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LES MÉTHODESET EXERCICESDE

MATHÉMATIQUESPCSI-PTSI

Les méthodes à retenir

Plus de 500 énoncés dexercices

Indications pour bien démarrer

Corrigés détaillés

Jean-Marie Monier

LES MÉTHODES ET EXERCICES DE

MATHÉMATIQUES PCSI-PTSI

Jean-Marie Monier

Professeur en classes de Spéciales au lycée La Martinière-Monplaisir à Lyon

© Dunod, Paris, 2008

ISBN 978-2-10-053974-1

III © Dunod. La photocopie non autorisŽe est un dŽlit.

1. Les

nombresrŽels1

Les mŽthodes ˆ retenir 1

ƒnoncŽs des exercices 3

Du mal ˆ dŽmarrer ?4

CorrigŽs des exercices5

2. Les nombres complexes 9

Les mŽthodes ˆ retenir9

ƒnoncŽs des exercices 12

Du mal ˆ dŽmarrer ?16

CorrigŽs des exercices17

3. Suites numŽriques25

Les mŽthodes ˆ retenir 26

ƒnoncŽs des exercices 28

Du mal ˆ dŽmarrer ?32

CorrigŽs des exercices33

4. Fonctions rŽelles ou complexesdÕune variable rŽelle43

Les mŽthodes ˆ retenir 43

ƒnoncŽs des exercices 45

Du mal ˆ dŽmarrer ?48

CorrigŽs des exercices49

5. DŽrivation55

Les mŽthodes ˆ retenir 55

ƒnoncŽs des exercices 58

Du mal ˆ dŽmarrer ?62

CorrigŽs des exercices 63

6. IntŽgration75

Les mŽthodes ˆ retenir 75

ƒnoncŽs des exercices 77

Du mal ˆ dŽmarrer ?81

CorrigŽs des exercices83

7. Fonctions usuelles93

Les mŽthodes ˆ retenir 93

ƒnoncŽs des exercices 95

Du mal ˆ dŽmarrer ?98

CorrigŽs des exercices99

8. Comparaison localedes fonctions109

Les mŽthodes ˆ retenir 109

ƒnoncŽs des exercices 112

Du mal ˆ dŽmarrer ?115

CorrigŽs des exercices117

IV

9. Calculs de primitives 129

Les mŽthodes ˆ retenir 129

Du mal ˆ dŽmarrer ?134

CorrigŽs des exercices135

10. ƒquations diffŽrentielles 145

Les mŽthodes ˆ retenir 145

Du mal ˆ dŽmarrer ?151

CorrigŽs des exercices153

11. Notions sur les fonctionsde deux variables rŽelles 165

Les mŽthodes ˆ retenir 165

Du mal ˆ dŽmarrer ?170

CorrigŽs des exercices 172

12. ComplŽmentsde calcul intŽgral179

Les mŽthodes ˆ retenir 179

Du mal ˆ dŽmarrer ?183

CorrigŽs des exercices184

13. Vocabulaire de la thŽorie des ensembles191

Les mŽthodes ˆ retenir 191

Du mal ˆ dŽmarrer ?194

CorrigŽs des exercices195

14. Structures algŽbriques 199

Les mŽthodes ˆ retenir 199

Du mal ˆ dŽmarrer ?205

CorrigŽs des exercices207

15. Nombres entiers,nombres rationnels 215

Les mŽthodes ˆ retenir 215

Du mal ˆ dŽmarrer ?219

CorrigŽs des exercices220

16. ArithmŽtique dans 225

Les mŽthodes ˆ retenir 225

Du mal ˆ dŽmarrer ?227

CorrigŽs des exercices228

17. Polyn™mes, fractions rationnelles 233

Les mŽthodes ˆ retenir 233

Du mal ˆ dŽmarrer ?239

CorrigŽs des exercices241

18. Espaces vectoriels251

Les mŽthodes ˆ retenir 251

Du mal ˆ dŽmarrer ?255

CorrigŽs des exercices256

19. Applications linŽaires 261

Les mŽthodes ˆ retenir 261

Du mal ˆ dŽmarrer ?266

CorrigŽs des exercices268

20. Matrices275

Les mŽthodes ˆ retenir 275

Du mal ˆ dŽmarrer ?284

CorrigŽs des exercices287

V

Les mŽthodes ˆ retenir 299

Du mal ˆ dŽmarrer ? 301

CorrigŽs des exercices302

22. Espaces vectorielseuclidiens305

Les mŽthodes ˆ retenir 305

Du mal ˆ dŽmarrer ?313

CorrigŽs des exercices315

23. GŽomŽtrie plane325

Les mŽthodes ˆ retenir 325

CorrigŽs des exercices333

