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Egalité d'aires
Le problème :
ABCD est un carré, K est un point du segment [AB]. AKIJ est un carré avec J sur le segment [AD]
Le but est de trouver la position de K pour que l'aire du triangle soit égale à l'aire du carré AKIJ.
I - Résolution expérimentale
1. Avec un logiciel de géométrie dynamique, reproduire la figure
2. Faire afficher AB, AK, l'aire de AKIJ et l'aire de DIC.
3. Changer la position de K et comparer les deux aires.
4. Conjecturer la position de K pour que les deux aires sont égales.
5. Faire varier le carré ABCD.
La conjecture donnée à la question 4) est-elle confirmée ?Par la suite, on supposera que AB = 14
II - Résolution graphique
1. On appelle x la longueur AK. x peut-il prendre n'importe quelle valeur ?
2. On appelle C(x) l'aire du carré et T(x) l'aire du triangle.
Donnez l'expression de T(x) et C(x)
3. Avec Sinequanon, représentez graphiquement les fonctions C et T
Lire graphiquement la valeur de x pour laquelle C(x) = T(x)En déduire la solution du problème.
4. On suppose que les deux aires sont égales .
Calculer alors les aires de ABCD, AKIJ, BKIC, IDC et IJD. En déduire l'aire hachurée et l'aire non-hachurée. Que remarque-t-on ?III - Résolution algébrique
1. Montrer que résoudre l'équation (E) : C(x) = T(x) revient à résoudre l'équation
(E') : x² + 7x - 98 = 02. Vérifier que x² + 7x -98 = (x + 3,5)² - 110,25
3. Résoudre (E')
En déduire la position de K sur [AB]
DC ABK JI Fiche de commentaires sur le TP " Egalité d'aires »I - Thème et contexte
1) Ce TP est destiné aux élèves de seconde mais si l'on transforme la partie III, il peut être donné à
des 1°S.2) Il peut être traité après les généralités sur les fonctions .
II - Objectifs du TP
1) Apprentissage d'un logiciel de géométrie dynamique et d'un graphe ur
2) Construction d'un vrai carré par des rotations.
3) Apprendre à conjecturer et vérifier la conjecture
4) Révision de divers calculs d'aires.
5) Résolution graphique d'une équation.
III - Logiciels utilisés
1) Géogébra ou Géoplan-Géospace
2) Géogébra ou Sinequanon ( ces logiciels permettant de tracer une courbe dans un repère non
orthonormé)IV - Déroulement du TP-DM
1) Une heure en TD sur ordinateur pour la première partie
La difficulté étant la construction d'un vrai carré , il est intéressant de commenter les
différentes méthodes utilisées.2) A la maison, compte-rendu écrit du travail précédent et recherche des questions1) et 2) de la
partie II3) En TD sur ordinateur, utilisation du grapheur pour résoudre l'équation et trouver la solution du
problème.A la maison, rédaction de la partie II et résolution de la partie III , travail qui sera noté.
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