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TroisièmeDevoir maison de trigonométrie : Corrigé2007/2008Exercice 1 :1)

2)Le triangle ABC est équilatéral : il a trois côtés égaux et trois angles égaux.Propriété : Dans un triangle, la somme des angles est égale à 180°Donc :

ABC = 180°

3 = 60 °

3) Dans le triangle ABH, rectangle en H,cos

ABH = BH AB

Nous savons que AB = 6 cmLe triangle ABC étant équilatéral, (AH) est aussi médiatrice du segment [BC].D'où : H est le milieu de [BC]. Alors, BH =

BC2 = 6

2 = 3

Par conséquent : cos

ABH = 3 6 = 1

2 = cos 60°

4) a) BAH est un triangle rectangle en H.Propriété :

Dans un triangle rectangle, les angles aigus sont complémentaires (=leur somme est égale à 90° )D'où : BAH = 90° - 60° = 30° b) Dans le triangle ABH, rectangle en H,sin BAH = BH AB

On constate que sin

BAH = cos ABH autrement dit : cos 60° = sin 30° 5) a) Dans le triangle ACH, rectangle en H, on applique le théorème de Pythagore,AC2 = AH2 + HC2

C'est-à-dire : 62 = AH2 + 32

D'où : AH2 = 36 - 9 = 27D'où : AH =

27 = 3x9 = 33 b) 6

2 = 3. d'où: AH = 63

2

6) Dans le triangle AHC, rectangle en H, sin

ACH = AH AC

D'où : sin 60° =

63

2 6 = 3 2

7) En raisonnant comme dans le 4)b) , on montre que cos 30° = sin 60°D'où : cos 30° =

3 2 tan 30° = sin30° cos30° = 1 2 3 2 = 1 2 x2 3 = 13 = 3 3 tan 60° = sin60° cos60° = 3 2 1 2 = 3 2 x 2

1 = 3

Exercice 2 :1) Dans le triangle EFG, rectangle en F, on applique le théorème de Pythagore : EG2 = EF2 + FG2

EG2 = 52 + 52 = 25 + 25 = 50D'où : EG =

50 = 2x25 = 52

2) FEG est un triangle rectangle isocèle en F, d'où :

FEG = EGF = 90

2 = 45°

3) Dans le triangle EFG, rectangle en F, cos

FEG = EF

EG = 5

52 = 12 =

2 2

D'où : cos 45° =

2 2

Dans le même triangle, sin FEG = FG

EG = 5

52 =

2 2

Donc sin 45° = cos 45° =

2 2

4) Comme sin 45° = cos 45°, alors tan 45° = 1D'où le tableau suivant :Angle(en degrés)304560

sin1 2 2

23

2cos 3

22

2 1 2tan 3

313

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