[PDF] [PDF] Langage mathématique

[PDF] Langage mathématique

18 juil 2015 · Maths en Ligne Langage mathématique UJF Grenoble des 4 cas si l'assertion composée est elle-même vraie ou fausse négation conjonction 

[PDF] Quest-ce que la modélisation mathématique ? - Mathématiques à

http://math univ-angers fr/∼ducrot/CSG/ François Ducrot Qu'est-ce que la modélisation mathématique ? Page 2 Introduction Le mod`ele malthusien Le mod`ele 

[PDF] HISTOIRE DES MATHÉMATIQUES

2 3 Les caractéristiques de la science mathématique grecque lignes de l' histoire des mathématiques, à savoir donner les réponses aux questions « qui,

[PDF] Notations et raisonnement mathématiques - mediaeduscol

Mathématiques Lycée NOTATIONS ET RAISONNEMENT MATHÉMATIQUES SOMMAIRE mathématique de ceux de la logique du langage courant

[PDF] Langage mathématique

Ce recueil de langage mathématique réfère au vocabulaire utilisé en formation de base A La vérification des opérations mathématiques 69 Bibliographie

[PDF] Mathématiques et Physique - Le laboratoire de Mathématiques Jean

Le langage de la Nature est-il mathématique? Didier Robert, Laboratoire de Mathématiques Jean Leray, Université de Nantes Depuis l'antiquité la formulation 

[PDF] Les mathématiques utilisées en psychologie mathématique - Numdam

L'accès aux archives de la revue « Mathématiques et sciences humaines » (http mathématiques qui 1 servent le plus souvent en psychologie mathématique?

[PDF] Petit manuel de bonne rédaction mathématique - Licence de

Aussi étrange que cela puisse paraître, ils sont à bien des égards les plus importants de toute votre année de MPSI Si les forts en maths ont un secret — qu'ils 

[PDF] 199 défis (mathématiques) à manipuler

Par contre, tout nouveau jeu inséré dans la brochure sera systématiquement placé en dernier ) Lien permanent : http://math univ-lyon1 fr/irem/spip php? article524

[PDF] maths et mathiques

[PDF] Maths et météorologie

[PDF] maths et musique

[PDF] maths et musique collège

[PDF] maths et musique des destinées parallèles

[PDF] maths et musique tangente

[PDF] Maths et phisique: Convertion en écriture scientifique

[PDF] Maths et Physique

[PDF] Maths et physique , calcul de vitèsse

[PDF] Maths et Physique : les lentilles convergentes

[PDF] Maths et Techologie IMPORTANT

[PDF] maths et tiques

[PDF] maths et tiques la chasse au trésor solution

[PDF] Maths etude de signes

[PDF] maths ex pour tt a lheure :(

Université Joseph Fourier, Grenoble Maths en Ligne

Langage mathématique

Eric Dumas, Emmanuel Peyre et Bernard Ycart

Ce chapitre vous explique la règle du jeu mathématique. Rien n"est vraiment nou- veau ni compliqué. Pour donner des exemples d"énoncés, nous ferons appel à quelques notions de base sur les nombres entiers, que vous connaissez depuis longtemps.

Table des matières

1 Cours 1

1.1 Assertions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3 Quantificateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.4 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.5 Cardinaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.6 Relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.7 Raisonnements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2 Entraînement 27

2.1 Vrai ou faux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.2 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.3 QCM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.4 Devoir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.5 Corrigé du devoir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3 Compléments 52

3.1 La quantification des prédicats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.2 Ces longues chaînes de raisons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3.3 Le Docteur Illuminé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.4 Ramener l"infini au fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.5 Lettres à une Princesse d"Allemagne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3.6 Froid dans le dos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

3.7 Le rêve de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3.8 La langue universelle de Peano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

3.9 Les cardinaux infinis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

3.10 Ensembles quotients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

3.11 Démonstrations non constructives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

3.12 L"ensemble de tous les ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

18 juillet 2015

Maths en LigneLangage mathématiqueUJF Grenoble1 Cours

1.1 Assertions

On peut voir le langage mathématique comme un jeu de construction, dont le but est de fabriquer des énoncés vrais. La règle de base de ce jeu est qu"un énoncé mathématique ne peut être que vrai ou faux. Il ne peut pas être " presque vrai » ou

