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DS commun 4eme

Un devoir commun de mathématiques pour les élèves de quatrièmes est prévu les 7 et 8 juin. Ce devoir

comportera 8 exercices. Les 7 premiers exercices seront pris dans la liste ci-dessous. Le huitième sera le seul

exercice que les élèves ne connaissent pas à l'avance.

Bonnes révisions.

Mme Lescarcelle, M.Mercier et M.Garland

Exercice1 : Calcul littéral

Exercice1-possibilité1 : (3points)

1. On considère le programme de calcul ci-contre dans

lequel : "réponse", "etape 1" et "Résultat" sont trois variables. Julie a fait fonctionner ce programme en choisissant le nombre 5. Le chat lui a dit à la fin : " J'obtiens finalement 40 ». Que dit le chat si Julie le fait fonctionner en choisissant au départ le nombre 7? Bien expliquer la réponse

2. Développe et réduit A=(2x+3)(5x-2)

3. Paul affirme que pour déveloper B=(2x+1)(3x+4) il

suffit d'écrire B=3x×7xpuis B=21x².Explique ce qui ne va pas dans le raisonnement de Paul et montre que la réponse attendue est B=6x²+11x+4.

Réponses :

1. Julie choisit 7 donc la variable "réponse" vaut 7. Puis la variable "étape1" vaut 42 (résultat de 6×7).

Puis la variable "Résultat" vaut 52 (résultat de 42+10). Le chat va dire "J'obtient finalement 52"

2. A=(2x+3)(5x-2)

A=2x×5x + 2x×(-2) + 3×5x + 3×(-2)

A=10x² + (-4x) + 15x + (-6)

A=10x² + 11x - 6

3. Paul pense que 2x+1 vaut 3x. C'est faux ; en effet si on remplace x par 10 on obtient 21 pour 2x+1 et

30 pour 3x. Ces deux formules ne sont pas égales. De même l'expression 3x+4 qui n'est pas égale à 7x.

B=(2x+1)(3x+4)

B=2x×3x + 2x×4 + 1×3x + 1×4

B=6x² + 8x + 3x + 4

B=6x² + 11x + 4

Exercice1-possibilité2 : (3points)

1. On considère le programme de calcul ci-contre

dans lequel réponse, base, hauteur et réponse sont trois variables.

Julie a fait fonctionner ce programme en

choisissant le nombre 5 puis le nombre 4. Le chat lui a dit à la fin : " L'aire vaut : 10 ». Que dit le chat si Julie le fait fonctionner en choisissant au départ le nombre 10 puis le nombre 4? Bien expliquer la réponse.

2. Développe et réduit A=(3x+2)(5x-4)

3. Paul affirme que pour déveloper B=2x(4x+3) il

suffit d'écrire B=2x×7xpuis B=14x².Explique ce qui ne va pas dans le raisonnement de Paul et

montre que la réponse attendue est B=8x²+6x.

Réponses :

1. Julie choisit 10 donc la variable "réponse" vaut 10 puis la variable base vaut 10. Ensuite Julie

choisie 4 donc la variable "réponse"vaut 4 puis la variable "hauteur" vaut 4. Le chat fait le calcul

(10×4)÷2et affiche "L'aire vaut : 20"

Page 1

2. A=(3x+2)(5x-4)

A= 3x×5x + 3x×(-4) + 2×5x + 2×(-4)

A= 15x² + (-12x) + 10x + (-8)

A= 15x² - 2x - 8

3. Paul pense que 4x+3 vaut 7x. C'est faux ; en effet si on remplace x par 10 on obtient 43 pour 4x+3 et

70 pour 7x. Ces deux formules ne sont pas égales.

B=2x(4x+3)

B=2x×4x + 2x×3

B=8x² + 6x

Exercice2 : Le théorème de Pythagore

Exercice2-proposition1 : (3points)

La figure ci-contre représente la façade d'une grande maison avec son toit. Les trois fenêtres ont la même dimension (2.00 m × 1.00m). La porte mesure 2.00 m × 2.40 m. Une entreprise est chargée de peindre cette façade (pas le toit). Un bidon de peinture de 10 L coûte

75 € et permet de couvrir une surface de 50 m². On souhaite passer 2

couches de peinture sur la façade de cette case.

