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Toute l'analyse
de la Licence Jean-Pierre EscoerP00I-0II-9782100589173.indd 126/03/2014 12:39:01© Dunod, 2014
5 rue Laromiguière, 75005 Paris
www.dunod.com ISBN 978-2-10-058917-3Illustration de couverture : © istockphoto.com P00I-0II-9782100589173.indd 226/03/2014 12:39:02AVANT-PROPOS
Ce livre a été rédigé pour être vraiment accessible aux étudiants et étudiantes de
licence de mathématiques. Il est aussi destiné aux étudiants et étudiantes de CAPES ou d'agrégation de mathématiques. Enfin, j'ai aussi pensé en l'écrivant aux ensei- gnants et enseignantes de mathématiques actuels du secondaire et à tous ceux et cel- les qui ont fait un jour des mathématiques et ont envie de les revoir avec un éclai- rage historique qui permette de mieux les intégrer dans leurs connaissances. Le livre a son plan, ses exigences propres et il comporte des passages nettement plus difficiles que d'autres. Les mathématiques ne sont pas faites que de généralités faciles, même si nos devanciers ont travaillé pour nous rendre les choses plus sim- ples et mieux organisées. Les lecteurs et lectrices sauront reconnaître les passages et les exercices plus difficiles et les laisser de côté, pour une seconde lecture peut-être.
Le sujet de ce livre, la partie des mathématiques appelée " analyse », a commencéà être vraiment exploré au
XVII e siècle. Son objet est d'abord l'étude des fonctions numériques (les fonctions définies sur l'ensemble des nombres réels ou l'ensemble des nombres complexes et à valeur dans ces ensembles). Une grande partie de l'analyse est consacrée aux méthodes pour trouver des fonctions vérifiant des pro-priétés données comme être solution d'équations fonctionnelles, d'équations diffé-
rentielles (ED) ou d'équations aux dérivées partielles (EDP). Pour développer l'analyse, il faut commencer par construire rigoureusement les réels, ce qu'une approche géométrique héritée des Grecs ne permettait pas. Il faut définir et étudier les fonctions continues, les fonctions dérivables, construire des intégrales. Comme les ED et EDP ne se résolvent que très rarement avec les fonc- tions dont on dispose, il faut aussi développer des méthodes d'analyse numérique, savoir approcher une fonction, utiliser des inégalités, construire des suites et des séries...