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[PDF] Dédicaces Dédicaces Je dédie ce modeste travail à : A mes parents

On remercie dieu le tout puissant de nous avoir donné la santé et la volonté d' entamer et de terminer ce mémoire Tout d'abord, ce travail ne serait pas aussi riche 

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Dédicace Tous les mots ne sauraient exprimer la gratitude, l'amour, le respect, la reconnaissance, c'est tous simplement que : Je dédie cette thèse de

[PDF] Je dédie cette thèse :

Aucune dédicace ne saurait exprimer mes respects, ma reconnaissance et mon profond amour Puisse Dieu vous préserver et vous procurer santé et bonheur

[PDF] 2) Dédicace et remerciements - BICTEL/e ULg

DÉDICACE À Mme Marianne Müller, Je remercie tous les membres de mon comité de thèse pour leurs encouragements, leur lumière et leurs orientations 

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Enfin, merci à Aurélien qui m'a soutenue bien au-delà de ce mémoire Page 7 INTRODUCTION CHAPITRE I : L'APHASIE A Définition de l' 

[PDF] Je dédie ce modeste travail et ma profonde gratitude - cloudfrontnet

DEDICACES Je dédie ce DEDICACES Je dédie ce techniques permettant la réalisation de ce projet Micro ordinateur Processeur Mémoire Disque dur

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22 jui 2010 · Ce mémoire présente les résul- tats du projet Facoma Il propose une spécification du système de gestion d'exceptions, XSaGE, qui est une 

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REPUBLIQUE ALGERIENNE DEMOCRATIQUE ET POPULAIRE

MINISTERE DE L'ENSEIGNEMENT SUPERIEUR

ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE

UNIVERSITE MENTOURI - CONSTANTINE -

FACULTE DES SCIENCES EXACTES

DEPARTEMENT DE MATHEMATIQUES

N° d'ordre :.............................

Série :......................................

Présenté Pour Obtenir Le Diplôme De Magister

En Mathématiques

THEME

SUR LA METHODE DE FOURIER POUR L'ETUDE

D'UNE CLASSE D'EQUATIONS OPERATORIELLES

Option :

Analyse

PAR

Mme Derdoukh Assma

Devant le jury :

Président : M. Denche Prof. Univ. Mentouri Constantine Rapporteur : A. Hebbeche M.C. Univ. Mentouri Constantine Examinateurs : C. Saidouni M.C. Univ. Mentouri Constantine

A. Hameida M.C. Univ. Mentouri Constantine

MEMOIRE

Remerciement

Mes remerciement s'adressent à :

Monsieur le professeur A.HEBBECHE pour

l'attention et la disponibilité dont il a su faire preuve au cours de ces années de thèse.

Je voudrai également remercier les

membres de mon jury :

Mr .M.DENECHE professeur à

l'université Mentouri de Constantine.

Mr .A.HAMEIDA et Mr .C.SAIDOUNI ;

Maitres de conférences à l'université

Mentouri de Constantine, pour l'honneur

qu'ils m'ont fait en portant leur attention sur ce travail.

Dédicace

Tous les mots ne sauraient exprimer la gratitude, l'amour, le respect, la reconnaissance, c'est tous simplement que : Je dédie cette thèse de magistère à : A Ma tendre Mère Khamsa : Tu représente pour moi la source de tendresse et l'exemple de dévouement qui n'a pas cessé de m'encourager. Tu as fait plus qu'une mère puisse faire pour que ses enfants suivent le bon chemin dans leur vie et leurs études. A Mon très cher Père Hocine : Aucune dédicace ne saurait exprimer l'amour, l'estime, le dévouement et le respect que j'ai toujours pour vous. Rien au monde ne vaut les efforts fournis jour et nuit pour mon éducation et mon bien être. Ce travail et le fruit de tes sacrifices que tu as consentis pour mon éducation et ma formation le long de ces années. A mon très cher mari Youcef Yazid : Tes sacrifices, ton soutien moral et matériel m'ont permis de réussir mes études. Ce travail soit témoignage de ma reconnaissance et de mon amour sincère et fidèle. A la mémoire de mon petit bébé Mohamed Iade ; je t'aime

énormément.

