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Une équation de droite se présente sous la forme : y = ax + b avec a le coefficient directeur et b l'ordonnée à l'origine Ici b = 0, car la droite coupe l'axe des
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Equation d'une droite A- Droites et équations 1- Définition Le plan est muni d'un repère O; i , j Soient a et b deux réels L'ensemble des points M(x;
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Exercice 1 1: a) Que peut-on affirmer au sujet des vecteurs directeurs de deux droites parallèles ? b) On considère la droite d d'équation : x y ⎛ ⎝ ⎜
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Pour déterminer l'équation de la parallèle d' à la droite d dont l'équation est y = mx + p, passant par le point A, il suffit de savoir : Théorème : Deux droites
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Déterminer une équation des droites (AB) ; (CD) ; (BC) et (BD) 2 Tracer ces 4 droites et retrouver graphiquement pour les droites non parallèles à l'axe (y'y),
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Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.frDROITES DU PLAN
Tout le cours en vidéo : https://youtu.be/d-rUnClmcCY Partie 1 : Vecteur directeur et équation cartésienne d'une droite1. Vecteur directeur
Définition : d
est une droite du plan. On appelle vecteur directeur de tout vecteur non nul ⃗ qui possède la même direction que la droite . Méthode : Déterminer graphiquement un vecteur directeur d'une droiteVidéo https://youtu.be/6VdSz-0QT4Y
Donner des vecteurs directeurs des
droites d 1 , d 2 , d 3 et d 4Correction
• Pour d 1 On choisit un vecteur qui possède la même direction que la droite d 1Par exemple : ⃗
1 2 ) convient. 2 4 ) ou ⃗ -1 -2 ) sont également des vecteurs directeurs de d 1 • Pour d 2 6 0 ) convient. • Pour d 3 1 -1 ) convient. • Pour d 4 0 2 ) convient.2. Équation cartésienne d'une droite
Définition :
Toute droite admet une équation de la forme ++=0, avec 0;0 Cette équation est appelée équation cartésienne de la droite.2 sur 10
Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr Propriété : Le vecteur ⃗ ) est un vecteur directeur de la droite d'équation cartésienne ++=0.Démonstration au programme :
Vidéo https://youtu.be/GVDUrdsRUdA
Soit
) un point de la droite et ⃗ ) un vecteur directeur de .Un point
) appartient à la droite si et seulement si les vecteurs ) et ⃗ sont colinéaires, soit ;⃗B=0 soit encore C C=0.Donc :
=0 =0 =0Cette équation peut s'écrire : ++=0 avec = et =- et =
Les coordonnées de ⃗ sont donc Exemple : Un vecteur directeur de la droite d'équation cartésienne 4-5-1=0 est le vecteur de coordonnées 5 4En effet, =4 et =-5 donc
5 4Méthode : Déterminer une équation cartésienne de droite à partir d'un point et d'un vecteur
directeurVidéo https://youtu.be/NosYmlLLFB4
Vidéo https://youtu.be/i5WD8IZdEqk
a) Déterminer une équation cartésienne de la droite passant par le point
3 1 ) et de vecteur directeur ⃗ -1 5b) Déterminer une équation cartésienne de la droite ′ passant par les points
5 3 ) et 1 -3Correction
a) admet une équation cartésienne de la de la forme ++=0. • Comme ⃗ -1 5 ) est un vecteur directeur de , on a : -1 5Soit =5 et =1.
Une équation de est donc de la forme 5+1+=0.3 sur 10
Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr • Pour déterminer , il suffit de substituer les coordonnées 3 1 ) de dans l'équation :5×3+1×1+=0
15+1+=0
16+=0
=-16 Une équation de est donc 5+1-16=0. Remarque : Une autre méthode consiste à utiliser le déterminant :Vidéo https://youtu.be/rLxQIbQkPsQ
b) et appartiennent à ' donc est un vecteur directeur de ′.On a :
1-5 -3-3 -4 -6 ). Donc =-6 et =4. Une équation cartésienne de ′ est de la forme : -6+4+=0. 5 3 ) appartient à ′ donc : -6×5+4×3+=0 donc =18.Une équation cartésienne de ′ est : -6+4+18=0 ou encore -3+2+9=0.
