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1S:ds 6Devoir surveillé 62015-2016

Total des points sur 20.

EXERCICE 1:(sur 3.5 points)

On donne sur la figure ci-dessous la courbe représentativeCd"une fonctionf. Sont aussi tracées les

droites tangentes à la courbe aux pointsA,BetC.

Avec la précision permise par le graphique :

1. Donner, sans justifier, par lecture graphiquef(-2),f(-1) etf(1).

2. Donner, en justifiant, par lecture graphiquef?(-2),f?(-1) etf?(1).

3. Déterminer une équation de la tangente àCau point d"abscisse 1.

EXERCICE 2:(sur 5.5 points)

1 1

Soitfla fonction définie surRpar :

f:x?-→x2+ 2x-4

On appelleCsa courbe représentative.

1. Déterminer les coordonnées des points d"intersection deC

avec les axes du repère.

2. Déterminer le nombre dérivé defen 0 en utilisant la limite

du taux d"accroissement.

3. Déterminerf?(-1) en utilisant la méthode de votre choix.

4. On donnef?(-3) =-4.

(a) Tracer dans le repère de la figure ci-contre, les tan- gentes àCqu"on peut déduire des questions précé- dentes ou des informations données dans l"énoncé. (b) Dresser, en justifiant, le tableau de variations defpuis tracerCdans le repère ci-contre.

Lycée Bertran de Born1 sur 3

1S:ds 6Devoir surveillé 62015-2016

EXERCICE 3:(sur 4 points)

On considère la fonctionfdéfinie surRparf(x) =-2x3+ 10x2-3x-1. On noteCfsa courbe représentative dans un repère.

1. Calculerf?(x) pour toutxdeR.

2. Démontrer qu"une équation de la tangenteTàCfen le point d"abscisse 1 esty= 11x-7.

3. On souhaite trouver les coordonnées des points d"intersection entreTetCf.

(a) Montrer que les abscisses de ces points d"intersection vérifient l"équation : -2x3+ 10x2-14x+ 6 = 0 (b) Déterminer les réelsa,betctels que -2x3+ 10x2-14x+ 6 = (x-1)(ax2+bx+c) (c) En déduire les coordonnées des points d"intersection entreTetCf.

EXERCICE 4:(sur 2 points)

VRAI ou FAUX? Justifier les réponses. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

1. Soitfla fonction définie par :f(x) =⎷

x-1 +x x-3. Son ensemble de définition est ]1;3[?]3;+∞[.

2. Pour tout réelxdifférent de 0 et de 2, on a :

1 x-2x+ 3x-2=-2x2+ 4x-2x(x-2)

EXERCICE 5:(sur 5 points)

On considère la suite (un)n?Ndéfinie par?u

0= 5 u n+1= 0,125u2n+ 1

1. Calculs de termes, représentations graphiques et conjectures.

(a) Détailler le calcul deu1et donner des valeurs approchées des quatre termes suivantscalculées à

la machine.

(b) Donner la fonction de passagepdéfinie sur [0;+∞[ permettant d"écrire :?n?N, un+1=p(un).

(c) Sur l"annexe, on a représenté la fonctionpet la droite d"équationy=xsur [0;7]. Construire sur l"axe des abscisses les termesu0àu5de la suite (un)n?N.

(d) À l"aide de cette représentation, conjecturer le sens devariation et la convergence de la suite

(un)n?N.

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1S:ds 6Devoir surveillé 62015-2016

2. On démontre

(a) i. Déterminer le signe du trinômeX2-8X+ 8 pourX?R. ii. Prouver que?n?N, un+1-un= 0,125(u2n-8un+ 8). iii. On admet que, pour toutn?N,un?[4-2⎷

2;5]. Justifier le sens de variation de (un)n?N.

(b)BONUSOn admet que si la suite (un)n?Nconverge, c"est vers l"une des solutions de l"équation l=p(l). Quelle est donc la limite de (un)n?N? Donner le plus petit rangn?Npour lequel u n<1,172.

1234567

1 2 3 4 5 6 7

y=x Cp

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Total des points sur 20.

EXERCICE 1:(sur 3.5 points)

Avec la précision permise par le graphique :

1. Donner, sans justifier, par lecture graphiquef(-2),f(-1) etf(1).

2. Donner, en justifiant, par lecture graphiquef?(-2),f?(-1) etf?(1).

3. Déterminer une équation de la tangente àCau point d"abscisse 1.

EXERCICE 2:(sur 5.5 points)

Soitfla fonction définie surRpar :

On appelleCsa courbe représentative.

1. Déterminer les coordonnées des points d"intersection deC

2. Déterminer le nombre dérivé defen 0 en utilisant la limite

3. Déterminerf?(-1) en utilisant la méthode de votre choix.

4. On donnef?(-3) =-4.

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EXERCICE 3:(sur 4 points)

1. Calculerf?(x) pour toutxdeR.

2. Démontrer qu"une équation de la tangenteTàCfen le point d"abscisse 1 esty= 11x-7.

3. On souhaite trouver les coordonnées des points d"intersection entreTetCf.

EXERCICE 4:(sur 2 points)

1. Soitfla fonction définie par :f(x) =⎷

2. Pour tout réelxdifférent de 0 et de 2, on a :

EXERCICE 5:(sur 5 points)

On considère la suite (un)n?Ndéfinie par?u

1. Calculs de termes, représentations graphiques et conjectures.

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2. On démontre

2;5]. Justifier le sens de variation de (un)n?N.

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