24. GŽomŽtrie dans lÕespace 343

Les mŽthodes ˆ retenir 343

Du mal ˆ dŽmarrer ?348

CorrigŽs des exercices350

25. Courbes du plan357

Les mŽthodes ˆ retenir 357

Du mal ˆ dŽmarrer ?362

CorrigŽs des exercices364

Index alphabŽtique377

© Dunod. La photocopie non autorisŽe est un dŽlit. VI

Pour bien utiliser cet ouvrage

5

La page dÕentrŽe de chapitre

Elle propose un plan du chapitre, les

quÕun rappel des points essentiels du cours pour la rŽsolution des exercices. 26

Les mŽthodes ˆ retenir

cipales mŽthodes ˆ conna"tre,dŽtaillŽes Žtape par Žtape,et indique les exercices auxquels elles se rapportent. VII

Énoncés des exercices

De nombreux exercices de difficultŽ croissante

sont proposŽs pour sÕentra"ner.La difficultŽ de chaque exercice est indiquŽe sur une Žchelle de

1 ˆ 4.

Corrrigés des exercices

Tous les exercices sont corrigŽs de faon dŽtaillŽe. 28
33

Du mal à démarrer ?

Des conseils mŽthodologiques sont proposŽs

pour bien aborder la rŽsolution des exercices.

R∅

R R 32
IX © Dunod. La photocopie non autorisŽe est un dŽlit.

Remerciements

Bruno Arsac, Jean-Philippe Berne, Jacques Blanc, GŽrard Bourgin, Sophie CohŽlŽach, Carine Courant, Hermin

Durand, Jean Feyler, Viviane Gaggioli, Marguerite Gauthier, Daniel Genoud, Guillaume Haberer, AndrŽ Laffont,

Ibrahim Rihaoui, RenŽ Roy, Marie-Dominique SiŽfert, Marie-Pascale Thon, Audrey Verdier.

Jean-Marie Monier

1 1

CHAPITRE

1

Les nombres rŽels

Les mŽthodes ˆ retenir

Thèmes abordés dans les exercices

¥Racine carrŽe, racines

¥Manipulation du symbole

de sommation dÕun nombre fini de termes et du symbole de produit dÕun nombre fini de facteurs Points essentiels du cours pour la résolution des exercices ¥RŽsolution des Žquations et inŽquations du premier et du second degrŽ dans

¥Raisonnement par rŽcurrence

¥Notions de borne supŽrieure et borne infŽrieure dans toute partie non vide et majorŽe de admet une borne supŽrieure dans

Les méthodes à retenir 1

Énoncés des exercices 3

Du mal à démarrer ? 4

Corrigés5

Plan ¥On sait rŽsoudre les Žquations et les inŽquations du premier de grŽ ou du second degrŽ (voir cours). ¥Toujours tenir compte des particularitŽs de lՎquation ou de lÕ in- Žquation proposŽe : ˆ ce niveau, sÕil y a une question, cÕest quÕil y a une rŽponse exprimable.

¥Effectuer un changement dÕinconnue (ou un changement devariable) pouvant ramener lՎquation ou lÕinŽquation ˆ une autreplus simple. On prendra souvent comme nouvelle inconnue un grou-pement intervenant plusieurs fois dans lՎquation ou lÕinŽquation.

Exercices 1.3, 1.8, 1.9

¥Reconna"tre un dŽveloppement remarquable, par exemple celui dubin™me de Newton.

Exercice 1.1

Pour rŽsoudre une Žquation ou une

inŽquation ˆ une inconnue dans les rŽels © Dunod. La photocopie non autorisŽe est un dŽlit.

Chapitre 1• Les nombres réels

2 monotone, ce qui Žtablira que lÕŽquation admet au plus une solution.

Exercice 1.4

¥SÕil y a des radicaux, essayer de les chasser par ŽlŽvation(s) au carrŽ, ou faire intervenir la notion de quantitŽ conjuguŽe.

Exercice 1.2.

Essayer de faire intervenir la somme et le produit de xet y, en notant S?x?yet P?xyet en considŽrant Set Pcomme les nouvelles inconnues.