" à moitié faux ». Une des contraintes sera donc d"éviter toute ambiguïté et chaque

mot devra avoir un sens mathématique précis. Selon le cas, un énoncé mathématique pourra porter des noms différents. •assertion :c"est le terme que nous utiliserons le plus souvent pour désigner une affirmation dont on peut dire si elle est vraie ou fausse. •théorème :c"est un résultat important, dont on démontre ou on admet qu"il est vrai, et qui doit être connu par coeur. •proposition :nous utiliserons ce terme pour désigner un résultat démontré, moins important qu"un théorème. •lemme :c"est un résultat démontré, qui constitue une étape dans la démonstra- tion d"un théorème. •corollaire :c"est une conséquence facile d"un théorème ou d"une proposition. Dans ce cours les démonstrations se terminent par un carré blanc, plutôt que par le

célèbre CQFD (" ce qu"il fallait démontrer »). Pour écrire formellement des énoncés

mathématiques, on utilise des lettres représentant des concepts (nombres, ensembles, fonctions, vecteurs, matrices, polynômes...) avec des symboles logiques et des relations. Le but de ce chapitre étant d"illustrer la manipulation du langage, il ne comportera

aucune difficulté mathématique. Nous en resterons à des énoncés très simples, que l"on

prendra soin de toujours traduire en langage courant pour bien les comprendre. Dans ce qui suit les lettresmetndésignent des entiers naturels (0,1,2,...). Nous n"utiliserons que les symboles de comparaison (<,>,6,>) et de divisibilité (|). Rappelons que m|n("mdivisen») sinest égal au produitkmpour un certain entierk. n <5l"entiernest strictement inférieur à 5 n>3l"entiernest supérieur ou égal à 3 n|12l"entierndivise 12

2|nl"entiernest divisible par 2 (il est pair)

Pour combiner entre elles des assertions, on utilise les connecteurs de base suivants : •lanégation(" non »), notée¬ •laconjonction(" et »), notée? •ladisjonction(" ou »), notée?. Le tableau suivant est unetable de vérité. Il décrit l"effet des connecteurs sur deux assertionsAetB, selon qu"elles sont vraies (V) ou fausses (F), en disant dans chacun 1

Maths en LigneLangage mathématiqueUJF Grenobledes 4 cas si l"assertion composée est elle-même vraie ou fausse.

négationconjonctiondisjonction nonetou

AB¬AA?BA?BVVFVV

VFFFV FVVFV FFVFF Le " ou » est toujours inclusif :AouBsignifie que l"uneau moinsdes deux assertions est vraie (peut-être les deux). Par opposition, le " ou exclusif » est vrai quand l"une des deux assertions est vraie mais pas les deux. Voici quelques assertions composées et leur traduction. ¬(n <5)l"entiernn"est pas strictement inférieur à 5. (n <5)?(2|n)l"entiernest strictement inférieur à 5 et divisible par 2. (2|n)?(3|n)l"entiernest divisible par 2 ou par 3. Observez l"usage des parenthèses qui permettent d"isoler des assertions simples au sein d"une assertion composée. À partir des connecteurs de base, on en fabrique d"autres, dont les plus importants sont l"implicationet l"équivalence. Par définition, l"implicationA=?Best vraie soit siAest fausse soit siAetBsont vraies toutes les deux. L"écritureA=?Best donc une notation pour(¬A)?B(" nonAouB»). L"équivalenceA??Best une double implication :? (A=?B)?(B=?A)? ("AimpliqueBetBimpliqueA»). Voici les tables de vérité des implications et de l"équivalence entre deux assertionsAetB. Constatez que l"équivalenceA??Best vraie quandAetBsont toutes les deux vraies, ou bien toutes les deux fausses.ABA=?BB=?AA??BVVVVV VFFVF FVVFF FFVVV L"implication et l"équivalence sont les outils de base du raisonnement mathématique. Il est essentiel de bien les assimiler, et de comprendre toutes leurs formulations. 2

