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Lycée JANSON DE SAILLY07 janvier 2014

FONCTION INVERSE,FONCTIONS HOMOGRAPHIQUES2nde10

IFONCTION INVERSE

1 -DÉFINITION

La fonction inverse est la fonction définie pour tout réelx?=0 parf(x) =1x

ENSEMBLE DE DÉFINITION

L'ensemble de définition de la fonction inverse est l'ensemble des réels non nuls notéR?, c'est la réunion de

deux intervalles]-∞;0[?]0;+∞[

2 -VARIATIONS DE LA FONCTION INVERSE

La fonction inverse est strictement décroissante sur chacun des intervalles où elle est définie.

TABLEAU DES VARIATIONS DE LA FONCTION INVERSE

x-∞0+∞ f(x) ❊DÉMONSTRATION

Soientaetbdeux réels non nuls tels quea

Étudions le signe def(a)-f(b) =1

a-1b=b-aabsur chacun des intervalles]-∞;0[ou]0;+∞[ aSia0 etab>0 doncb-aab>0

soitf(a)-f(b)>0 Ainsi, pour tous réelsaetbstrictement négatifs, si af(b). La fonction inverse est strictement décroissante sur ]-∞;0[. 0Si 00 etab>0 doncb-aab>0 soitf(a)-f(b)>0 Ainsi, pour tous réelsaetbstrictement positifs, si af(b). La fonction inverse est strictement décroissante sur ]0;+∞[.

3 -COURBE REPRÉSENTATIVE

La courbe représentative de la fonction inverse est l'hyperbole d'équationy=1x.

REMARQUE:

Pour tout réelx?=0,f(-x) =-1

x=-f(x). Les pointsM(x;f(x))etM?(-x;f(-x))sont symétriques par rapport à l'origine du repère. L'hyperbole admet l'origine du repère comme centre de symétrie.

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FONCTION INVERSE,FONCTIONS HOMOGRAPHIQUES2nde10

011 M M ?x1 x -x 1 x

REMARQUE:

- On peut rendref(x) =1 xaussi grand que l'on veut, pourvu quexsoit suffisamment proche de 0 et positif. - On peut rendref(x) =1 xaussi proche de 0 que l'on veut, pourvu quexsoit suffisamment grand.

Graphiquement, l'hyperbole se rapproche de l'axe des abscisses lorsquextend vers+∞, et de l'axe des

ordonnées lorsquexse rapproche de 0. On dit que l'hyperbole a pour asymptotes les axes du repère.

IIFONCTIONS HOMOGRAPHIQUES

1 -DÉFINITION

On appelle fonction homographique toute fonctionfqui peut s'écrire sous la formef(x) =ax+bcx+doùa,b,

c?=0 etdsont des réels tels quead-bc?=0

REMARQUE

La conditionad-bc?=0 traduit le fait queax+betcx+dne sont pas pas proportionnels.

Sic?=0 etad-bc=0 alors le quotientax+b

cx+dest constant. En effet ax+b cx+d=cax+bcc(cx+d)=cax+adc(cx+d)=ac

2 -ENSEMBLE DE DÉFINITION

Une fonction homographique est définie pour tout réelxtel que le dénominateurcx+dne s'annule pas.

La fonctionf:x?→ax+b

cx+dest définie sur? -∞;-dc? -dc;+∞;?

EXEMPLE

Soitfla fonction homographique définie parf(x) =2x+1 3-2x

3-2x?=0 lorsquex?=3

2, donc l'ensemble de définition defestD=?

-∞;32? ??32;+∞;? que l'on note aussiR-?3 2?