A mon cher frère : Oussama.

A mes soeurs : Amel, Karima et Chahira.

A mes chers beaux parents.

A mes chère belle soeurs, mes chers beaux frères. A mes très chère amis : djamaa , fairouz , nawel ,assia , hiba ,noura , chafia mounia , salim ,abdelhaq ,meriem ,asma . A monsieur Nedjahi abdelwahab : Cette humble dédicace ne saurait exprimer nom grand respect et ma profond estime, que dieu vous procure bonne santé et long vie. A monsieur Yahyaoui : qui ne cessé pas de m'encourager et me conseillée. Cette humble dédicace ne saurait exprimer mon grand respect et ma profonde estime.

A tous les membres de ma promotion.

A tous mes enseignants depuis mes premières années d'études. A tous ceux qui me sens chers et que j'ai omis de citer.

Table des matières

I Notions préliminaires sur les opérateurs symétriques et auto- adjoints 3

0.1 Spectre et résolvante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

0.2 Spectre et résolvante d"opérateur auto-adjoint . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

0.2.1 Classi...cation des points de spectre d"un opérateur auto-adjoint . . . 22

0.3 Extension d"opérateur symétrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

0.3.1 Espaces de défaut d"un opérateur symétrique . . . . . . . . . . . . . . 25

0.4 Transformation de CAYLEY . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

0.4.1 Domaine de dé...nition d"un opérateur adjoint . . . . . . . . . . . . . 31

0.4.2 Construction d"extension d"opérateur symétrique . . . . . . . . . . . 39

0.5 Spectre d"extension auto-adjointe d"opérateur symétrique . . . . . . . . . . . 42

0.5.1 Théorié spectrale d"opérateur auto-adjoint . . . . . . . . . . . . . . . 48

0.5.2 Intégrale par rapport à une famille spectrale . . . . . . . . . . . . . . 49

0.5.3 Résolvantes généralisées d"un opérateur symétrique . . . . . . . . . . 55

II Méthode de Fourier de separation des variables 62

0.6 Méthode de Fourier de separation des variables . . . . . . . . . . . . . . . . 63

0.7 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

1

Introduction

Bien que la théorie abstraite des opérateurs auto-adjoints et symétriques semble ache-

naires et aux dérivées partielles, voir par exemple les monographies de N. I. Akhiezer et I. M.

Glazman [1], Yu. M. Berezanskii [3], Kostyuchenko A. G et Sargsyan I. S. [5], .B.M. Levitan [8], M. A. Naimark [10] et E. C. Titchmarch [20].

Le mémoire présenté est consacré à l"étude des propriétés spectrales d"operateurs sy-

métriques réguliers d"une part, et d"autre part à la methode de Fourier pour une classe d"equations operatorielles. Elle est composée de deux chapitres. On commence tout d"abord

au premier chapitre par une étude détaillée des proprietes spectrales des opérateurs auto-

adjoints et symétriques réguliers pour le plus de details voir [2, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17].

On commence par une presentation de la classi...cation des points du spectre d"un operateur auto-adjoint. Une grande partie est consacrée à la construction d"extensions auto-adjointes

d"un operateur symétrique et à l"étude de leur spectre. En particulier on présente l"étude

des résolvantes generalisées d"une certaine classe d"opérateurs symétriques d"indice de dé-

théorie des extensions auto-adjointes et des résolvantes généralisées ont été développées dans

[4, 6, 7, 9, 14, 15, 16, 17, 18, 19] . Le dernier chapitre est consacré au développement de la méthode de Fourier pour une

classe d"equations opératorielles à opérateurs symétriques à indices de défaut ...ni, et en...n

on termine le chapitre par une illustration des resultats obtenus sur un exemple concret. 2

Première partie

Notions préliminaires sur les

opérateurs symétriques et auto-adjoints 3

SoitHun espace de Hilbert.

