http://math unice fr/∼rubentha/cours html PRÉREQUIS : Pour pouvoir Tous les exercices de ce chapitre n'ont pas un lien direct avec le cours Par contre, ils
Previous PDF | Next PDF |
[PDF] Probabilités Exercices corrigés
Probabilités exercices corrigés Terminale S Probabilités Exercices corrigés 1 Combinatoire avec démonstration 2 Rangements 3 Calcul d'événements 1 4
[PDF] PROBABILITES – EXERCICES CORRIGES - Math2Cool
Calculer le probabilité qu'elle provienne de l'urne 1 u Page 3 Cours et exercices de mathématiques M CUAZ, http://mathscyr free
[PDF] EXERCICES corrigés de PROBABILITES
EXERCICES corrigés de PROBABILITES Calculer la probabilité d'un événement Exercice n°1: Un sachet contient 2 bonbons à la menthe, 3 à l'orange et 5 au
[PDF] Probabilités conditionnelles
TD Probabilités feuille n◦ 4 Probabilités conditionnelles Exercice 1 Dans une usine, on utilise conjointement deux machines M1 et M2 pour fabriquer des pi`
[PDF] Intégration et probabilités (cours + exercices corrigés) L3 MASS
http://math unice fr/∼rubentha/cours html PRÉREQUIS : Pour pouvoir Tous les exercices de ce chapitre n'ont pas un lien direct avec le cours Par contre, ils
[PDF] Exercices et problèmes de statistique et probabilités - Dunod
1 1 Rappels de Mathématiques 1 2 Axiomes du calcul des probabilités donc évité de proposer des exercices de probabilités calculatoires classiques
[PDF] Exercices probabilités
EXERCICE 1: Une urne contient 4 boules noires numérotées de 1 à 4 et 3 boules blanches numérotés 1,2 et 3 1) Quelle est la probabilité de tirer une boule noire
[PDF] Exercices : Probabilités
Déterminer la loi de probabilité de Exercice 7 Une urne contient 5 boules rouges et − 5 boules noires ( ≥5) A/ Tirage avec remise :
[PDF] Probabilité et dénombrement - Exo7 - Exercices de mathématiques
Quelles sont les probabilités des événements suivants : il est tout en noir ; une seule pièce est noire sur les trois Correction Τ [005984] Exercice 3 Si 30
[PDF] Analyse combinatoire et probabilités - mathématiques et physique
Combien de "nombres" secrets y a-t-il ? Solution 2 1 2 Exercice M-D'un jeu de 52 cartes, on tire D'
[PDF] Maths sur Thalès pour demain
[PDF] maths svp
[PDF] maths table carrée , nappe ronde
[PDF] Maths Tableau
[PDF] maths tableur troisième
[PDF] Maths tarif
[PDF] maths taux de variation
[PDF] maths terminale es exercices corrigés
[PDF] maths terminale es fonction exponentielle
[PDF] Maths Terminale S
[PDF] maths terminale s exercices corrigés livre
[PDF] maths terminale s exercices corrigés livre pdf
[PDF] maths terminale st2s statistiques
[PDF] maths terminale sti2d exercices
Integration et probabilites
(cours + exercices corriges)L3 MASS, Universite Nice Sophia Antipolis
version 2021Sylvain RubenthalerTable des matieres
Introduction iii
1 Denombrement (rappels) 1
1.1 Ensembles denombrables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2.1Enonces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2.2 Corriges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2 Theorie de la mesure 5
2.1 Tribus et mesures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.1.1 Tribus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2 Mesures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.3 Integrales des fonctions etagees mesurables positives. . . . . . . . . . . . . . . 9
2.4 Fonctions mesurables et integrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.4.1 Integrales des fonctions mesurables positives . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.4.2 Integrales des fonctions mesurables de signe quelconque. . . . . . . . . 11
2.5 Fonction de repartition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.6.1Enonces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.6.2 Corriges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3 Ensembles negligeables 17
4 Theoremes limites 21
4.1 Stabilite de la mesurabilite par passage a la limite. . . . . . . . . . . . . . . . 21
4.2 Theoremes de convergence pour les integrales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4.3 Integrales dependant d'un parametre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4.4.1Enonces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4.4.2 Corriges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
5 Mesure produit et theoremes de Fubini 33
5.1 Theoremes de Fubini et Fubini-Tonelli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
5.2 Changement de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
5.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
5.3.1Enonces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
