N3 (inégalité triangulaire) ∀x, y ∈ E, x + y ≤ x + y Un espace vectoriel sur R muni d'une norme est appellé espace vectoriel normé (e v n ) Soit E un e v n
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Universite Claude Bernard - Lyon 1Semestre d'automne 2012-2013
Mathematiques en cursus preparatoires, 2
emeanneeFeuille d'exercices n o3Topologie1 Normes et distances
Rappels.
Denition NORME :SoitEun espace vectoriel surR:On appelle normesurEune application k k:E!R+; x7! kxk 2R+; qui verieN1 (separation)8x2E;kxk= 0,x= 0
N2 (homogeneite positive)82R;8x2E;kxk=jj kxk
N3 (inegalite triangulaire)8x;y2E;kx+ykkxk+kyk:
Un espace vectoriel surRmuni d'une norme est appelle espace vectoriel norme(e.v.n.). SoitEun e.v.n. L'applicationd:EE!R+qui au couple (x;y)2EEassocied(x;y) :=kxyk s'appelle la distance induite par la norme. Denition DISTANCE :SoitEun ensemble non-vide. On dit qu'une application d:EE!R+;(x;y)7!d(x;y) est une distancesurEsi elle verie les trois axiomes suivants :D1 (separation)8(x;y)2EE; x=y,d(x;y) = 0;
D2 (symetrie)8(x;y)2EE; d(x;y) =d(y;x);
D3 (inegalite triangulaire)8(x;y;z)2EEE; d(x;y)d(x;z) +d(z;y): On appelle espace metriquetout couple (E;d) ouE6=;est un espace vectoriel etdest une distance.Exercice 1. Les normes usuelles deRn
On denit surRnles applications suivantes :
pour toutx= (x1;:::;xn)2Rn, kxk1=nX i=1jxij;kxk2=v uutn X i=1jxij2;kxk1= maxi=1;:::;njxij;1. Montrer quek:k1etk:k1sont des normes surRn.
2. On s'interesse ici a la normekxk2:
a. On se propose de demontrer l'inegalite de Cauchy-Schwarz. Pour cela on introduit la fonction polyn^ome de degre 2 denie par :P:t!nX
i=1(xi+tyi)2; lorsquexetydesignent deux vecteurs donnes deRn. 1 i. Quelle condition sur le discriminant dePtraduit le fait quePest toujours a valeurs positives? ii. En deduire l'inegalite dite de Cauchy-Schwarz nX i=1x iyi kxk2kyk2: b. En deduire quek:k2verie l'inegalite triangulaire et constitue une norme surRn.3. Etablir les inegalites suivantes : pour toutx2Rn,
8< :kxk1 kxk1nkxk1; kxk1 kxk2pnkxk1; kxk2 kxk1pnkxk2: En conclure que les trois normes etudiees sont equivalentes.4. Representer dansR2les boules centrees a l'origine et de rayon 1 pour chacune des trois normes
envisagees ci-dessus. Exercice 2.On considere les applications suivantes : N1:R2!R
(x1;x2)7! jx1+x2j+jx1j;N2:R2!R (x1;x2)7!max(jx1+ 3x2j;jx1x2j):1. Verier que chacune de ces applications denit une norme.
2. Tracer la boule unite autour de l'origine par rapport aN1;et par rapport aN2:
Exercice 3.Trouver une condition necessaire et susante sur la matriceA=a b c d pour que l'ap- plicationN:R2!R
(x1;x2)7! jax1+bx2j+jcx1+dx2j denisse une norme surR2. Exercice 4.SoitEun espace vectoriel. Pourx;y2Eon denit d(x;y) =0 six=y;1 sinon.
1. Montrer qued(x;y) denit une distance.
2. Montrer que cette distance n'est induite par aucune norme.
Exercice 5. Espaces metriques et espaces vectoriels normesSoit l'application
f:RR!R (x;y)7!d(x;y) =x1 +jxjy1 +jyj1. Montrer quedest une distance surR.
2. La distance est-elle induite par une norme?
23. On munitRde la distanced. Montrer queRest borne. Calculer son diametre.
On rappelle que le diametre d'une partieA2Rnbornee est deni par : (A) = sup (X;X0)2AAd(X;X0):4. De facon plus generale, a toute bijectionf:R!IR, on associe l'application
f:RR!R (x;y)7!f(x;y) =jf(x)f(y)j: a. Demontrer quefest une distance surR b. Trouver une condition necessaire et susante portant sur la fonctionfpour quefsoit induite par une norme.2 Ouverts, fermes
Exercice 6.Montrer en utilisant la denition d'un ouvert et d'un ferme que :1. Tout ouvert deRnest une reunion de boules ouvertes.
2. L'ensemble ]a;b[,a < best ouvert dansR.
3. L'ensemble [a;b],a < best ferme dansR.
4. L'ensemble [a;b[,a < bn'est ni ouvert ni ferme dansR.
5. L'ensemblef1=n; n2Ng [ f0gest ferme dansR.
6. L'ensemblef1=n; n2Ngn'est ni ouvert ni ferme dansR.
7. SiFest un sous-espace vectoriel deRncontenant une boule ouverte, alorsF=Rn.
Exercice 7.Determiner si les ensembles suivantes sont ouverts, fermes, ni ouverts ni fermes.1. L'intervalle dansR2:f(x;y)2R2j1< x <3;y= 0:g
2. Le cercle unitaire :f(x;y)2R2jx2+y2= 1:g
3. Le disque :f(x;y)2R2jx2+y21:g
Exercice 8.SoitEun espace vectoriel norme. On xex02Fet on denit f:E7!E u!x0+u1. Montrer que siUEest une partie ouverte, alorsf(U) est aussi une partie ouverte deE.
2. Montrer que siFEest une partie fermee, alorsf(F) est aussi une partie fermee deE.
Exercice 9.
1. Montrer que sifUigIi=1est une famille nie d'ouverts deRnalorsI\
i=1U iest un ouvert deRn. 32. Determiner
n2N]1=n;1=n[ et en deduire que le resultat precedent ne se generalise pas lorsque l'on considere une famille innie d'ouverts.3. Enoncer (et demontrer) les resultats analogues a ceux qui precedent concernant l'union de familles
de fermes. Exercice 10.Determiner l'interieur, la frontiere et l'adherence des ensembles suivants. Determiner egalement s'ils sont ouverts, fermes, ni ouverts ni fermes.A=f(x;y;z)2R3j0< x2+y2+z21g,
B=f(1n
;1m )2R2jn;m2Ng,C=f(x;y)2R2jyx2ety1x2g.
Exercice 11. Voisinage
SoitPun point deRn. En general on dit qu'une fonctionfverie une certaine propriete dans un voisinage dePsi cette propriete est satisfaite au moins dans un ensemble ouvert contenantP.