Maths en LigneLangage mathématiqueUJF GrenobleA=?BAimpliqueBAentraîneBsiAest vrai alorsBest vraiBest vrai siAest vraiAest vrai seulement siBest vraipour queBsoit vrai il suffit queAle soitAest une condition suffisante pourBpour queAsoit vrai il faut queBle soitBest une condition nécessaire pourAPour bien comprendre l"implication, reprenez chacune des formulations en remplaçant

Apar "n >3» etBpar "n >2».A??BAest équivalent àBAéquivaut àBAentraîneBet réciproquementsiAest vrai alorsBest vrai et réciproquementAest vrai si et seulement siBest vraipour queAsoit vrai il faut et il suffit queBle soitAest une condition nécessaire et suffisante pourBPour bien comprendre l"équivalence, reprenez chacune des formulations en remplaçant

Apar "n>3» etBpar "n >2».

Les principales propriétés des connecteurs sont résumées dans le théorème suivant. Théorème 1.SoientA,BetCtrois assertions. Les équivalences suivantes sont tou- jours vraies. •Commutativité :? A?B? B?A? .(1) "AetB» équivaut à "BetA». A?B? B?A? .(2) "AouB» équivaut à "BouA». •Associativité :?

A?(B?C)?

(A?B)?C? .(3) "Aet (BetC) » équivaut à " (A etB) etC».

A?(B?C)?

(A?B)?C? .(4) "Aou (BouC) » équivaut à " (A ouB) ouC». 3 Maths en LigneLangage mathématiqueUJF Grenoble•Distributivité :

A?(B?C)?

(A?B)?(A?C)? .(5) "Aet (BouC) » équivaut à " (AetB) ou (AetC) ».

A?(B?C)?

(A?B)?(A?C)? .(6) "Aou (BetC) » équivaut à " (AouB) et (AouC) ». •Négations :?

¬(¬A)?

??A .(7) " non (nonA) » équivaut à "A».

¬(A?B)?

(¬A)?(¬B)? .(8) " non (AouB) » équivaut à " (nonA) et (nonB) ».

¬(A?B)?

(¬A)?(¬B)? .(9) " non (AetB) » équivaut à " (nonA) ou (nonB) ». Il est conseillé de remplacerA,BetCpar des assertions sur les nombres entiers pour bien comprendre les énoncés de ce théorème (par exempleApar(n66),Bpar (2|n),Cpar(3|n)). Démonstration: Pour démontrer l"équivalence de deux assertions, nous n"avons pas d"autre moyen pour l"instant que de vérifier que leurs tables de vérité coïncident : les deux assertions sont équivalentes si elles sont toujours soit toutes les deux vraies soit toutes les deux fausses. Voici la vérification pour (5).

A?(B?C)??(A?B)?(A?C).

L"équivalence est vraie car dans la table ci-dessous, les colonnes correspondant aux deux assertions sont identiques.A B C(B?C)A?(B?C)(A?B) (A?C) (A?B)?(A?C)V V VV VV V V

V V FV VV F V

V F VV VF V V

V F FF FF F F

F V VV FF F F

F V FV FF F F

F F VV FF F F

F F FF FF F F

4

Maths en LigneLangage mathématiqueUJF GrenobleNous laissons au lecteur le soin de vérifier de même chacune des autres équivalences.

Rares sont les démonstrations mathématiques qui utilisent explicitement les tables de vérité. Une démonstration typique est un enchaînement d"implications ou d"équiva- lences, partant des hypothèses pour aboutir à la conclusion. Ces enchaînements utilisent latransitivitéde l"implication et de l"équivalence. Proposition 1.SoientA,BetCtrois assertions. L"énoncé suivant est toujours vrai. (A=?B)?(B=?C)? =?(A=?C).(10)

SiAimpliqueBetBimpliqueC, alorsAimpliqueC.

