5×x2

18 =-5

9×x2+ 5×x

3. (a) - Le graphique correct ne peut être celui de la figure 1, car d"après la première partie (ou bien

d"après un calcul rapide),f(6) = 10, ce qui n"est pas le cas sur la figure 1.

- Le graphique correct ne peut être celui de la figure 2, car d"après uncalcul rapide,f(3) = 10,

ce qui n"est pas le cas sur la figure 2.

Puisque l"un des trois graphiques est supposé correct, il ne peut s"agir que de celui de la figure 3.

(b) Par lecture graphique, il semble que la fonctionfatteigne son maximum en une valeur proche de

4,5et l"aire maximale est alors proche de11si on arrondit à l"unité près.

4. (a)

45
45

4-59×x2+ 5×x-454

=-5

9×x2+ 5×x=f(x).

Denis Vekemans -6/7-Mathématiques et sciences expérimentales et technologie

CRPEPG12014

D"autre part,f(9

2) =454.

4etf(92) =454, on déduit que la fonctionfatteint son maximum454en la valeur92.

Denis Vekemans -7/7-Mathématiques et sciences expérimentales et technologiequotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

[PDF] [PDF] Correction de lépreuve de mathématiques du CRPE 2014 du sujet

Denis Vekemans

Exercice 1

Affirmation 1On est certain que cet homme a34ans.

Donc, soitA, soitA+ 1est divisible par5.

89ans (après sa date d"anniversaire), par exemple; auquel cas, il avait88ans au31décembre de l"an

Affirmation 2

6d"après l"énoncé;

6car la

3d"après l"énoncé;

3car la

CRPEPG12014

6×16=536.

6×23=19.

36+19=14=

Affirmation 3

Cette voiture est en excès de vitesse.

1 000km

3 600h= 67,5km/h <70km/h.

Affirmation 4

Affirmation 5

Affirmation 6

Exercice 2

CRPEPG12014

1.0,5Lde boissonAcontient0,5×0,1L= 0,05Lde jus d"orange;1,25Lde boissonBcontient

1,25×0,05L= 0,0625Lde jus d"orange. La bouteille de boissonBcontient donc plus de jus d"orange

2.20cLde boissonAcontient20×0,1cL= 2cLde jus d"orange;30cLde boissonBcontient30×

0,05cL= 1,5cLde jus d"orange. Le mélange de20cL+30cL= 50cLcontient2cL+1,5cL= 3,5cL

50cL= 0,07 = 7%.

3. Le verre de40cLcontientx cLde boissonAsoitx×0,1cLde jus d"orange et(40-x)cLde boisson

Bsoit(40-x)×0,05cLde jus d"orange.

40cL=2 + 0,05×x40.

40, i.e.3,2 = 2 + 0,05×x, i.e.

0,05= 24.

4. Quel nombre est alors obtenu dans la cellule C14?

28cLde boissonB:0,065 = 6,5%de jus d"orange dans le mélange.

Exercice 3

Partie A

1. Le quadrilatèreMBCNest un trapèze rectangle enBet enC(car les angles enBet enCde ce

CRPEPG12014

2. Soitsla symétrie de centreO.

3. En considérant les parallèles(NP)et(DB)et les sécantes(DC)et(BC), le théorème de Thalès donneCD

CN=CBCP(=DBNP).

On déduit

CN=5cm9cm=59.

Et, deCP=5

9×CNet deCB=59×CD, on tire

BP=CB-CP

9×CN-59×CD

9×(CD-CN)

9×DN

9×BMcarBM=DNvoir question précédente.

Partie B

1. (a) Soitsla symétrie de centreO.

5cm×9cm

2=452cm2.

CRPEPG12014

A(BMP) =BM×BP

2car l"angle enBdu triangleBMPest droit

BM×5

9×BM

2d"après la partie précédente

9×BM2

9×(9cm-AM)2

2carAM+MB=AB

9×(9cm-6cm)2

2car pour cette question,AM= 6cm

A(PNC) =PC×CN

2car l"angle enCdu trianglePNCest droit

9×CN×CN

2d"après la partie précédente

9×CN2

9×AM2

2carAM=CNd"après la partie précédente

9×(6cm)2

2car pour cette question,AM= 6cm

A(MNP) =45

2cm2-52cm2-10cm2= 10cm2.

2. À partir de maintenant, les longueurs sont données encmet les aires sont données encm2:AM=x

2signifie que l"aire du quadrilatèreBMNC