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n'est pas factorisable en produit de facteurs du premier degré à coefficients réels Remarques : • On appelle racine du polynôme ² toute solution de l'équation : ² 0

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Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www maths-et-tiques FONCTIONS POLYNOMES DU SECOND DEGRE I Définition Une fonction polynôme de

Équation du second degré

I) Définition

Une équation du second degré est de la forme : ࢇ࢞; ൅ ࢈࢞ ൅ࢉൌ૙

avec a 0 .

II) Discriminant

Le réel ࢈; െ ૝ࢇࢉ se note ο et s'appelle le discriminant du trinôme :

On a donc .

p~F h.

Exemples :

• Calculer le discriminant de ͵ݔ;Ȃͷݔ ൅ ͳ :

Réponse :

= (- 5 ) ² - 4 ( 3 ) ( 1) = 13 • Calculer le discriminant de ݔ;Ȃ͵ݔ ൅ ଷ

Réponse :

= 3 • Calculer le discriminant de ͳ

ݔ; ൅ ݔ+ 5 :

Réponse :

= -9 III) Equation du second degré : a x ² + b x + c = 0 avec a 0

Soit ࢇ࢞; ൅ ࢈࢞ ൅ ࢉun polynôme du second degré (a ്0) et

= ࢈; െ ૝ࢇࢉ son discriminant.

L'existence de solutions pour l'équation ࢇ࢞; ൅ ࢈࢞ ൅ ࢉ ൌ ૙ et la factorisation du

polynôme dépendent du signe de :

Si > 0 Si = 0 Si < 0

l'équation ࢇ࢞; ൅ ࢈࢞ ൅ ࢉ ൌ ૙ admet deux solutions distinctes dans IR : et

Le trinôme se factorise de

la façon suivante : l'équation ࢇ࢞ ; ൅ ࢈ ࢞ ൅ ࢉ ൌ ૙ admet une solution unique dans IR :

Le trinôme se factorise

de la façon suivante : ࢇ ࢞ ; ൅ ࢈࢞ ൅ ࢉ ൌ ૙ n'admet pas de solution dans IR en produit de facteurs du premier degré à coefficients réels.

Remarques :

On appelle racine du polynôme ܽݔ; ൅ ܾݔ ൅ ܿ Lorsque l'équation admet une solution unique ݔ , c'est-à-dire lorsque = 0 , on dit que ݔ est une solution double, car elle a deux fois la même solution et

Exemples :

Déterminer si les polynômes suivants admettent des racines ; si oui en donner une factorisation.

Réponses :

• Pour ࢌǣ = 25 le polynôme admet 2 racines - 2 et 3 , • Pour ࢍ: = 36 le polynôme admet 2 racines : 1 et 7 , • Pour ࢎ : = 0 le polynôme admet une racine 3 2 • Pour j : = - 3 le polynôme n'admet aucune racine dans Թ et n'est pas factorisable.

IV) Interprétation graphique

Soit ࢇ࢞; ൅ ࢈࢞ ൅ ࢉun polynôme du second degré (ࢇ ് 0) et = ࢈; െ ૝ࢇࢉ son

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Équation du second degré

I) Définition

II) Discriminant

On a donc .

Exemples :

Réponse :

Réponse :

ݔ; ൅ ݔ+ 5 :

Réponse :

Si > 0 Si = 0 Si < 0

Le trinôme se factorise de

Le trinôme se factorise

Remarques :

Exemples :

Réponses :

IV) Interprétation graphique

Si > 0

Si = 0

Si < 0