On en déduit facilement la transitivité de l"équivalence : Corollaire 1.SoientA,BetCdes assertions, l"énoncé suivant est toujours vrai. (A??B)?(B??C)? =?(A??C). SiAéquivaut àBetBéquivaut àC, alorsAéquivaut àC. Démonstration: Nous utilisons (une dernière fois) les tables de vérité, pour vérifier que quelles que soient les valeurs de vérité deA,BetC, l"implication (10) est vraie.

Notons

•I1l"assertionA=?B, •I2l"assertionB=?C, •I3l"assertionA=?C.A B CI 1I2I

1?I2I3(I1?I2) =?I3V V VV VV VV

V V FV FF FV

V F VF VF VV

V F FF VF FV

F V VV VV VV

F V FV FF VV

F F VV VV VV

F F FV VV VV

Nous utiliserons des enchaînements d"équivalences pour démontrer le résultat sui- vant, qui décrit le comportement de l"implication par rapport à la négation. Proposition 2.SoientAetBdeux assertions. Les équivalences suivantes sont tou- jours vraies. 5 Maths en LigneLangage mathématiqueUJF Grenoble1.

¬(A=?B)?

A?(¬B)?

.(11) " L"implicationA=?Best fausse si et seulement siAest vrai etBest faux ». 2. A=?B?

¬B=? ¬A?

.(12) "AimpliqueB» est équivalent à " nonBimplique nonA». Démonstration: Nous pourrions démontrer ces équivalences directement à l"aide des

tables de vérité (nous conseillons au lecteur de le faire). Nous allons plutôt les déduire

du théorème 1. Voici la démonstration de la première équivalence. ¬(A=?B)?? ¬((¬A)?B)par définition de l"implication ?? ¬(¬A)? ¬Bpar (8) ??A? ¬Bpar (7). Voici la démonstration de la seconde équivalence. A=?B? (¬A)?B? par définition de l"implication (¬A)?(¬(¬B))? par (7) (¬(¬B))?(¬A)? par (2) (¬B) =?(¬A)? par définition de l"implication. L"équivalence (11) est la méthode habituelle que l"on utilise pour démontrer qu"une implication est fausse : il suffit d"exhiber une situation oùAest vraie etBfausse pour infirmer l"implicationA=?B. Par exemple, l"implication "(n63) =?(n|3)» est fausse, car on peut trouver un entierntel que(n63)soit vrai et(n|3)soit faux : 2 est inférieur ou égal à 3 mais ne divise pas 3. On appelle cela "trouver un contre-exemple». L"équivalence (12) est aussi une technique de démonstration classique. L"implication "(¬B) =?(¬A)» ("nonBimplique nonA») s"appelle lacontraposéede l"implication A=?B. Par exemple, la contraposée de "(n >3) =?(n >2)» est "(n62) =? (n63)». Il est parfois plus facile pour démontrer une implication de démontrer sa contraposée, nous y reviendrons.

1.2 Ensembles

Unensemblepeut être vu comme une collection d"objets mathématiques, appelés éléments, comme l"ensembleNdes entiers naturels. Contentez-vous pour l"instant de

l"idée intuitive d"un paquet d"éléments possédant une propriété commune, sur lequel on

6

Maths en LigneLangage mathématiqueUJF Grenoblea mis une étiquette rappelant cette propriété. Un ensemble n"est bien défini que si on

peut dire sans ambiguïté si un élément appartient ou non à l"ensemble. Les sommets des Alpes ne forment pas un ensemble (comment décider qu"un endroit particulier est un sommet?). Par contre l"ensemble des sommets cotés sur une carte donnée est bien

défini. Deux ensembles sont égaux si et seulement si ils contiennent les mêmes éléments.

Le fait qu"un élémentxappartienne à un ensembleAse notex?A, et son contraire x /?A("xn"appartient pas àA»). Par exemple2?N(2 appartient àN) et⎷2/? N(racine de 2 n"appartient pas àN). Certains ensembles souvent utilisés ont une notation propre, comme l"ensembleNdes entiers naturels, l"ensembleRdes nombres réels, l"ensembleCdes nombres complexes. Pour les autres, on utilise une définition,

que l"on écrit entre accolades pour dire qu"il s"agit de l"ensemble des éléments vérifiant

cette définition. On peut écrire un ensembleen extension, en donnant la liste de ses

éléments. Voici deux définitions de l"ensemble des entiers naturels strictement inférieurs

à 5.

