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INTRODUCTION

Ce livre s"adresse aux élèves de première année de DEUG ou de classes préparatoires aux grandes écoles. Son but est de présenter le programme d"analyse de cette année sous la forme de rappels de cours et d"exercices corrigés, exercices posés le plus souvent à l"écrit dans les plus grandes classes préparatoires ou universités. Il ne prétend pas se substituer à la présence assidue aux cours, mais lui est complémentaire en mettant l"accent sur les théorèmes les plus importants du cours, avec leurs démonstrations lorsque cela est possible, car je suis d"avis que l"on ne peut retenir un théorème avec ses hypothèses exactes que lorsque l"on en connaît sa démonstration.

Lorsque

cela a été nécessaire, les objectifs des différentes filières propres aux nouveaux programmes des classes préparatoires scientifiques ont

été rappelés au début des chapitres.

L"ordre

des ceux-ci ne suit probablement pas celui avec lequel vous aborderez le programme, mais ils sont assez largement indépendants les uns des autres, avec les restrictions suivantes : les notions sur les quantificateurs exposées au premier chapitre sont fondamentales et ne peuvent être ignorées, - certains résultats concernant l"intégration et qui nécessitent une notation différentielle se trouvent dans le dernier chapitre consacré au calcul différentiel. Les exercices suivent les rappels de cours de chaque chapitre et sont classés, comme l"indique le premier nombre de leur référence, selon la partie du cours qu"ils exploitent.

J"espère

que ce livre vous sera utile et que les compléments au cours particulièrement présents dans les deux premiers chapitres vous offriront la motivation nécessaire aux deux années qui vous attendent. Pierre-Henri Jondot. Retrouver ce titre sur Numilog.com nos livres vendus en librairie Le but de la collection "Les interros de Sup et Deug A " est de permettre aux

élèves

de s"entrainer sur les exercices tombant le plus souvent en contrôle écrit. Pour ce faire, nous avons recueilli les sujets provenant de nombreuses classes préparatoires et des partiels de Deug A.

Chaque

livre comporte :

Des exercices corrigés (dont nous avons rappelé à chaque fois l"origine et le temps imparti à

l"élève)

Des rappels de cours

3

Math-Sup

MPSI-PCSI et Deug A :

Les interros de Sup Math

Les interros de Sup Physique

Mécanique Sup et Deug A

Thermo. Sup et Deug A

Algèbre Sup et Deug A

Analyse Sup et Deug A

Ces ouvrages comprennent à la fois des devoirs surveillés posés en Math-Sup ainsi que de nombreux partiels de Deug A posés dans les diverses universités de France. V livre de méthode :

Comment travailler plus

efficacement , 192 pages, pour les élèves de l"enseignement supérieur Retrouver ce titre sur Numilog.com

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Chapitre I

LOGIQUE

Si la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel exposée dans la deuxième section de ce chapitre n"est pas à connaître et est là à titre de motivation, de culture, il est par contre indispensable de maîtriser le calcul des prédicats et donc de faire tous les exercices correspondant à la première section de ce chapitre. 1

Calcul des prédicats

Les lettres (minuscules ou majuscules), éventuellement indicées, seront utilisées dans ce chapitre pour désigner des objets d"un univers donné. Par exemple, il s"agira de l"univers des ensembles ou d"une partie de celui-ci. Le langage considéré consiste en la relation d"appartenance, notée G, en des connecteurs ( et (disjonction), ou (conjonction) et non (négation)), des quantificateurs (3 (" il existe») et ? (" pour tout»)) et enfin des variables déjà évoquées. Enfin on n"emploiera pas de notation polonaise et, par conséquent, les parenthèses ne pourront pas toujours

être

évitées. Les expressions que l"on considère sont toujours constituées d"un nombre fini de mots du langage. Lorsqu"elles sont bien construites, elles sont appelées prédicats : C O U R S

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C O U R S

Définition

1.1 On dit que P est un prédicat ssi :

ou bien P est du type a ? b, ou bien il existe Q prédicat tel que P = non Q,

• ou

bien il existe A et B prédicats tels que P = A et B,

• ou

bien il existe A et B prédicats tels que P = A ou B,

• ou

bien P est du type ?̕, Q, ou bien P est du type ?̕, Q.

Définition

1.2 Soient A et B deux prédicats. Alors

A ? B ssi non A ou B A ? B ssi A => B et B ? A. On note aussi a ? b à la place de non (a G b).

