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Mathématiques
Option Technologique
Mercredi 15 avril 2020 de 8h00 à 12h00
Durée
: 4 heuresCandidats bénéficiant de la mesure "
Tiers-temps
8h00 - 13h20
L'énoncé comporte 6 pages. CONCOURS D'ADMISSION 2020Tournez la page s.v.p.
Tous les feuillets doivent être identifiables et paginés par le candidat.Aucun document n'est permis, aucun instrument de calcul n'est autorisé.Conformément au règlement du concours, l"usage d"appareils communiquants ou connectés est formellement interdit durant l"épreuve.
Les candidats sont invités à soigner la présentation de leur copie, à mettre en évidence les principaux résultats, à respecter les notations de
l"énoncé et à donner des démonstrations complètes - mais brèves - de leurs afrmations.
Si, au cours de l"épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d"énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en
expliquant les raisons des initiatives qu"il est amené à prendre.Ce document est la propriété d"ECRICOME, le candidat est autorisé à le conserver à l"issue de l"épreuve.
Le concours ECRICOME PRÉPA est une marque déposée. Toute reproduction du sujet est interdite. Copyright ©ECRICOME - Tous droits réservés
VoieT -Sujet 20.1
VoieT-Sujet 1
EXERCICE1
PartieA
On consid`erelasuite(u
n n?N d´efiniepar: u 0 =0,u 1 =1,et?n?N ,u n+1 =7u n +8u n-11. Recopiere tcompl ´eterlestroislignesincompl`etes duscript Scilabci-dess ousp ourqu"ilcalculeu
n pournentiernat urelent r´eparl"utilisateur: n=input("Entrern :" )2. Montrerquelasuite( s
n n?N d´efiniepars n =u n+1 +u n est unes uiteg´eom´ etriquederaison8.En d´eduirel"expression des
n en fonctionde n.3. Onp osepourto utentiernaturel n:
v n =(-1) n u n ett n =v n -v n+1 (a)Expr imert n en fonctionde s n pourtout entier natureln. (b) End ´eduirequepourtout n?0,onat n =(-8) n4. Soitnun entiernaturel nonnul.
(a)Ca lculerlasomme n-1 i=0 (-8) i (b) Justifierque : n-1 i=0 (v i -v i+1 )=-v n (c) End ´eduirel"expressionde v n en fonctionde n, puisv ´erifierque: ?n?N,u n =(-1) n+1 +8 n 9. 1/6 - 2 -VoieT -Sujet 20.1
PartieB
On consid`erelesmatrices carr´ees d"ordre3suivantes : M=( (233 323332)
etI=(( 100
010 001)
1. Montrerquelepo lynˆo meQ(X)=X
2 -7X-8 estun polynˆ omeannulateurdeM.2. End ´eduirequeMest inversibleete xprimerM
1 en fonctionde Met deI.3.(a)Onp os e:a
0 = 0et b 0 = 1.V´ erifierque:M 0 =a 0 M+b 0 I. (b) D´eterminerdeuxr´eelsa 1 etb 1 tels que: M 1 =a 1 M+b 1 I. (c) Soitn?N. Onsuppose qu"ilexistedeuxr ´ee lsa n etb n tels que: M n =a n M+b nI. Prouver
alorsque : M n+1 =a n (7M+8I)+b
n MEn d´eduiredeuxr´ eels a
n+1 etb n+1 en fonctionde a n etb n tels queM n+1 =a n+1 M+b n+1 I. (d) Montrerparr´ec urrenc eque: n?N,a n =u n o `u( u n ) estla suited ´efinie danslaPartieA.PartieC
SoientXetYdeux variablesal´ea toirespourlesquellesonsuppose quelaloi ducouple (X,Y) estdonn´ ee
par let ableausuivan t: XY 1