{n?N;n <5}={0,1,2,3,4}. Cet énoncé se lit " ensemble desnappartenant àNtels quen <5» ou " ensemble des entiers strictement inférieurs à5». Voici deux définitions de l"ensemble des diviseurs de 12. {n?N;n|12}={1,2,3,4,6,12}. On peut aussi définir des ensembles en extension par une liste infinie. Le plus souvent, celle-ci se déduit deN. Par exemple l"ensemble des entiers supérieurs ou égaux à 5 : {n?N;n>5}={n+ 5 ;n?N}, et l"ensemble des entiers pairs : {n?N; 2|n}={2n;n?N}, Les ensembles que nous définirons seront dessous-ensemblesoupartiesd"un ensemble plus grand (comme l"ensemble des entiersNdans les exemples précédents). Définition 1.On dit qu"un ensembleAest unsous-ensembleou une partie d"un ensembleEsi tout élément deAest aussi élément deE. SiAetEsont deux ensembles, on noteE\Al"ensemble formé des éléments deE qui ne sont pas dansA.

E\A={x?E;x??A}.

LorsqueAest un sous-ensemble deE, on dit queE\Aest lecomplémentairedeA dansE. On le note aussicAlorqu"il n"y a pas d"ambiguïté. SiEest l"ensemble de référence (l"ensemble des entiers dans nos exemples), l"en- semble des parties deEse noteP(E). Il contient toujoursElui-même, ainsi que l"ensemble vide, noté∅. SiAest un sous-ensemble (une partie) deE, on dit aussi que AestinclusdansE, et on noteA?E. On note aussiE?Apour "EcontientA». 7

Maths en LigneLangage mathématiqueUJF GrenobleVoici l"écriture en extension deP({0,1,2}), qui est l"ensemble des parties de l"ensemble

à trois éléments{0,1,2}.

P({0,1,2}) =?

Un ensemble qui ne contient qu"un seul élément, comme{0}, est unsingleton. L"en- sembleP({0,1,2})contient 8 éléments, dont chacun est lui-même un ensemble. Il est fréquent (et souvent utile) de passer d"un ensembleAà l"assertionx?A(vraie ou fausse). Les connecteurs logiques entre assertions (" non », " et », " ou ») se tra- duisent par des opérations ensemblistes : complémentaire, intersection, réunion. Nous

utiliserons cette correspondance comme définition des opérations ensemblistes.ensemblesassertions

A,B(x?A),(x?B)complémentairenégation (" non ») c Ax?cA?? ¬(x?A)??x /?Aintersection (" inter »)conjonction (" et »)

A∩B(x?A∩B)???

(x?A)?(x?B)?réunion (" union »)disjonction (" ou »)

A?B(x?A?B)???

(x?A)?(x?B)?Au travers de ce dictionnaire l"implication (x?A) =?(x?B), soit(¬(x?A))?(x?B), devientx?(cA?B). Elle est toujours vraie si et seulement si le complémentaire de cA?B), est vide, c"est-à-dire siAest inclus dansB. Les propriétés(x?A)et(x?B) sont équivalentes si les deux inclusionsA?BetB?Asont vraies, c"est-à-dire si les deux ensembles contiennent les mêmes éléments. On dit qu"ils sont égaux, et on note simplementA=B. Pour démontrer que deux ensembles sont égaux, on doit montrer que chacun est inclus dans l"autre (tout comme pour démontrer une équivalence, on doit montrer les deux implications). On déduit du théorème 1 les propriétés suivantes des opérations ensemblistes. Les démonstrations constituent un bon exercice de traduction, que nous laissons au lecteur. Nous conseillons aussi de remplacerApar{n?N;n66},Bpar{n?N; 2|n}etC par{n?N; 3|n}et d"écrire en extension tous les ensembles du théorème. Théorème 2.SoientA,BetCtrois ensembles. Les égalités ensemblistes suivantes sont toujours vraies. •Commutativité :?

A∩B?

B∩A?