Méthode : Tracer une droite à partir de l'équation cartésienneVidéo https://youtu.be/EchUv2cGtzo
Tracer la droite d'équation cartésienne 3+2-5=0.Correction
Pour tracer une droite, il suffit de connaître un point appartenant à la droite et un vecteur directeur. • On choisit le point d'abscisse 0 : Comme =0, on remplace par 0 dans l'équation et on calcule la valeur de correspondante :3×0+2-5=0
2=5
5 2 =2,5Le point de coordonnées
0 2,5 ) appartient à la droite . • =3 et =2 donc -2 3 -2 3 ) est un vecteur directeur de . On trace la droite passant par le point 0 2,5 ) et de vecteur directeur ⃗ -2 34 sur 10
Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr3. Position relative de deux droites
Propriété :
Dire que deux droites sont parallèles équivaut à dire qu'elles ont des vecteurs directeurs colinéaires. Méthode : Déterminer la position relative des deux droitesVidéo https://youtu.be/NjsVdVolhvU
Démontrer que les droites
et d'équations respectives 6-10-5=0 et -9+15=0 sont parallèles.Correction
Le vecteur ⃗
10 6 ) est un vecteur directeur de la droiteLe vecteur ⃗
-15 -9 ) est un vecteur directeur de la droiteCalculons
=C 10-15 6-9C=10×
-9 -6× -15 =0 Donc ⃗ et ⃗ sont colinéaires et donc les droites et sont parallèles. Partie 2 : Équation réduite et pente d'une droite1. Équation réduite
Exemple : Soit dont une droite d'équation cartésienne 4+-6=0.On a alors : 4+=6
=-4+6 Cette équation est appelée l'équation réduite de la droite .Propriété :
Soit une droite .
- Si est parallèle à l'axe des ordonnées : alors l'équation de est de la forme =. - Si n'est pas parallèle à l'axe des ordonnées : alors l'équation de est de la forme =+. Cette équation est appelée équation réduite de la droite .5 sur 10
Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.frDémonstration :
• Si ≠0, alors l'équation cartésienne ++=0 de la droite peut être ramenée à une
équation réduite =-
. Et on note =- et =-• Si =0, alors l'équation cartésienne ++=0 de la droite peut être ramenée à
l'équation =- . Dans ce cas, la droite est parallèle à l'axe des ordonnées.Exemples :
• L'équation =-4+6 est l'équation réduite d'une droite avec : =-4 et =6.• L'équation =5 est l'équation d'une droite parallèle à l'axe des ordonnées avec :
=5.Méthode : Passer d'une équation cartésienne à l'équation réduite et réciproquement
Vidéo https://youtu.be/XA0YajthETQ
a) Soit la droite d'équation cartésienne 6+3-5=0. Déterminer l'équation réduite de .
b) Soit la droite ' d'équation réduite =6-5. Déterminer une équation catésienne de ′.
Correction
a) On veut exprimer l'équation sous la forme =+. Il s'agit donc d'isoler dans l'équation.
6+3-5=0
3=-6+5
-6+5 3 =-2+ : équation réduite de .b) On veut exprimer l'équation sous la forme ++=0. Il s'agit donc de ramener tous les
termes de l'équation dans le membre de gauche. =6-5 -6++5=0 : équation cartésienne de '. Vocabulaire : - est appelé la pente ou le coefficient directeur de la droite . - est appelé l'ordonnée à l'origine de la droite . Remarque : Dans l'équation réduite, on retrouve l'expression d'une fonction affine.Exercice :
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Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr Donner la pente (coefficient directeur) et l'ordonnée à l'origine de chacune des droites d'équations : a) =-2+3 b) =5 c) 4+2=1Réponses
a) Pente : -2 b) Pente : 0 Ordonnée à l'origine : 3 Ordonnée à l'origine : 5 c) L'équation peut s'écrire sous sa forme réduite : =-2+Pente : -2
Ordonnée à l'origine :
Méthode : Représenter graphiquement une droite d'équation réduite donnéeVidéo https://youtu.be/cUdhxkaTqqk
Dans un repère, tracer les droites
et d'équations respectives : =2+3, =4, =3.Correction
- La droite d'équation =2+3a pour ordonnée à l'origine 3. Donc le point de coordonnée 0 3 ) appartient à la droite - On choisit le point d'abscisse 2 : Comme =2, on remplace par 2 dans l'équation et on calcule la valeur de correspondante : =2×2+3=7.Le point de coordonnées
2 7 ) appartient à d 1.On peut ainsi tracer la droite
passant par ces deux points. La droite d'équation =4 est l'ensemble des points dont l'ordonnée est égale à 4. La droite est donc la droite parallèle à l'axe des abscisses passant par le point de coordonnées 0 4 La droite d'équation =3 est l'ensemble des points dont l'abscisse est égale à 3. La droite est donc la droite parallèle à l'axe des ordonnées passant par le point de coordonnées 3 0 Méthode : Vérifier si un point appartient à une droite d'équation donnée7 sur 10
Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.frVidéo https://youtu.be/XA0YajthETQ
Les points
6 39) et 346
2420
) appartiennent-ils à la droite d'équation =7-3 ?