1. Calculer la largeur de cette maison.

2. Montrer que la surface à peindre est de 93,2m².

Réponses :

1. Modelisons le toit avec un triangle ABC rectangle en A.

Comme le triangle ABC est rectangle en A, d'après le théorème de Pythagore on a :

BC²=BA²+AC²

BC²=5²+12²

BC²=25+144

BC²=169

BC=13. La largeur de la maison est de 13m.

2. La façade, les fenêtres et la porte sont des rectangles dont il est facile de calculer l'aire.

13×8-(2×1)×3-2×2,4=104-6-4,8

=98-4,8 =93,2

La surface à peindre est de 93,2m²

Exercice2 proposition2 : (3points)

Voici une représentation du parcours d'endurance des élèves d'une classe de 4ème.

1. Calculer AC.

2. Calculer DC puis vérifier que la distance d'un tour de ce

parcours est bien de 264m.

Réponses :

1. Le triangle ABC est

rectangle en B donc d'après le théorème de Pythagore on a :

AC²=AB²+BC²

AC²=80²+60²

AC²=6 400 + 3 600

Page 2

AC²=10 000

AC=100 ; La distance entre A et C est de 100m.

2. Le triangle ACD est un triangle rectangle en D donc d'après le théorème de Pythagore on a

AC²=AD²+DC²

100²=28²+DC²

10 000=784+DC²

DC²=10000-784

DC²=9216

La longueur DC est de 96m.

28+80+60+96=264

La longueur d'un tour est bien de 264m.

Exercice3 : Les puissances de 10

Exercice3-proposition1 : (2points)

1. Ecrire A=50×104 et B=2×10-3 sous forme décimale

2. Ecrire 60 000 sous la forme 6×10..... et 0,008 sous la forme 8×10.....

Réponses :

A=50×104

A=50×10000

A=500 000B=2×10-3

B=2×0,001

B=0,00260 000=6×10 000 donc 60 000=6×104

0,008= 8×0,001 donc 0,008=8×10-3

Exercice3-proposition2 : (2points)

1. Ecrire A=8×106 et B=20×10-4 sous forme décimale

2. Ecrire 5 000 sous la forme 5×10..... et 0,0007 sous la forme 7×10.....

Réponses :

A=8×106

A=8×1 000 000

A=8 000 000B=20×10-4

B=20×0,0001

B=0,0025 000=5×1 000 donc 5 000=5×103

0,0007= 7×0,0001 donc 0,0007=7×10-4

Exercice4 : Statistiques

Exercice 4 - Proposition 1 (3points)

Un professeur de SVT demande aux 29 élèves d'une classe de sixième de faire germer des graines de blé chez eux. Le professeur donne un protocole expérimental

à suivre :

- mettre en culture sur du coton dans une boîte placée dans une pièce éclairée, de température entre 20 et 25 °C - arroser une fois par jour - il est possible de couvrir les graines avec un film transparent pour éviter l'évaporation de l'eau. Le tableau ci-dessous donne les tailles des plantules (petites plantes) des 29 élèves à

10 jours après la mise en germination.

Taille en cm08121416171819202122

Effectif12242233442

1. Combien de plantules ont une taille qui mesure au plus 12 cm ?

2. Calculer la moyenne de cette série (c'est à dire la taille moyenne des plantules). Arrondir au dixième près.

3. On considère qu'un élève a bien respecté le protocole si la taille de la plantule à 10 jours est supérieure ou

égale à 14 cm. Quel pourcentage des élèves de la classe a bien respecté le protocole ? Arrondir à l'unité.