.(13) A?B? B?A? .(14) 8 Maths en LigneLangage mathématiqueUJF Grenoble•Associativité :?

A∩(B∩C)?

(A∩B)∩C? .(15)

A?(B?C)?

(A?B)?C? .(16) •Distributivité :

A∩(B?C)?

(A∩B)?(A∩C)? .(17)

A?(B∩C)?

(A?B)∩(A?C)? .(18) •Complémentaires : soientAetBdes parties d"un ensembleE. Alors :

E\(E\A) =A ,(19)

E\(A?B) = (E\A)∩(E\B),(20)

E\(A∩B) = (E\A)?(E\B).(21)

Nous nous placerons toujours dans le cas où tous les ensembles considérés sont des parties d"un ensemble de référenceE. Le complémentaire d"une partieAest alors implicitement défini comme l"ensemble des éléments deEqui n"appartiennent pas àA. Moyennant cette convention, le résultat d"une opération ensembliste quelconque sur des parties deEest encore une partie deE. Il est commode de visualiserEpar un rectangle et les sous-ensembles deEpar des " patates » hachurées dessinées dans ce rectangle. Le résultat s"appelle undiagramme de Venn, plutôt qu"un sac de patates (figure 1). Nous conseillons au lecteur de visualiser les égalités ensemblistes du théorème 2 sur complémentaire A E

Bintersection

A E

Bréunion

A EFigure1 - Diagrammes de Venn pour le complémentaire, l"intersection et la réunion. Il existe d"autres manières utiles de combiner des ensembles entre eux pour en former de nouveaux. Nous utiliserons plusieurs fois leproduit cartésien. 9

Maths en LigneLangage mathématiqueUJF GrenobleDéfinition 2.SoientAetBdeux ensembles. On appelleproduit cartésiendeApar

Bet on noteA×Bl"ensemble des couples formés d"un élément deAet un deB.

A×B={(a,b) ;a?Aetb?B}.

Le produit cartésien deApar lui-même se noteA2. On le généralise à plus de deux copies deAen définissantAncomme l"ensemble desn-uplets formés d"éléments deA. A n={(a1,...,an),(a1?A)?...?(an?A)}. Attention, dans unn-uplet, certaines coordonnées peuvent être identiques et l"ordre est important. Par exemple, siaetbsont deux éléments distincts deA, les triplets (a,b,a)et(a,a,b)sont des éléments distincts deA3.

1.3 Quantificateurs

Les quantificateurs sont les deux symboles?" quel que soit » et?" il existe ». On les utilise pour des énoncés du type : ?n?N,?m?N;n < m .(22) Cette formule se lit : quel que soitnappartenant àN, il existemappartenant àNtel quen < m. Soit encore : pour tout entiern, il existe un entiermstrictement plus grand quen. Il est crucial de retenir que dans ce cas l"entiermpeut dépendre de l"entiern. Cette assertion est vraie : pour toutn, le nombrem=n+ 1vérifie bienn < m. L"ordre dans lequel on écrit les quantificateurs est très important. Echangeons dans (22) les deux quantificateurs. ?m?N;?n?N, n < m . Cette assertion se lit : il existe un entiermtel que tout entiernvérifien < m(ce qui est faux). Pour écrire la négation d"une assertion comportant des quantificateurs on change les?en?et les?en?, puis on écrit la négation de l"assertion qui suit la liste des quantificateurs. Ceci est tout à fait conforme à l"intuition. La négation de " tout lesx vérifientA» est bien " il existe unxqui ne vérifie pasA». La négation de " il existe unxqui vérifieA» est bien " aucunxne vérifieA» soit encore " tous lesxvérifient ¬A». Ecrivons par exemple la négation de l"assertion (22). ?n?N;?m?N,(n>m). Il existe un entiernsupérieur ou égal à tout entierm(ce qui est faux). Attention, les quantificateurs ne sont pas toujours distributifs par rapport à "et» et

" ou ». Par exemple, " il existe un entier supérieur à 7 et inférieur à 6 » (faux) n"est

pas équivalent à " il existe un entier supérieur à 7 et il existe un entier inférieur à