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FONCTION INVERSE,FONCTIONS HOMOGRAPHIQUES2nde10

3 -PROPRIÉTÉ

Toute fonction homographique peut se mettre sous la forme réduitex?→A+Bx-aavecB?=0. ❊PREUVE Soitfla fonction homographique définie parf(x) =ax+b cx+d(avecc?=0 etad-bc?=0) - Sia=0 alors pour tout réelx?=-d c, b cx+d=bc? x+dc? =b c x+dc - Sia?=0 alors pour tout réelx?=-d c, ax+b cx+d=ac×x+b a x+dc= a c×? x+d c? +?ba-dc? x+dc= a c+bc-ad c2 x+dc

EXEMPLE

Soitfla fonction homographique définie pour tout réelx?=-2 parf(x) =2x-11

3x+6Pour tout réelx?=-2,

2x-11

3x+6=23×x-11

2 x+2=23×(x+2)-15 2 x+2=23-2

3×152

x+2=23-5x+2

Ainsi, pour tout réelx?=-2,f(x) =2

3-5x+2

4 -VARIATIONS

La forme réduitef:x?→A+Bx-aavecB?=0 d'une fonction homographique permet de déduire les variations

de la fonctionfà partir des variations de la fonction inverse. B<0 x-∞a+∞ f(x) B>0 x-∞a+∞ f(x)

EXEMPLE

Soitfla fonction homographique définie pour tout réelx?=-2 parf(x) =2

3-5x+2.

Étudions les variations de la fonctionfsur chacun des intervalles]-∞;-2[ou]-2;+∞[ a) Soientaetbdeux réels de l'intervalle]-∞;-2[tels quea1b+2

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FONCTION INVERSE,FONCTIONS HOMOGRAPHIQUES2nde10

D'où

-5 a+2<-5b+2(on change le sens de l'inégalité en multipliant les deux membres par-5)

Par conséquent,

2

3-5a+2<23-5b+2.

Ainsi, sia1b+2

D'où

-5 a+2<-5b+2(on change le sens de l'inégalité en multipliant les deux membres par-5)

Par conséquent,

2

3-5a+2<23-5b+2.

Ainsi, siaD'où le tableau des variations de la fonctionf x-∞-2+∞ f(x)

5 -COURBE REPRÉSENTATIVE

La courbe représentative d'une fonction homographique estune hyperbole.

REMARQUE

La forme réduitef:x?→A+B

x-aavecB?=0 d'une fonction homographique fait apparaître le centre de symétrieW( a;A)ainsi que les deux asymptotes d'équationx=aety=Ade l'hyperbole. B<0 ?i? jOxy ?A a W B>0 ?i? jOxy ?A a W

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FONCTION INVERSE,FONCTIONS HOMOGRAPHIQUES2nde10

EXERCICE 1

Soientflafonction définie pour tout réelx?=0parf(x)=1xetglafonction affine définie surRparg(x)=2-x.

1. Tracer les courbes représentatives des deux fonctionsfetgdans le plan muni d'un repère orthonormé.

2. Étudier les positions relatives des deux courbes.

EXERCICE 2

1. Donner un encadrement de1xdans chacun des deux cas suivants :

a)-0,5315; d)x?-⎷2

2. Dans chaque cas, trouver les réelsxqui satisfont la condition donnée :

a) 1 x?34; b)1x>2; c)-2<1x?-15; d)-13?1x?3

EXERCICE 3

Existe-t-il deux entiers naturels consécutifs dont la différence des inverses est égale à l'inverse de 600?

EXERCICE 4

1. Dire si les implications suivantes sont vraies ou fausses.

a)x>4?1 x<14; b)x?-23?1x?-1,5; c)x>-2?1x<-12; d)x<0,6?1x>53

2. Pour chacune des implications précédentes, énoncer la réciproque et dire si celle ci est vraie ou fausse.

EXERCICE 5

1. Soitxun réel tel que 1 a) Montrer que(x-1)3?(x-1)2 b) Que peut-on en déduire pour 1 (x-1)3et1(x-1)2?

2. La proposition "Pour tout réelx>1,1

(x-1)3?1(x-1)2» est-elle vraie ou fausse?

EXERCICE 6

Soita?=0 un réel. On souhaite ranger dans l'ordre croissant les trois nombresa,a2et1a

1. Les courbes représentatives des fonctionsf:x?→x2,g:x?→xeth:x?→1

xsont représentées sur le graphique ci-dessous 12 -1 -2quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47