Exercice

1 Parmi les expressions suivantes, déterminer celles qui sont

des prédicats : 1 (I.1) (1.2) (1.3) (1.4)

Remarque 1.3

On distingue deux types de prédicats. Certains peuvent avoir des variables libres, d"autres non. Considérer par exemple 1.3 et 1.4 : 1.3 a six variables libres (a.../) et 1.4 n"a pas de variable libre. Dans ce dernier cas, on appelle communément ce type de prédicat assertion. Sup- posons maintenant que P soit un prédicat dépendant de deux variables x et y, alors on notera P(u, v ) l"assertion obtenue à partir de P où toutes les occurrences de x et de y auront été remplacées respectivement par u et v. 1 : seules les expressions 1.3 et 1.4 sont bien construites. 1.1 ne peut etre considérée comme

un prédicat car est à la fois du type A ou B et du type A et B. Retrouver ce titre sur Numilog.com

E X E " R C I : C E S 4

Exercices

Exercice

1.1 A faire absolument !

Temps : 5 minutes. f, fn, pour n E N, désignent des applications de [0,1] C R dans R. Nier les assertions suivantes : 1.

Ve > 0, 3ce > 0, ?x ? [0,1], Vy ? [0,1],

lx - y| < a => If(x) - f(y)| < e. 2.

VE > 0, Vx ? [0,1], 3ce > 0, Vy E [0,1],

lx - y| < a ? If(x) - f(y)| < ?. 3. VE > 0, Vx G [0,1], ?no G N, n > no => |ƒn(̕) - f(̕)| < e. 4. VE > 0, 3n0 ? N, Vx ? [0, 1],n > n0 ? |ƒ(̕) - ƒ(̕)| < E.

Exercice 1.2

Celui-ci également

Temps :

5 minutes

Les formules de l"exercice précédent signifient (dans le désordre), ƒ converge uniformément ou simplement vers f, f est continue ou unifor- mément continue sur [0,1]. Associer à chacune des formules sa bonne définition.

Exercice

1.3 Cet exercice aussi est important

Temps : 15 minutes 1. Reprendre les formes symboliques des sept premiers axiomes de la théorie des ensembles et

écrire leur négation.

2. Ecrire sous forme symbolique l"axiome 8 (de fondation).

Exercice

2.1 Temps : 5 minutes

Montrer qu"il

n"existe pas d"ensemble de tous les ensembles. (On pourra s"aider du paradoxe de Russel, mais éviter d"employer l"axiome de fon- dation.)

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Exercice 2.2 Axiomes de Zorn et du choix

Temps : 1 heure 30 (Très difficile) Soit X un ensemble. On dit que X est inductif si X est ordonné et si toute partie totalement ordonnée de X admet un majorant. On propose de montrer l"équivalence entre l"axiome du choix tel qu"il a

été énoncé et

de l"axiome de Zorn qui s"énonce ainsi : Tout ensemble inductif admet un élément maximal. (Si (X, <) est or- donné, y ? X est un élément maximal ssi y < x ? ̕ = y.) 1. Soit donc X un ensemble inductif. Notons < la relation d"ordre sur X. On appelle chaîne de X toute partie totalement ordonnée de X. Notons C(X) l"ensemble des chaînes de X. On note f une fonction de choix sur X, et, si C est une chaîne, on note M(C) l"ensemble des majorants stricts de C (par convention M(0) = X). On définit alors une application g de C(X) dans C(X) par : g(C) = C

U {/(M(C))} si M(C) est non vide, et par g(C) = C

sinon.

Soit maintenant

P une partie de C(X), alors on dit que P est close si 0 6 P

P est stable par g (i.e. si C ? P,g(C) E P).

Si P" C P est une partie totalement ordonnée de P pour l"inclusion, alors UP" G P. (a) Montrer qu"il existe une plus petite partie close de C(X). On la notera Po. (b) Montrer que P0 est totalement ordonnée par l"inclusion. (c)

Conclure

2. Montrer la réciproque. (Indication : si x est un ensemble, on dé- finit un ordre sur les fonctions de choix définies sur une partie de l"ensemble des parties P(x) de x par f -< g ssi g prolonge /.)

Exercice

3.1 Construction de N

Temps : 3 heures (Difficile) On se propose de montrer, à partir des axiomes de la théorie des en- sembles, l"existence d"un ensemble N vérifiant les axiomes de Péano, et d"en établir les principales propriétés. E X E R C I C E S

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X E R C I C E S 1. Montrer qu"il existe un plus petit ensemble récurrent, noté N. 2.quotesdbs_dbs20.pdfusesText_26