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Fichesdemath(MPSI/MP)

SamuelMIMRAM

2000-2002

Tabledesmatières

1Divers

jA[Bj=jAj+jBjjA\Bj jFj=p,jP(F)j=2p P

X2P(F)jXj=p2p1

2Algèbregénérale

2.1Divers

Signaturede2n:"()=Q

fi;jg2P(j[1;n]j)(j)(i) ji

ThéorèmedeGauss:(a^b=1etajbc))ajc

2.2Groupes

Hsous-groupedeG,8

:H,?

8(x;y)2H2;xy2H

8x2H;x12H

Transportdestructure:

Lesss-groupesdeZsontlesnZ

H[Kgroupe,HKouKH

Pluspetitss-groupecontenantH[K:H+K

finjective,Kerf=f0g

Décompositioncanonique:Ef!F:ilexiste

f,bijective,tq:E f!F s? yx ?i E=Rf f!f(E)

Groupecyclique:monogènefini

1 (G;)estungroupe (Z=nZ)estungroupedecardinal'(n)'(n)=nQ i11 pi

Sim^n=1alors'(mn)='(m)'(n)

démo:: kmn7!(km;kn)etdimIm=mnm^ncarm^n=dimKer pgcd:générateurdeP iaiZppcm:générateurdeT iaiZ

EQDIOPH

2.3Groupeopérantsurunensemble

(Ag)1=Ag1

Automophismeintérieur:a:x1

x2E=RGjOxj=jE=RGjjGj

SijGj=nalors8g2G;gn=eG

xinvbds(Z=nZ),x^n=1,Gr(x)=Z=nZ

Centre:Z(G)=fg2G=8x2G;gx=xgg

Touteorbiteeststablesousl'actiondeG

8a2Ox;Card(Ox)Card(Stab(a))=Card(G)

ThdeBurnside:NjGj=P

Ilyap+1

2.4Anneaux-corps

Anneau(A;+;):

Bsous-anneaudeA,8

:1 A2B

8(x;y)2B2;xy2B

8(x;y)2B2;xy2B

aestrégulier:ax=ay)x=yetxa=ya)x=y arégulier,anondiviseurde0 (A;):groupedesélémtsinversibles aestnilpotent:9n2N;an=0

Idéalprincipal:9a2A;I=aA

2

Caractéristique:ordredeeAdans(A;+)

démo:(x+y)p=Pp k=0Ck pxkypket8k2j[1;p1]j;pjCk p

Corps(K;+;):

Lsous-corpsdeK,8

:1 K2L

8(x;y)2L2;xy2L

8(x;y)2L2;xy2L

8x2Lnf0g;x12L

Uncorpsestunanneauintègre

Toutcorpsfiniestcommutatif

Toutcorpsfiniapourcardinalpnavecppremier

2.5Polynômes

dimKn[X]=n+1

K[X]estunanneauprincipal

PjQ)[P(x)=0)Q(x)=0]

nxi) attentionàlanormalisationdeP -parité,conjugaison? -calculerlapartieentièredeP -siN(X) -valeursparticulières!équations Si p q(avecp^q=1)estracinedePalorspja0etqjan Poly avecP2K[X]tqdegP=n1:deg(kP)=nkdoncnP=0 surCn[X]:Ker=C0[X]etIm=Cn1[X] T nP(X)=P(X+n)etT=TdoncnP(X)=(TId)nP(X)=Pn k=0(1)kCk nTk=Pn k=0(1)kP(X+k) )P(n+1)sionconnaittslesP(k)aveck2j[1;n]j 3

2.6PolynômesetK-algèbres

Algèbre(A;+;;):

Bsous-algèbredeA,8

:12B

8(x;y)2B2;x+y2Betxy2B

82K;8x2B;x2B

Poly

3Algèbrelinéaire

3.1Espacesvectoriels

Espace-vectoriel(E;+;:):

Fsous-evdeE,8

:F,?

8(x;y)2F2;x+y2F

82K;8x2F;x2F

PourmontrerFss-evdeE,onpeutmontrerF=Ker'

normed'algèbre:N(ab)N(a)N(b) jN(x)N(y)jN(x+y)N(x)+N(y) doncx7!kxkestcontinuecar1-lipschitzienne

Normesusuelles:kxk1=Pjxijkxk2=q

Px2 ikxk1=maxjxij

Dsunevn:

B(x;r)=Bf(x;r)etviceversa

x2Bf(0E;1)N[f(x)]=sup x2S(0E;1)N[f(x)]=sup x2Enf0EgN[f(x)] kxk

N[f(x)]kjfkjkxkkjgfkjkjgkjkjfkj

SiFevncalors(Lc(E;F);kjkj)evnc

(x;y)7!x+yet(;x)7!xsontcontinues

Fss-evdedimfiniedeE)FevncetfermédeE

UnK-evdedimfinieestunespacedeBanach

Surunproduitd'evdedimfinies,uestcontinue

4

Fss-evdeE:siH,HalorsEH

H

1\H2ss-evH1+H2ppss-evcontenantH1etH2

,8k;Pk1i=1Ei\Ek=f0g,8j;Ej\Pn i=1i,jE i=f0g E

1+E2=E1E2,E1\E2=f0g,dimE1+dimE2=dimE

Familleorthogonaledeprojecteurs:

si(fi)2L(E)htqPh i=1Imfi

Sisestunesymétrie,s+IdE

2estunprojecteur...

SiFEalorsdimF=dimE,F=E

dim(F+G)=dimF+dimGdim(F\G) dimKergfdimKerg+dimKerf

Codimension:dimensiondusupplémentaire

finjective,Kerf=f0g k=0Ck nfkgnk

Sifggf=Idalors,parréc:fgngnf=(n1)g

3.2Matrices

SiC=ABalorsci;j=Pn

k=1ai;kbk;jt(AB)=tBtA M

B1B3(vu)=MB2B3(v)MB1B2(u)

quotesdbs_dbs7.pdfusesText_5