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Mathématiques
ECS 1 re année
Mathématiques
ECS 1 re année
Françoise Benoist
Professeur agrégée
de mathématiques en ECS2 au lycée Gay-Lussac (Limoges)
Benoît Rivet
Professeur agrégé de mathématiques
en classes préparatoires au lycée Gay-Lussac (Limoges)
LE COMPAGNON
Samuel Maffre
Professeur agrégé
de mathématiques en ECS1 au lycée Gay-Lussac (Limoges)
Lionel Dorat
Professeur agrégé
de mathématiques en ECS1 au lycée Camille Vernet (Valence)
Brice Touzillier
Professeur agrégé
de mathématiques en ECS2 au lycée Michelet (Vanves)
© Dunod, Paris, 2011
ISBN 978-2-10-056931-1
Table des matières
1. Nombres réels1
1.1Addition et symbole somme1
1.2Multiplication et coefÞcients binomiaux6
1.3InŽgalitŽs12
Tests et exercices16
CorrigŽs des exercices20
2. Ensembles et applications29
2.1Logique29
2.2Modes de raisonnement32
2.3Ensembles38
2.4Applications42
Tests et exercices49
CorrigŽs des exercices53
3. Nombres complexes62
3.1PropriŽtŽs fondamentales62
3.2Forme trigonomŽtrique dÕun complexe65
Tests et exercices74
CorrigŽs des exercices77
4. Polynômes réels ou complexes85
4.1Polyn™mes ˆ coefÞcients dansK85
4.2Division euclidienne de polyn™mes92
4.3DŽrivŽes successives95
4.4Racines dÕun polyn™me97
Tests et exercices106
CorrigŽs des exercices110
5. Systèmes linéaires124
5.1DŽÞnitions124
5.2OpŽrations ŽlŽmentaires125
de Gauss125
Tests et exercices131
CorrigŽs des exercices132
6. Espaces vectoriels135
6.1Structure dÕespace vectoriel135
6.2Sous-espaces vectoriels137
6.3Familles de vecteurs143
6.4Somme de sous-espaces vectoriels149
Tests et exercices154
CorrigŽs des exercices156
7. Applications linéaires164
7.1Applications linŽaires164
7.2Noyau et image dÕune application linŽaire167
7.3OpŽrations sur les applications linŽaires172
7.4Image dÕune famille de vecteurs
par une application linŽaire176
7.5Projections et symŽtries177
IV
Table des matières
Tests et exercices186
CorrigŽs des exercices188
8. Espaces vectoriels
de dimension nie196
8.1Dimension196
8.2Sous-espaces dÕun espace de dimension Þnie201
8.3Rang203
Tests et exercices208
CorrigŽs des exercices210
9. Matrices218
9.1Matrices et applications linŽaires218
9.2OpŽrations sur les matrices222
9.3Rang dÕune matrice227
9.4Matrices carrŽes230
9.5Changement de base237
Tests et exercices244
CorrigŽs des exercices248
10. Réduction
des endomorphismes et des matrices carrées258
10.1ElŽments propres dÕun endomorphisme258
10.2Endomorphismes diagonalisables261
10.3RŽduction des matrices carrŽes263
10.4Applications de la diagonalisation269
Tests et exercices272
CorrigŽs des exercices275
11. Généralités sur les suites
réelles287
11.1DŽÞnitions287
11.2Suites convergentes291
11.3Limites inÞnies298
11.4Quelques propriŽtŽs de lÕensemble
des nombres rŽels302
Tests et exercices307
CorrigŽs des exercices312
12. Exemples de suites321
12.1Suites arithmŽtico-gŽomŽtriques322
12.2Relation linŽaire de rŽcurrence dÕordre 2323
12.3Relation de rŽcurrence du typeu
n+1 =f(u n )325
Tests et exercices332
CorrigŽs des exercices336
13. Étude asymptotique
des suites345
13.1Suite nŽgligeable devant une autre345
13.2Suites Žquivalentes348
Tests et exercices354
CorrigŽs des exercices357
14. Étude locale des fonctions363