10

Maths en LigneLangage mathématiqueUJF Grenoble6 » (vrai). De même " tout entier est inférieur ou égal à 6, ou bien supérieur ou égal

à 7 » (vrai) n"est pas équivalent à " tout entier est inférieur ou égal à 6 ou tout entier

est supérieur ou égal à 7 » (faux). Nous commettrons souvent l"abus de notation consistant à regrouper des quantifi- cateurs de même nature. Par exemple : ?n?N,?m?N, m+n?N, que l"on pourrait aussi écrire ?(n,m)?N2, m+n?N, sera plutôt écrit : ?n,m?N, m+n?N. (La somme de deux entiers naturels est un entier naturel.)

Ou encore,

?n?N,?m?N;n+m <10, deviendra : ?n,m?N;n+m <10. (Il existe deux entiers dont la somme est inférieure à 10.) Constatez en la lisant à haute voix que la formule suivante définit bien la divisibilité. ?m,n?N,(m|n)??? ?k?N;n=km?

1.4 Applications

Les fonctions et les applications sont des correspondances entre ensembles. Pour définir une fonctionf, il faut d"abord un ensemble de départE(lasource) et un ensemble d"arrivéeF(lebut). Il faut ensuite un sous-ensembleΓdu produit cartésien deE×F, c"est-à-dire un ensemble de couples(x,y)oùx?Eety?F. L"ensembleΓ s"appelle legraphede la fonction. La règle de base est qu"un élément deEne peut pas correspondre à deux éléments deF. Ceci s"écrit : ((x,y)?Γ)?((x,z)?Γ)? =?y=z . La donnée de l"ensemble de départ, de l"ensemble d"arrivée et du graphe définit la fonctionf. Si(x,y)?Γ, on dit queyest l"imagedex:y=f(x). La notation standard pour une fonction est la suivante. f

E-→F

x?-→f(x) 11

Maths en LigneLangage mathématiqueUJF GrenobleElle se lit " fonctionfdeEversFqui àxassocief(x)».

On utilise le plus souventfonctionetapplicationcomme des synonymes. En toute rigueur une application est une fonction telle que tout élément de l"ensemble de départ admet une image (et une seule). Pour une fonction, le sous-ensemble de l"ensemble de départ formé des éléments qui ont effectivement une image s"appelle ledomaine de définition. Dans ce chapitre, nous nous limiterons aux applications. Définition 3.SoientEetFdeux ensembles etfune application deEdansF.

1. SoitAun sous-ensemble deE. On appelleimage deAparfet on notef(A)

l"ensemble des images des éléments deA. f(A) ={y?F;?x?A, f(x) =y}.

2. SoitBun sous-ensemble deF. On appelleimage réciproque deBparfet on

notef-1(B)l"ensemble des éléments deEdont l"image appartient àB. f -1(B) ={x?E;f(x)?B}. Attention à la notationf-1: elle ne signifie pas quefest inversée. C"est une convention pour désigner un sous-ensemble de l"espace de départ. Un élémentxdeE tel quef(x) =ys"appelle unantécédentdey. D"après la définition 3, l"ensemble des antécédents deyestf-1({y}). SoitE={0,1,2,3}etF={0,1,2}. Considérons l"application qui à un nombre associe le reste de sa division euclidienne par 2 : 0 s"il est pair, 1 s"il est impair. Le graphe de cette application est :

Γ ={(0,0),(1,1),(2,0),(3,1)}.

Il est parfois commode de représenter un graphe par un ensemble de flèches entre deux diagrammes de Venn (figure 2). L"image de{0,2}est le singleton{0}. L"image réciproque de{1}est{1,3}. L"image réciproque de{2}est l"ensemble vide. SoientE,F, etGtrois ensembles,fune application deEversFetgune application deFversG. On définit lacomposéedefparg, notéeg◦f, comme l"application de EversGqui àxassocieg◦f(x) =g(f(x)). Attention à l"ordre des applications dans l"écritureg◦f: c"est l"ordre inverse des flèches dans le schéma ci-dessous. f gquotesdbs_dbs47.pdfusesText_47