Un opérateurAdansHest une application linéaire dont le domaineD(A)est un sous- espace deHet dont l"imageR(A)est contenue dansH. Le grapheG(A)d"un opérateurAdansHest un sous-espace deHHdé...ni par :

G(A) =ffx;Axgtelque:x2D(A)g:

L"espace nulN(A)d"un opérateurAdansHest dé...ni par :

N(A) =fx2D(A)tel que :Ax= 0g:

L"opérateurSest une extension de l"opérateurA(i.e.)D(A)D(S)etSx=Axpour toutex2D(A)si et seulement si ,G(A)G(S)et on écrit :AS:

Opérations algébriques :

- La somme : (S+A)(x) =Sx+AxavecD(S+A) =D(S)\D(A): - Le produit : (S:A)(x) =S(A(x))avecD(S:A) =fx2D(A)tel que :A(x)2D(S)g. - Les lois usuelles d"associativité :(R+S) +A=R+ (S+A);(RS)A=R(SA). - Les lois de distributivité :(R+S)A=RA+SA ;A(R+S)AR+AS:Car il se peut que(R+S)x2D(A)même siRxouSxn"est pas dansD(A): - Multiplication par scalaire :

Si= 0AlorsD(A) =HetA= 0:

Si6= 0AlorsD(A) =D(A)et(A)x=(Ax)pourx2D(A):

Dé...nition 1(opérateur fermé) Un opérateur fermé dansHest un opérateur dont le graphe

est un sous-espace fermé deHH: Lemme 1Un opérateurAest fermé si et seulement si, pour chaque suite :(fn)nD(A) telle que : 4 lim n!1fn=fetlimn!1Afn=g:Alors :f2D(A)etAf=g: Proposition 1Si l"opérateurAest fermé . Alors tout opérateurAIest fermé. Si l"opérateurAest fermé etA1existe .AlorsA1est fermé . Dé...nition 2(opérateur fermable)On dit que l"opérateurAest fermable s"il admet une extension fermée; dans ce cas il admet un plus petit prolongement fermé notéAappelé fermeture de l"opérateurA: Lemme 2Un opérateurAest fermable,si pour chaque suite :(fn)nD(A)telle que : lim n!1fn= 0;nous avons : lim n!1Afn= 0; :ou lim n!1Afnn0existe pas: Corollaire 1LorsqueAest fermable , sa fermetureAest complètement déterminée par son grapheG(A), qui n"est autre que l"adhérenceG(A)deG(A)dansHH(i.e.) SiAest fermable Alors :G(A) =G(A): Dé...nition 3(opérateur adjoint )SoitAun opérateur linéaire avecD(A)dense dansH . Alors l"opérateurAadmet un opérateur adjointA,son domaineD(A)est dé...ni comme suit : g2D(A), 9g tel que (Af;g) = (f;g) pourf2D(A)etAg=g: Les seuls opérateurs qui donneront un adjointAsont les opérateurs à domaine dense. Les opérateurs à domaine dense sont exactement les opérateurs véri...antAA: En outre, siD(A)est dense dansHet(Ax;y) = (x;Sy)pour toutex2D(A)et y2D(A)ety2D(S)alorsSA: 5 Dé...nition 4(opérateur auto-adjoint)Un opérateurAest dit auto- adjoint siA=A:

Corollaire 2AEst un oppérateur linéaire tel que :D(A) =HetA1existe tel que :D(A1) =H:Alors :(A1)= (A)1:

Démonstration.D(A)Dense dansH:Alors :Aexiste etD(A1)Dense dansH: Alors :(A1)existe; Montrons que :(A1)= (A)1:Pourf2D(A)etg2D((A1)):

Alors :

(f;g) = (A1Af;g) = (Tf;(A1)g):

Cette équation montre que :

(A1)g2D(A)etA(A1)g=g:

Pourf2D(A1)eth2D(A):Alors :

(f;h) = (AA1f;h) = (A1f;Ah):

Cette équation montre que :

A h2D((A1))et(A1)Ah=h:

Donc: (A)1= (A1):Théorème 1Supposons queS,AetSAsont des opérateurs à domaine dense dansH:

Alors :

A S(SA)

Ce qui a¢ rme que(SA)est une extension deAS:

Si de plusS2B(H)Alors :

A

S= (SA)

Ce qui Implique queASet(SA)ont le même domaine. 6 Démonstration.Supposons que :x2D(SA)ety2D(AS)donc : y2D(S)et Sy2D(A) Donc (x;ASy) = (Ax;Sy); donc

Ax2D(S)et y2D(S)

et (Ax;Sy) = (STx;y)donc y2D((SA))

AlorsD(AS)D((SA))et(x;ASy) = (x;(SA)y)

Donc :

A S(SA) SupposonsS2B(H);alors :S2B(H)de sorte que :D(S) =H, et soit :y2D((SA))etx2D(SA) : (x;(SA)y) = (SAx;y) = (Ax;Sy) cary2H=D(S)doncSy2D(A):

On a :y2D(S)etSy2D(A)alors :y2D(AS):

Et de la 1

erepartieD(AS)D((SA))et(x;ASy):

Donc :AS= (SA):Théorème 2Pour chaque opérateurAà domaineD(A)dense dansH;le complèment or-

thogonal de l"image est l"espace nul de l"adjoint (i.e.) :

R(A)?=N(A):

Et de plus : siR(A)est fermé alorsR(A) =N(A)?(i.e.) : L"équationAx=fadmet une solutionxsi et seulement si,f2N(A)?. 7 Démonstration.Soitz2R(A)?donc :(z;Au) = 08u2D(A):

Et on a(Au;z) = (u;Az) = 08u2D(A)

alorsAz= 0Ce qui implique que :z2N(A):

Soitz2N(A)donc :Az= 0donc :

(u;Az) = 08u2D(A):

Et on a

(u;Az) = (Au;z) = 08u2D(A)

Ce qui implique quez2R(A)?:

SiR(A)est fermé :R(A) =R(A)??=N(A)?:Graphes et opérateur symétrique SiHest un espace de Hilbert, AlorsHHpeut être muni d"une structure d"espace de

Hilbert,

En dé...nissant le produit scalaire de deux élémentsfa;bgetfc;dgdeHHpar : (fa;bg;fc;dg) = (a;c) + (b;d)

Où(a;c)désigne le produit scalaire dansH:

En particulier la norme dansHHest donné par :

k fa;bg k2=kak2+kbk2

On dé...nitJfa;bg=fb;agtel quea;b2H

AlorsJest un opérateur unitaire surHHet :

J

2fa;bg=J:J(fa;bg) =Jfb;ag=fa;bg

8

DoncJ2=I

SiMest un sous-espace quel quonque deHH. AlorsJ2M=M: Théorème 3SiAest un opérateur à domaine dense dansH;alors :

G(A) = [JG(A)]?

Le supplémentaire orthogonal deJG(A)dansHH:

(SiG(A)est connu, il est de même pourD(A)etA): Démonstration.Chacun des quatre énoncés suivants est équivalent a celui qui le suit et / ou celui qui le précède : fy;zg 2G(A) [y2D(A)etAy=z] [(x;Ay) = (x;z)]: (Ax;y) = (x;z)pour toutex2D(A) [(Ax;y) + (x;z) = 0]: (fAx;xg;fy;zg) = 0pour toutex2D(A) [(Jfx;Txg;fy;zg) = 0]:

fy;zg 2[JG(A)]?:Théorème 4SiAest un opérateur à domaine dense dansH;AlorsAest un opérateur

fermé. En particulier les opérateurs auto-adjoints sont fermés.

Démonstration.Pour touteMHH,M?est fermé,

et d"aprés le théorème précédent :

G(A) = [JG(A)]?:

DoncG(A)est fermé dansHHdoncAest un opérateur fermé.Théorème 5SiAest un opérateur fermé à domaine dense dansH, alors :

HH=JG(A)G(A):

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