14.1Limite et continuitŽ en un point363
14.2Limite ˆ gauche, ˆ droite. Prolongement
par continuitŽ366
14.3PropriŽtŽs369
14.4Comparaison des fonctions au voisinage
dÕun point374
14.5Branches inÞnies des courbes377
Tests et exercices382
CorrigŽs des exercices386
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit V
Table des matières
15. Étude globale des fonctions392
15.1Rappels et complŽments sur quelques
propriŽtŽs globales des fonctions392
15.2Fonctions monotones395
15.3Fonctions continues sur un intervalle397
Tests et exercices404
CorrigŽs des exercices408
16. Dérivation416
16.1Conception locale de la dŽrivŽe416
16.2PropriŽtŽs globales de la dŽrivŽe421
16.3DŽrivŽes successives428
16.4Fonctions convexes430
Tests et exercices434
CorrigŽs des exercices438
17. Intégration sur un segment
et primitives448
17.1Construction de lÕintŽgrale sur un segment448
17.2PropriŽtŽs de lÕintŽgrale sur un segment451
17.3Primitives et intŽgrales454
17.4Calcul des intŽgrales459
Tests et exercices463
CorrigŽs des exercices467
18. Formules de Taylor
et développements limités479
18.1Formules de Taylor479
18.2DŽveloppements limitŽs483
Tests et exercices489
CorrigŽs des exercices492
19. Séries numériques501
19.1GŽnŽralitŽs501
19.2SŽries ˆ termes positifs504
19.3SŽries gŽomŽtriques et exponentielles507
Tests et exercices514
CorrigŽs des exercices518
20. Fonctions de deux variables528
20.2Fonctions dŽÞnies surR
2 , continuitŽ534
20.3Calcul diffŽrentiel538
Tests et exercices544
CorrigŽs des exercices547
21. Dénombrement554
21.1DŽÞnition et propriŽtŽ555
21.2DŽnombrements usuels558
21.3Exemple : jeu de carte et dŽnombrement564
Tests et exercices568
CorrigŽs des exercices571
22. Statistiques580
22.1Cadre mathŽmatique582
22.2ReprŽsentation graphique583
22.3CaractŽristiques de position585
22.4CaractŽristiques de dispersion589
23. Espaces probabilisés nis591
23.2ProbabilitŽ sur un ensemble Þni593
23.3ProbabilitŽ conditionnelle598
23.4IndŽpendance603
VI
Table des matières
Tests et exercices606
CorrigŽs des exercices609
24. Variables aléatoires nies621
24.1Loi dÕune variable alŽatoire622
24.2EspŽrance et variance dÕune variable alŽatoire626
24.3Lois usuelles632
Tests et exercices645
CorrigŽs des exercices647
25. Espace probabilisés innis656
25.2ProbabilitŽ658
25.3ProbabilitŽ conditionnelle664
25.4IndŽpendance667
Tests et exercices669
CorrigŽs des exercices672
26. Variables aléatoires innies680
26.2EspŽrance et variance dÕune variable alŽatoire683
26.3Lois usuelles688
Tests et exercices696
CorrigŽs des exercices699
27. Couples devariablesaléatoires
discrètes706
27.1Loi conjointe, lois marginales dÕun couple
de variables alŽatoires706
27.2IndŽpendance708
27.3EspŽrance et covariance709
27.4Somme de variables alŽatoires714
Tests et exercices718
CorrigŽs des exercices722
28. Éléments d'algorithmique735
28.1Environnement PASCAL735
28.2Structures de base738
28.3Fonctions et procŽdures743
28.4Les Tableaux745
28.5Simulations en probabilitŽ747
28.6Logiciel749
Tests et exercices751
CorrigŽs des exercices756
Index765
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit VII
Pour bien utiliser cet ouvrage
La page d'entrée de chapitre
Elle propose une introduction au cours, un
rappel des prŽrequis et des objectifs, ainsi quÕun plan du chapitre.
