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Chapitre 4 Améliorer ses techniques Corrigés

Math'x seconde © Éditions Didier 2010

Fonction carré

Exercice 1

Les images par la fonction carré des nombres :

sont, dans l'ordre : .

Exercice 2

a. Les solutions de l'équation sont 4 et Ȃ 4. b. Les solutions de l'équation sont et Ȃ . c. L'équation n'a pas de solution (car est toujours positif ou nul). d. Les solutions de l'équation sont et .

Exercice 3

a. ฻ Les solutions sont donc et . b. ฻ . Cette équation n'a pas de solution. c. ฻ Les solutions sont et . d. ฻ . Les solutions sont et .

Exercice 4

a. ฻ OU ฻ OU .

Les solutions sont et .

b. ฻ OU ฻ OU .

Les solutions sont et .

c. ฻ OU ฻ OU . Les solutions sont et . d. ฻ OU ฻ OU .

Les solutions sont et .

Exercice 5

Méthode : on peut raisonner en utilisant le sens de variation de la fonction carré ou en s'aidant d'un dessin. a. On a et ces deux nombres appartiennent à l'intervalle sur lequel la fonction carré est strictement croissante. Elle conserve l'ordre : b. On sait que et ces deux nombres appartiennent à l'intervalle sur lequel la fonction carré est strictement décroissante.

Elle renverse donc l'ordre :

c. On sait que mais on ne peut rien en déduire sur leurs images par la fonction carré car sur l'intervalle [ cette fonction change de sens de variation en 0.

Mais on sait que Ȃ.

Comme on peut alors déduire que donc aussi que Chapitre 4 Améliorer ses techniques Corrigés

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d. On a donc et par conséquent puisque la fonction carré est strictement croissante sur

Exercice 6

Méthode : on s'aide d'un dessin.

a. équivaut à Ceci revient à dire que . b. équivaut à OU . Ceci peut encore s'écrire c. équivaut à ou encore à .

d. est vrai pour tout réel car est toujours positif ou nul, donc supérieur ou égal à 0,

et a fortiori supérieur ou égal à .

Exercice 7

a. La fonction carré est strictement croissante sur . On en déduit que : si , alors ...ǯ‡•--à-dire . b. La fonction carré est strictement décroissante sur . On en déduit que : si alors c'est-à-dire . c. La fonction carré est strictement croissante sur . On en déduit que : si alors c'est-à-dire d. La fonction carré ne garde pas toujours le même sens de variation sur On peut s'aider du dessin ci-dessous : Voir animation GeoGebra si alors . Voir animation Geoplan Chapitre 4 Améliorer ses techniques Corrigés

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Exercice 8

a. Si , c'est-à-dire si alors b. Si , c'est-à-dire , alors c. Si c'est-à-dire alors d. Si , c'est-à-dire alors

Exercice 9

Soit le diamètre du disque et son rayon. On a donc .

Comme en divisant par on a .

Le fonction carré étant strictement croissante sur , on a donc c'est-à-dire

En multipliant par , on obtient : .

Or et

On en déduit que (en mm²).

Fonction inverse

Exercice 10

Les images par la fonction inverse des nombres : sont, dans l'ordre,

Exercice 11

a. L'équation a pour solution b. L'équation a pour solution . c. L'équation a pour solution . d. L'équation a pour solution .

Exercice 12

a. ฻ ฻ b. ฻ ฻ . c. ฻ ฻ ฻ . d. ฻ ฻ = .

Exercice 13

Méthode : on peut utiliser le sens de variation de la fonction inverse ou s'aider d'un dessin.

a. La fonction inverse est strictement décroissante sur l'intervalle ] 0 ; qui contient 7,6 et 8.

De 7,6 < 8 on déduit que > .

Chapitre 4 Améliorer ses techniques Corrigés

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b. De même, de 0,1 > 0,07 on peut déduire que . c. Comme < 0 < , on a < . d. On peut commencer par comparer et : de on déduit que > . En multipliant par , négatif, on change le sens des inégalités ce qui donne .

Exercice 14

Méthode : on peut utiliser le sens de variation de la fonction inverse ou s'aider d'un dessin. a. Si alors car la fonction inverse est strictement décroissante sur l'intervalle b. Si alors car la fonction inverse est strictement décroissante sur l'intervalle ] . c. Si alors d. Si alors ; on peut même préciser que Chapitre 4 Améliorer ses techniques Corrigés

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Exercice 15

Méthode : on s'aide d'un dessin pour résoudre ces équations. a. ฻ 0 < . b. ฻ < c. ฻ > 6. d. ฻ OU (ce que l'on peut encore écrire .

Exercice 16

On sait que donc

De on déduit que .

