? du baccalauréat S Nouvelle-Calédonie 17 novembre 2014 Exercice 1 5 points Commun à
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Nouvelle-Calédonie 17 novembre 2014 - Corrigé - APMEP
? du baccalauréat S Nouvelle-Calédonie 17 novembre 2014 Exercice 1 5 points Commun à
Nouvelle Calédonie GLYCÉMIE ET DIABÈTE
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A. P. M. E. P.
?Corrigé du baccalauréat S Nouvelle-Calédonie?17 novembre 2014
Exercice 15 points
Commun à tous lescandidats
Une fabrique de desserts glacés dispose d"une chaîne automatisée pour remplir des cônes de glace.
PartieA
Les cônes de glace sont emballés individuellement puis conditionnés en lots de 2000 pour la vente en gros.
On considère que la probabilité qu"un cône présente un défaut quelconque avant son conditionnement en
gros est égale à 0,003.On nommeXla variable aléatoire qui, à chaque lot de 2000 cônes prélevés au hasard dans la production,
associelenombredecônesdéfectueux présents danscelot.Onsuppose quelaproductionestsuffisamment
importante pour que les tirages puissent être supposés indépendants les uns des autres.1.La variable aléatoire donne le nombre de cônes défectueux eton suppose que les 2000 tirages sont
indépendants les uns des autres. De plus, la probabilité qu"un cône soit défectueux est de 0,003.
On peut donc dire que la variable aléatoireXsuit la loi binomiale de paramètresn=2000 etp=0,003.
2.Si un client reçoit un lot contenant au moins 12 cônes défectueux, l"entreprise procède alors à un
échange de celui-ci.
L"événement "un lot n"est pas échangé » se produit quand le nombre de cônes défectueux est infé-
rieur ou égal à 11, donc correspond àX?11.P(X?11)=11?
k=0P(X=k)On calcule les probabilités (arrondies à 10
-5) : kP(X=k)P(X?k)00,002460,00246
10,014780,01724
20,044460,06170
30,089100,15080
40,133850,28465
50,160780,44544
60,160860,60630
70,137880,74419
80,103360,84755
90,068840,91639
100,041240,95763
110,022450,98007
Donc la probabilité qu"un lot ne soit pas échangé est 0,980 aumillième.Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.
PartieB
Chaque cône est rempli avec de la glace à la vanille. On désigne parYla variable aléatoire qui, à chaque
cône, associe la masse (exprimée en grammes) de crème glacéequ"il contient. On suppose queYsuit une loi normaleN?110 ;σ2?, d"espéranceμ=110 et d"écart-typeσ.Une glace est considérée comme commercialisable lorsque lamasse de crème glacée qu"elle contient ap-
partient à l"intervalle[104; 116].On sait que la probabilité de l"événement " une glace est commercialisable » est 0,98, ce qui signifie que
P(104?Y?116)=0,98.
D"après le cours, on sait que, siYsuit la loi normale de paramètresμ=110 etσ, alors la loiZ=Y-110
σsuit
la loi normale centrée réduite (de moyenne 0 et d"écart type 1).104?Y?116?? -6?Y-110?6?? -6
σ?Y-110σ?6σdonc
P(104?Y?116)=0,98??P?
-6σ?Z?6σ?
=0,98 On peut représenter la situation par le graphique ci-dessous : -6σ6σ 98%1%1%
On peut en déduire queP?
Z?6σ?
=0,99. On peut le démontrer en utilisant un résultat connu du cours :P(-t?Z?t)=2P(Z?t)-1.On cherche donc la valeurttelle queP(Z?t)=0,99 sachant que la variable aléatoireZsuit la loi normale
centrée réduite; on trouve à la calculatricet≈2,326.On a donc :
6Une valeur approchée à 10
-1près du paramètreσtelle que la probabilité de l"événement "la glace est com- mercialisable» soit égale à 0,98 est 2,6.Vérification
Si Y suit la loi normale de paramètresμ=110etσ=2,6alors P(104?Y?116)≈0,979. Si on prendσ=2,5on trouve P(104?Y?116)≈0,984. Enfin en prenantσ=2,7on trouve P(104?Y?116)≈0,974.La valeur approchée à10-1près deσqui donne la probabilité la plus proche de 0,98 est2,6.
PartieC
Une étude réalisée en l"an 2000 a permis de montrer que le pourcentage de Français consommant réguliè-
rement des glaces était de 84%.L"intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95% d"un pourcentagepdans une population de taille
nest : I=? p-1,96? p(1-p)?n;p+1,96? p(1-p)?n? On an=900 etp=0,84 donc l"intervalle de fluctuation asymptotique au seuilde 95% du pourcentage de Français consommant régulièrement des glaces en 2000 est : I=?0,84-1,96?
0,84×0,16?900; 0,84+1,96?
0,84×0,16?900?
≈[0,816; 0,864]Nouvelle-Calédonie217 novembre2014
Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.
En 2010, sur 900 personnes interrogées, 795 d"entre elles déclarent consommer des glaces, ce qui fait une
proportion def=795