Le cours
Le cours aborde les notions du programme de
faon synthŽtique et structurŽe aÞn dÕen faci- liter lÕapprentissage. Des encarts dŽtaillent Žtape par Žtape les mŽ- thodes essentielles, et sont suivis dÕexemples dÕapplication.
Pictogramme
Des commentaires pŽdagogiques vous ac-
compagnent dans le cours et dans les corri- gŽs dÕexercices. Ils sont identiÞŽs par ce pic- togramme :
Mise en garde contre des erreurs frŽquentes.
La synthèse
En Þn de chapitre, elle vous propose un rŽcapi- tulatif des savoirs, des savoir-faire et des mots- clŽs. VIII
Pour bien utiliser cet ouvrage
Tester ses connaissances
Quelques QCM et Vrai ou Faux? pour tester
votre connaissance du cours.
Exercices d'application
Ils vous proposent dÕutiliser vos connaissances Leur difÞcultŽ est indiquŽe sur une Žchelle de
1ˆ3.
Exercices d'approfondissement
Des ŽnoncŽs qui vous proposent de rŽ-
ßexion plus poussŽe, souvent extraits dÕan- nales de concours. Leur difÞcultŽ est indiquŽe sur une Žchelle de 1 ˆ 3.
Les corrigés des exercices
Tous les tests de connaissances, les exercices
dÕapplication et dÕapprofondissement sont corri- gŽs. Les solutions sont regroupŽes en Þn de chapitre. Dunod. La photocopie non autorisée est un délit IX
Nombres réelsCHAPITRE
1 1 Plan
1.1Addition et symbole
somme1
1.2Multiplication
et coefÞcients binomiaux6
1.3InŽgalitŽs12
Tests et exercices16
CorrigŽs des exercices20
Introduction
Dans ce chapitre? nous rappelons les principales propriétés de calcul concernant les nombres réels (somme, produit, puissances, inégalités). Notamment, nous in- troduisons deux symboles extrêmementpratiques, l'un pour la somme de nombres réels, l'autre pour le produit, et en donnons les principales propriétés.
Prérequis
Aucun?
Objectifs
Utiliser le symbole somme
Manipuler des coecients binomiaux
Reconnaître la formule du binôme de Newton Manipuler les inégalités entre nombres réels
1.1 Addition et symbole somme
1.1.1 Dénition
Dénition- Symbole
SoientnωN
? On note n k=? x k la somme desnnombres réelsx ,...,x n ? C"est une façon plus pratique d'écrirex +x +···+x n? +x n ?Alors??etnsont appelés lesbornesde la somme.
Remarques
1.Si les nombres réels sont numérotés ainsi :x
p ?x p+? ,...,x n ?pourpentier?p?n?? alors on notera n k=p x k =x p +x p+? +···+x n? +x n Dunod. La photocopie non autorisée est un délit 1
COURS & MÉTHODES1Nombres réels
2.Dans l"expression
n k=? , la lettrekreprésente une variable muette? c"est?à?dire qu"elle n'a pas d'existence pratique. Elle peutêtre remplacée par toute autre lettre ne désignant pas une variable ou une donnée du problème traité : n k=? x k n i=? x i n j=? x j n p=? x p Par contre? le ? et lendans cette somme ne sont pas modi?ables?
3.Dans l"expression
n k=? , la lettrekdésigne une valeur qui parcourttous les entiersde
1àn?
4.Il faut s"habituerà rencontrerdes notationsassez diverses utilisant le symbole
?Par exemple la somme n k=? a k peut aussi être notée kω?,n a k ou ??k?n a k ? Plus généralement? si (x i iωI est une famille de nombres réels indexée par l"ensemble ?niI? on note iωI x i la somme de tous les termes de la famille?
5.Lorsque l"on souhaite séparer dans une somme les termes d"indice pair et les termes
d'indice impair, on rencontre diérentes notations? notamment : n k=? a k ???k?n a ?k ???k+??nquotesdbs_dbs47.pdfusesText_47
[PDF] Recueil dexercices corrigés de première année ECS Table - Free