5.3.2 Corriges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
6 Fondements de la theorie des probabilites 41
6.1 Denitions generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
6.2 Esperance d'une v.a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
6.3 Inegalites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
6.4 Lois classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
6.4.1 Lois discretes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
6.4.2 Lois continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
6.5 Fonctions caracteristiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
6.6 Fonctions generatrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
i6.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
6.7.1Enonces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
6.7.2 Corriges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
7 Variables independantes 59
7.1 Denitions generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
7.1.1Evenements et variables independantes . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
7.1.2 Densites de variables independantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
7.2 Lemme de Borel-Cantelli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
7.3 Somme de deux variables independantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
7.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
7.4.1Enonces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
7.4.2 Corriges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
8 Convergence de variables aleatoires 71
8.1 Les dierentes notions de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
8.2 Loi des grands nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
8.3 Theoreme central-limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
8.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
8.4.1Enonces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
8.4.2 Corriges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
9 Conditionnement 83
9.1 Conditionnement discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
9.2 Esperance conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
9.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
9.3.1Enonces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
9.3.2 Corriges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
10 Variables gaussiennes 89
10.1 Denitions et proprietes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
10.2 Gaussiennes et esperance conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
A Table de la loi normale 93
Introduction
Le but de ce cours est d'introduire les notions de theorie de la mesure qui seront utiles en calcul des probabilites et en analyse. Il est destine aux etudiants qui veulent poursuivre leurs etudes dans un master a composante mathematique. Pour un cours plus complet, se reporter a la bibliographie. Informations utiles (partiels, bar^emes, annales, corriges, ...) : PREREQUIS : Pour pouvoir suivre ce cours, l'etudiant doit conna^tre, entre autres, les developpements limites, les equivalents, les etudes de fonction, le denombrement, les nombre complexes, la theorie des ensembles., les integrales et primitives usuelles, la trigonometrie, etc. Nouveautes 2019 : corrections apportees par Laure Helme-Guizon (Teaching Fellow, UNSW, Sydney, Australia) et Antoine Mal. Un grand merci a eux. iiiChapitre 1
Denombrement (rappels)
1.1 Ensembles denombrables
Denition 1.1.1.Injection.
SoitE;Fdes ensembles,f:E!Fest une injection si8x;y2E,f(x) =f(y))x=y.Denition 1.1.2.Surjection.
SoitE;Fdes ensembles,f:E!Fest une surjection si8z2F,9x2Etel quef(x) =z.Denition 1.1.3.Bijection.
SoitE;Fdes ensembles,f:E!Fest une bijection sifest une injection et une surjection. Proposition 1.1.4.SoientE;F;Gdes ensembles. Soientf:E!F,g:F!G. Alors [f etginjectives])[gfinjective]. Demonstration.Soientx;ytels quegf(x) =gf(y). L'applicationgest injective doncf(x) =f(y). L'applicationfest injective doncx=y.Denition 1.1.5.On dit qu'un ensembleEest denombrable s'il existe une injection deE
dansN. Dans le cas ouFest inni, on peut alors demontrer qu'il existe alors une bijection deEdansN. (Cela revient a dire que l'on peut compter un a un les elements deE.)Exemple 1.1.6.Tout ensemble ni est denombrable.
Exemple 1.1.7.Zest denombrable car l'application
f:Z!N n7!(2nsin>0
2n1sin <0
est bijective (donc injective).01 23-1-2-30 2 413Figure1.1 {Enumeration des elements deZ.
12CHAPITRE 1. DENOMBREMENT (RAPPELS)
Exemple 1.1.8.NNest denombrable car l'application
f:NN!N (p;q)7!(p+q)(p+q+ 1)2 +q est bijective (donc injective).0 129 5874