Exercice 1.5.

Voir aussi chapitre 17.

¥Effectuer un changement de variable pouvant ramener lÕinŽgalitŽvoulue ˆ une autre plus simple.

Exercice 1.10

¥Tenir compte Žventuellement des r™les symŽtriques des rŽels qui interviennent.

Exercice 1.6 b)

¥Faire tout passer dans un membre, puis faire appara"tre une sommede nombres tous positifs ou nuls (souvent des carrŽs de rŽels), pourconclure ˆ une positivitŽ.

Exercices 1.6, 1.11, 1.12.

Voir aussi chapitre 6.

Essayer de faire une rŽcurrence sur

n. Pour y arriver, il faut que la pro- priŽtŽ ˆ lÕordre n?1sÕexprime simplement en faisant intervenir la propriŽtŽ ˆ lÕordre n.

Exercice 1.13.

ExdÕun

rŽel x: Ex? et ExRxEx?1 ou encore : Ex? etx?1ExRx∅

Exercices 1.7, 1.15.

Raisonner par lÕabsurde : supposer

⎷?et dŽduire une contradic- tion.

Exercice 1.17.

dՎquations symŽtrique (ou presque symŽtrique)

ˆ deux inconnues

xy

Pour Žtablir une inŽgalitŽ

portant sur plusieurs rŽels

Pour Žtablir une propriŽtŽ faisant

intervenir une entier nquelconque

Pour rŽsoudre une question portant

Pour montrer quÕun nombre rŽel ⎷

est irrationnel 3 © Dunod. La photocopie non autorisŽe est un dŽlit.

ƒnoncŽs des exercices

Exemple de rŽsolution dÕune Žquation polynomiale ˆ une incon nue dans

RŽsoudre lÕŽquation dÕinconnue

xβ :x 3 αx 2

αxμγ1

3 Exemple de rŽsolution dÕune Žquation avec racines carrŽes dans

RŽsoudre lÕŽquation dÕinconnue

xβ : Exemple de rŽsolution dÕune Žquation avec racine carrŽe dans

RŽsoudre lÕŽquation dÕinconnue

xβ :3x 2

γ3xγ4x

2

γxα3μ6

Exemple de rŽsolution dÕune Žquation avec racines

RŽsoudre lÕŽquation dÕinconnue

xβ :4 3 xα5 4 xμ9 ques dans les rŽels xyβ 2 :Sx 2

αxyαyμ3

y 2

αyxαxμγ1

Des inŽgalitŽs sur des rŽels

a)Montrer :Πabβ 2 a 2 aαb

3aγb

4 b)En dŽduire :Πabcβ 3 a 2 aαbαb 2 bαcαc 2 cαa aαbαc 2

Montrer :

Πnβ?E

(πnαπnα1 2 )μ4nα1 Exemple de rŽsolution dÕune Žquation polynomiale ˆ une incon nue dans

RŽsoudre lÕŽquation dÕinconnue

xβ :xγ7xγ5xα4xα6μ608 Exemple de rŽsolution dÕune Žquation avec racines

RŽsoudre lÕŽquation dÕinconnue

xβ : 4 Exemple de rŽsolution dÕune inŽquation ˆ une inconnue dans

RŽsoudre lÕŽquation dÕinconnue

xβ :2 4 xα3 3 xα x Une inŽgalitŽ du second degrŽ sur des rŽels

Montrer :

Πabcβ

3 aαbαc 2 ⎷4a 2

α4b

2

α2c

2 Une Žquivalence logique entre deux inŽgalitŽs Soit xyβ 2

Montrer :

xy 3

α1⎷xαy

3

Ωωyx

3

α1⎷yαx

3 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 1.10 1.11 1.12

Chapitre 1• Les nombres réels

4

Une inŽgalitŽ sur des rŽels

Soient

n? γa 1

γμμμγa

n ?[1γ??[μMontrer : n i?1

α1?a

i β2 n?1 1? n i?1 a i

Une inŽgalitŽ portant sur une sommation

Montrer, pour tout

n? n k?1 1 kπ? n??n?1?1μ

Montrer :

?n?γEn?1 2 ?En?24 ?En?44 ?nμ

Un entier cachŽ sous des radicaux

Montrer que le rŽel

A? 3

54?3?41?5

3? 3

54?3?41?5

3est un entier et le

calculer.quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47