Correction
• Dire que le point 6 39) appartient à la droite d'équation =7-3 revient à dire que les coordonnées de vérifient l'équation de la droite .
Ce qui est le cas, puisque =7×6-3=39.
Le point appartient donc à la droite . • Les coordonnées de 3462420
) ne vérifient pas l'équation de la droite . En effet : 7×346-3=2419≠2420 donc le point n'appartient pas à la droite .
Remarque : Pour démontrer que 3 points A, B et C sont alignés, il suffit de montrer par exemple
que le point A vérifie l'équation de la droite (BC).2. Pente d'une droite
Propriété : Si
) et ) sont deux points distincts d'une droite tel que alors la droite a pour pente (ou coefficient directeur) = Méthode : Déterminer une équation réduite de droite dont on connaît deux pointsVidéo https://youtu.be/tfagLy6QRuw
Soit
4 -1 ) et 3 5 ) deux points d'une droite . Déterminer une équation de la droite .Correction
L'équation réduite de la droite est de la forme =+. • La pente (coefficient directeur) de est : = 0 =-6. L'équation de est donc de la forme : =-6+. • Comme 4 -1 ) appartient à la droite d, ses coordonnées vérifient l'équation de .Soit : -1=-6×4+.
D'où =-1+6×4=23.
L'équation réduite de est donc :=-6+23.ALGORITHME
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Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr TP avec Python : Déterminer une équation de droite passant par deux points donnés3. Position relative de deux droites
Propriété : Soient deux droites d'équations réduites =+et =′+′.
Dire que les droites sont parallèles revient à dire que leurs pentes sont égales (=′).
Remarque : Lorsque les pentes sont différentes, les droites sont sécantes.Exemple : Les droites
et d'équations respectives =3+4et =3+9 sont parallèles car elles ont la même pente égale à 3. Méthode : Déterminer la position relative de deux droitesVidéo https://youtu.be/gTUPGw7Bulc
Dans chaque cas, déterminer la position relative des deux droites : a) :=-2-5 et :=-2+4 b) :=2+1 et :=-3+8 c) :=-+7 et :=3 d) :=1 et :=-8Correction
1) Les droites
et sont parallèles car elles ont la même pente égale à -2.2) Les droites
et sont sécantes car elles ont des pentes différentes 2 et -3.3) Les droites
et sont sécantes car elles ont des pentes différentes -1 et 0.4) Les droites
et sont parallèles car elles sont parallèles à l'axe des ordonnées. Partie 3 : Projeté orthogonal d'un point sur une droite Définition : Soit une droite et un point . Le projeté orthogonal du point sur la droite est le point d'intersection de la droite avec la perpendiculaire à passant par .9 sur 10
Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.frPropriété : Le projeté orthogonal du point sur la droite est le point de la droite le plus
proche du point .Démonstration au programme :
Vidéo https://youtu.be/DohZ0ehR_rw
Soit le projeté orthogonal du point sur la droite .Supposons qu'il existe un point de la droite plus proche de que l'est le point .
Donc
Or, d'après l'égalité de Pythagore, on a :Donc
Donc
On en déduit que est le point de la droite le plus proche du point . Méthode : Reconnaitre et construire un projeté orthogonalVidéo https://youtu.be/MiJHpVzyQPc
1) Donner le projeté orthogonal de :
a) C sur (AB) b) B sur (DF) c) D sur (AC) d) F sur (AD)2) Représenter sur la figure le projeté
orthogonal de : a) C sur (BF). Nommer ce point M. b) F sur (AB). Nommer ce point N.Correction
1) a) Il s'agit du point B. En effet, la perpendiculaire à (AB) passant par C coupe (AB) en B.
b) Il s'agit du point C. c) Il s'agit du point E. d) Il s'agit du point D.10 sur 10
Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr 2)Démonstration au programme :
cos sin =1Vidéo https://youtu.be/9r2qDd7EkMo
Soit une droite et un point appartenant à . Soit un point n'appartenant pas à . On appelle le projeté orthogonal du point sur la droite .On note l'angle
Démontrons que
cos sin =1. Le triangle est rectangle en , on a donc : cos= 12 13 soit =×cos.De même, on a : sin=
2313 soit =×sin. D'après le théorème de Pythagore, on a :