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Identités remarquablesLes identités remarquables permettent d'une part de développer rapidement les expressionsdu type (a+b)², (a-b)² et (a+b)(a-b) et d'autre part d'effectuer des factorisations sans utiliserde facteur commun.A. Développer le carré d'une somme Il est utile de connaître par coeur les résultats suivants qui permettent d'effectuer plusrapidement certains développements.Quels que soient les nombres réels a et b :
(a + b)² = a² + 2ab + b² (a - b)² = a² - 2ab + b²Ce sont les deux premières identités remarquables que l'on peut retrouver facilement :(a + b)² = (a + b)(a + b) = a² + ab + ba + b² = a² + 2ab + b²
(a - b)² = (a - b)(a - b) = a² - ab - ba + b² = a² - 2ab + b²Exemples1) Développer (x + 3)².On reconnaît l'identité (a + b)², avec x qui joue le rôle de a et 3 qui joue le rôle de b. Enappliquant le résultat fourni par cette identité, on obtient :
(x + 3)² = x² + 2x3 + 3² = x² + 6x + 92) Développer (3x - 2)²On reconnaît l'identité (a - b)², avec 3x qui joue le rôle de a et 2 qui joue le rôle de b. Enappliquant le résultat fourni par cette identité, on obtient :
(3x - 2)² = (3x)² - 23x2 + 2² = 9x² - 12x + 4Attention, le carré de 3x est 9x².
B. Reconnaître un carré pour factoriserEn lisant les deux identités précédentes dans l'autre sens on obtient des formules quipermettent d'effectuer des factorisations.Quels que soient les réels a et b :
a² + 2ab + b² = (a + b)²a² - 2ab + b² = (a - b)²On transforme des sommes en carrés, donc en produits.1- Exemple 1Factoriser A = x² + 6x + 9.On reconnaît une expression du type a² + 2ab + b² avec a = x et b = 3.Vérifions : a² = x² ; b² = 9 ; 2ab = 2x3 = 6x .
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On en déduit que x² + 6x + 9 = (x + 3)².2- Exemple 2Factoriser B = 16x² - 8x + 1.On reconnaît une expression du type a² - 2ab + b² avec a = 4x et b = 1.Vérifions : a² = (4x)² = 16x² ; b² = 1² = 1 ; 2ab = 24x1 = 8x.
On en déduit que 16x² - 8x + 1 = (4x - 1)².C. Différence de deux carrésQuels que soient les réels a et b : (a + b)(a - b) = a² - b².
Il s'agit de la troisième identité remarquable, que l'on retrouve facilement en effectuant unsimple développement.(a + b)(a - b) = a² - ab + ab - b² = a² - b².
La troisième identité peut aussi être lue : a² - b² = (a + b)(a - b). Elle fournit ainsi une formulede factorisation de la différence de deux carrés.1- Exemple de développementDévelopper A = (2x - 3)(2x + 3)A = (2x - 3)(2x + 3) = (2x)² - 3² = 4x² - 9.On a appliqué la 3ème identité en prenant a = 2x et b = 3.Attention, le carré de 2x est 4x².
2- Exemples de factorisation1- Factoriser B = 9x² - 1.On remarque que 9x² est le carré de 3x et que 1 est le carré de 1. L'expression B est donc unedifférence de deux carrés. Appliquons la 3ème identité remarquable.9x² - 1 = (3x)² - 1² = (3x + 1)(3x - 1).2- Factoriser C = 16 - (2x + 1)².Comme 16 est le carré de 4, il s'agit bien d'une différence des carrés de 16 et de 2x + 1.Appliquons la 3ème identité remarquable :
C = 16 - (2x + 1)² = 4² - (2x + 1)² = [4 + (2x + 1)][4 - (2x + 1)]Il reste à réduire les deux facteurs entre crochets en appliquant la règle des parenthèses.C = (4 + 2x + 1)(4 - 2x - 1) = (2x + 5)(-2x + 3).