Page 3

Réponses :

1. On compte les plantules de 0 ; 8 et 12 cm. 1+2+2 = 5 Il y a 5 plantules qui mesurent au plus 12 cm.

2. Moyenne=0×1+8×2+12×2+14×4+16×2+17×2+18×3+19×3+20×4+21×4+22×2

29=481

29≈16,6

La taille moyenne des planture est d'environ 16,6cm.

3. Sur les 29 élèves, 5 n'ont pas respecté le protocole (voir question 1), donc 24 ont bien respecté ce

protocole.

Effectif2429

Pourcentage?100

? = 24×100

29=83 83% des élèves ont bien respecté le protocole.

Exercice 4 - Proposition 2 (3points)

Voici un diagramme qui représente la répartition des notes de la classe de 5F à un contrôle de mathématiques.

1. Déterminer l'effectif de la classe.

2. Calculer la moyenne de la classe. Arrondir le résultat

au dixième.

3. Calculer le pourcentage d'élèves qui ont obtenu une

note supérieure ou égale à 10. Arrondir au centième.

Réponses :

1. J'additionne les effectifs indiqués par tous les bâtons : 1+2+3+3+4+2+5+3+1+1+2 = 27

Il y a 27 élèves en 5F.

2. Moyenne =

27=317

27≈11,7.

La moyenne des notes est d'environ 11,7.

3. 21 élèves ont obtenu une note supérieure ou égale à 10 sur un total de 27.

EffectifPourcentage

Notes supérieures ou égales à 1021?

Classe27100

21×100÷27≈78

Environ 78% des élèves ont obtenu une note supérieure ou égale à 10.

Exercice5 : Proportionnalité

Exercice 5 - Proposition 1 (2points)

Sur une autoroute, Aliyah a activé le régulateur de vitesse de sa voiture pour rouler à vitesse constante. Elle a parcouru 46 kilomètres en 24 minutes.

1) Elle aperçoit le panneau ci-contre. Calculer dans combien de temps

Aliyah arrivera sur cette aire de repos (Arrondir à la minute).

2) Calculer sa vitesse en km/h.

Page 4

Réponses :

1) Il lui reste 10 km à parcourir. Comme la vitesse est constante (usage du régulateur de vitesse), on va

représenter la situation par un tableau de proportionnalité.

Distance en km4610

Temps en min24?

? = 24×10÷46≈5 Aliyah arrivera sur cette aire dans environ 5 minutes.

2. Pour connaître la vitesse en km/h, il faut calculer la distance parcourue en 60 minutes.

Distance en km46?

Temps en min2460

? = 46×60÷24=115 Aliyah roule à la vitesse de 115 km/h.

Exercice 5 - Proposition 2 (2points)

Le graphique ci-contre représente le prix à payer en fonction de la quantité d'essence achetée dans une station service.

1. Quel est le prix approximatif pour un plein

d'essence de 54 L ?

2. Le prix est-il proportionnel à la quantité d'essence

achetée ? Justifier la réponse.

3. Quelle quantité d'essence ai-je achetée si je paye

100€ ? Arrondir au litre près. Justifier la réponse.

Réponses :

1. On peut lire sur le graphique que le prix est d'environ 70€.

2. Le prix est proportionnel à la quantité d'essence achetée car la situation est représentée par une

droite passant par l'origine.

3. J'utilise un tableau de proportionnalité avec les valeurs de la première question :

Quantité en litres54?

Prix en euros70100

? = 54×100÷70=77 Pour 100€, j'ai acheté environ 77 L d'essence.

Exercice6 : Fractions

Exercice 6 - Proposition 1 (3points)

Calculer en détaillant les étapes et en donnant le résultat sous la forme d'une fraction simplifiée (au maximum).

A = 7 24- 3
4B = -8 45- 2

5C = 9

14- 5

Solutions :

A = 7 24-
3 4B = -8 45-
2 5C = 9 14- 5 A = 7 24-

3×6

4×6B =

-8 45-

2×9

5×9C =

9

14- 5×14

14 A = 7

24- 18

24B =
-8

45- 18

45C =
9

14- 70

14

A = -11

24B = -26

45C = -61

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