Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www maths-et-tiques FONCTIONS POLYNÔMES est une fonction polynôme de degré 1 (fonction affine)
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FONCTIONS POLYNÔMES DE DEGRÉ 3
Partie 1 : Définition
Exemples et contre-exemples :
=4 +1 -2 sont des fonctions polynômes de degré 3. =1+ -2 =-+4 est une fonction polynôme de degré 1 (fonction affine). =2 +5-1 est une fonction polynôme de degré 5. Définition : Les fonctions définies sur ℝ par ⟼ ou ⟼ + sont des fonctions polynômes de degré 3. Les coefficients et sont des réels donnés avec ≠0.Partie 2 : Représentation graphique
Propriétés :
Soit une fonction polynôme de degré 3, telle que - Si <0 : est strictement croissante. - Si <0 : est strictement décroissante.2 sur 4
Partie 3 : Forme factorisée d'une fonction polynôme de degré 3Exemple :
La fonction définie par
=5 -4 -1 +3 est une fonction polynôme de degré 3 sous sa forme factorisée. Si on développe l'expression de à l'aide d'un logiciel de calcul formel, on obtient bien l'expression de degré 3 : =5 -10 -55+60 Définition : Les fonctions définies sur ℝ par sont des fonctions polynômes de degré 3.Les coefficients ,
et sont des réels avec ≠0.En partant de l'expression développée précédente, on peut vérifier que 4, 1 et -3 sont des
racines du polynôme . 4 =5×4 -10×4 -55×4+60=320-160-220+60=0 1 =5×1 -10×1 -55×1+60=5-10-55+60=0 -3 =5× -3 -10× -3 -55× -3 +60=-135-90+165+60=04, 1 et -3, solutions de l'équation
=0, sont donc des racines de f. Propriété : Soit la fonction définie sur ℝ parL'équation
=0 possède trois solutions (éventuellement égales) := et appelées les racines de la fonction polynôme f. Méthode : Étudier le signe d'un polynôme de degré 3Vidéo https://youtu.be/g0PfyqHSkBg
Étudier le signe de la fonction polynôme définie sur ℝ par : =2 +1 -2 -5Correction
2 étant un nombre positif, le signe de 2
+1 -2 -5 dépend du signe de chaque facteur : +1, -2 et -5. On étudie ainsi le signe de chaque facteur et on présente les résultats dans un tableau de signes. +1=0 ou -2=0 ou -5=0 =-1 =2 =53 sur 4
-1, 2 et 5 sont donc les racines du polynôme . En appliquant la règle des signes dans le tableau suivant, on pourra en déduire le signe du produit =2 +1 -2 -5 On en déduit que ()≥0 pour ∈ -1;25;+∞
et -∞;-1 2;5La représentation de la fonction à l'aide d'un logiciel permet de confirmer les résultats
établis précédemment.
Partie 4 : Équation de la forme x
3 = cPropriété :
L'équation
=, avec c positif, possède une unique solutionCette solution peut également se noter
4 sur 4
Méthode : Résoudre une équation du type x 3 = cVidéo https://youtu.be/4tQJRkpIH3k
Résoudre dans ℝ les équations : a) =27, b) 2 -6=16Correction
a) On cherche le nombre qui, élevé au cube, donne 27. Ce nombre est égal à la racine cubique de 27, soit : = 27=3. b) 2 -6=16