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chapitre4 :les suites num´eriques12mars2016

Devoir à rendre

Du lundi 7 mars 2016

Exercice1

Monotonie d'une suite(1,5 points)

1)un+1-un=2(n+1)+5

(n+1)+1-2n+5n+1=2n+7n+2-2n+5n+1 (2n+7)(n+1)-(2n+5)(n+1) (n+2)(n+1)

2n2+2n+7n+7-2n2-4n-5n-10

(n+2)(n+1) -3 (n+2)(n+1)

2)?n?N,(n+2)(n+1)>0 doncun<0.

La suite (un) est décroissante.

Exercice2

Conjecture(4,5 points)

1) On obtient les termes suivants :

n0123 un0-8-28-54 On peut conjecturer que la suite est décroissante caru0>u1>u2>u3.

2) a)f?(x)=3x2-18x=3x(x-6).

•f?(x)=0?x=0 oux=6

•Le signe def?(x) est le signe du trinôme.

b) On obtient le tableau de variation suivant : x f ?(x) f(x)

06+∞

0 0+ 00 -108-108 c) La suite est croissante à partir den?6, car?x?6,f?(x)?0. Le caractère continue entraîne le caractère discret (la réciproque est fausse).

3) La conjecture initiale était fausse ce qui prouve que quelques exemples ne démontre

rien.

PaulMilan1premi`ere s

correction du devoir de math´ematiques

Exercice3

Suite arithmétique(4 points)

Les questions suivantes sont indépendantes.

On considère une suite arithmétique (un) de raisonrdéfinie surN.

On poseSn=u0+u1+···+un

1)u39=u7+(39-7)r=u7+32r?r=u39-u7

32=15-11132=-3

u

7=u0+7r?u0=u7-7r=111+7×3=132

u

68=u0+68r=132-3×68=-72

2)Sn=u0+u1+···+un=(n+1)?u0+un

2? u n=u0+nr?u0=un-nr=10-2n

En remplaçant dans l'expression deSn, on a :

S n=-26?(n+1)?10-2n+10 2? =-26?(n+1)(10-n)=-26? Δ =81+144=225=152, la racine positive est :n=9+15 2=12 u

12=u0+12r?u0=u12-12r=10-24=-14

Exercice4

Suite géométrique(3 points)

1)u5=u3q2?q2=32

162=1681

Commeq>0, on a :q=?

16 81=49
u

3=u0q3?u0=u3

q3=162?4 9?

3=162×93

43=59 04932

2)u10=u6q4?q4=u10

u6=510363=81=34

Commeq>0, on a :q=3

u

6=u0q6?u0=u6

q6=6336=781 u

13=u10q3=5 103×33=137 781

paul milan2premi`ereS correction du devoir de math´ematiques

Exercice5

Visualisation d'une suite(2 point)

1)f(x)=1

x+1=1+xx

2) On obtient le graphe ci-dessous.

1234

1 2 3 4 5 6

????v0v1v2v3 O

1+⎷

5 2

3) La suitevnsemble converger vers le point d'intersection de la droite d'équationy=x

et la courbe de la fonctionf. On a alors : x=x+1 x?x2-x-1=0 Δ =1+4=5, la racine positive est alorsx=1+⎷ 5 2

La suite semble donc converger versx=1+⎷

5

2(nombre d'or)

Exercice6

Filtre lumineux(5 points)

1)i1=i0-0,23i0=0,77i0=

2) a)in+1=in-0,23in=0,77in

?n?N,in+1 in=0,77, la suite (in) est géométrique de raisonq=0,77 et de 1er termei0. b)in=i0qn=0,77ni0

3)i4=i0q4?i0=i4

q4=150,774≈42,67 candelas paul milan3premi`ereS correction du devoir de math´ematiques

4) a) On obtient l'algorithme ci-contre.

Comme cela ne dépend pas de l'inten-

sité initiale, on peut par exemple initia- liserIà 1. b) On obtient alors :n=9 vérification : 077

9≈0,095Variables:Nentier etIréels

Entrées et initialisation

0→N

1→I

Traitement

tant queI>0,1faire

N+1→N

0,77×I→I

fin

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