En multipliant par , positif, on obtient :

Donc ou encore .

Comme ൎ --ǡ-- et , on en déduit que Chapitre 4 Améliorer ses techniques Corrigés

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Un peu de logique

Exercice 17 Vrai ou Faux ?

(A) Vrai. On peut le voir graphiquement : si alors . Donc on est sûr que

On peut aussi le démontrer par contraposition:

Cette contraposée est vraie du fait de la stricte croissance de la fonction carré sur Donc la proposition " si alors » est elle aussi vraie. (B) Faux. On peut le voir graphiquement : Pour le démontrer, il suffit de donner un contre-exemple : pour , l'affirmation " » est vraie mais l'affirmation " » est fausse puisque (C) Faux.

On peut le voir graphiquement.

On peut le démontrer ne donnant un contre-exemple : pour , l'affirmation " » est vraie mais l'affirmation " » est fausse car . On peut aussi plus rapidement démontrer que si alors on a (et donc par stricte décroissance de la fonction inverse sur l'intervalle ] 0 ; Chapitre 4 Améliorer ses techniques Corrigés

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(D) Vrai. On peut le démontrer par contraposition car si , alors par stricte décroissance de la fonction inverse sur

Fonctions polynômes de degré 2

Exercice 18

a pour équation ; a pour équation ; a pour équation .

Exercice 19

a. = pour . b. = avec . c. = avec . d. = avec .

Exercice 20

1. Comme est une fonction polynôme de degré 2, est une parabole.

De on déduit que passe par le point A (5 ; 4). Comme admet un extremum en 2, l'axe de symétrie de la parabole est la droite d'équation

2. On en déduit que le symétrique A' du point A par rapport à la droite appartient lui aussi à la

courbe. Ses coordonnées étant Ȃ on en déduit que

Le réel cherché est donc .

Exercice 21

1. La fonction est une fonction polynôme de degré donc

2. donc les points d'abscisses et de ont la même ordonnée et sont donc

symétriques par rapport à l'axe de symétrie de la parabole. L'axe de symétrie de la parabole est donc la droite d'équation soit .

Exercice 22

1. est une parabole.

2. et Donc A et B ont la même ordonnée 5.

3. A et B sont symétriques par rapport à l'axe de la parabole. Cet axe de symétrie est donc la

droite d'équation . Chapitre 4 Améliorer ses techniques Corrigés

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4. Le sommet S de a pour abscisse 3 puisqu'il appartient à l'axe de symétrie. Son ordonnée est

. Donc S a pour coordonnées (3 ; ).

5. Tableau de variation de

3

Exercice 23

1. ฻ ou .

Les solutions sont et .

2. Les points d'intersection de l'axe des abscisses avec la courbe ont pour coordonnées

et

3. L'axe de symétrie de est donc la droite d'équation .

Le sommet de a pour abscisse et pour ordonnée . Il s'agit donc du point S (5 ; 9).

4. Tableau de variation de

5 9

Exercice 24

1. Pour tout réel .

On a donc bien avec

Par conséquent est une fonction polynôme de degré 2.

2. Pour tout réel est positif ou nul, donc aussi.

De ce fait pour tout

3. On sait que pour tout De plus .

On en déduit que admet pour maximum 5 et que ce maximum est atteint en

4. Tableau de variation de

5

Fonctions homographiques

Exercice 25

On considère les fonctions définies de la façon suivante : a. = = avec

Donc est une fonction homographique.

M. Autrement dit son ensemble de définition est encore noté Chapitre 4 Améliorer ses techniques Corrigés

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On peut contrôler graphiquement à la calculatrice qu'il n'y a pas de point d'abscisse sur la courbe représentative de . b. = = avec

Donc est une fonction homographique.

Son ensemble de définition est encore noté Թ ou Թ*. On peut contrôler graphiquement à la calculatrice qu'il n'y a pas de point d'abscisse sur la courbe représentant c'est-à-dire que celle-ci ne coupe pas l'axe des ordonnées. c. = avec

Donc est une fonction homographique.

Autrement dit son ensemble de définition est encore noté On peut contrôler graphiquement à la calculatrice qu'il n'y a pas de point d'abscisse sur la courbe représentative de . d. = Ainsi avec et est une fonction homographique. Elle est définie en tout réel tel que Ȃ , donc en tout réel ് . Autrement dit son ensemble de définition est encore noté On peut contrôler graphiquement à la calculatrice qu'il n'y a pas de point d'abscisse sur la courbe représentative de . .

Exercice 26

1. ne s'annule qu'en donc est définie sur .

2. Pour ് , ฻ ฻ .

La solution est (qui est bien différente de .

Exercice 27

a. On doit avoir ฻ ്

Pour ് ฻ = 0 ฻ .

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