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Chapitre2

Vecteurs

2.1Intr oduction

livrescomposa ntlesElŽmentsen!300a vantJ.C..IlsÕagitdupremierouvrageconnu,Žcritpar Euclideluimme,proposan tuntraiteme ntaxiomatiqueetsy stŽmatiquedelagŽomŽtrie.Dans pardesl ettres etdechercherˆobtenirdesŽquat ionsli ant celles-ci.PierredeFermat futlÕundes

pourŽtudie rdesdroites,paraboles ,hyperboles .SesidŽessontprŽsen tŽesdanslÕouvrageAdlo cus

planosetsolidos isagoge.AtitredÕexemple,lesjeuxvidŽosactuelsreposentsurdeslogicielsde modŽlisationnumŽriquedontunemajeure partiereposesurducalculvectoriel. Dansunpre mierte mps,nousallonsfaireq uelquesrappelssurlesvecteurs.Nousaborderons

2.2Rap pels:gŽnŽralitŽsurlesve cteu rs

Danscequis uit,no usconsid ŽronsleplanR

2 quatrespointsdisti nctsduplan. RappellonslesrŽsultatsobt enusenclas sedeseconde. uestcara ctŽrisŽparsadirection,sonsens etsa longueur.

¥[Construction]PourtoutpointAetto utvecteur

u,ilexisteununiquepointMduplan telque AM= u. 17

18CHAPITRE2.VECTEURS

¥[RelationdeChasles]

AB+ BC= AC. ¥[CoordonnŽes]SiAetBontpourc oordonnŽesre spectives(x A ;y A )et(x B ;y B )alorsle vecteur

ABapourcoordonnŽes(x

B !x A ;y B !y A

¥[Multiplication]Si

uapourcoordonnŽes(x u ;y u )alors,pourtoutr Želk,levecteurk ua pourcoordon nŽes(kx u ;ky u 1.

AB(6;2),

AC(3;1)et

BC(3;!1).

2.

BAapourcoordonnŽes(!6;!2)et vŽriÞe

AB=!

BA.Levecteur

ABestdŽsig nŽcommele

vecteuropposŽde BA./

3.De plus,

AB+ BA= AA=

0estappelŽlevecteurnul.

RappelonsŽgalementle spropriŽtŽssuivantes:

PropriŽtŽs1.1.

AB=

DCsiet seuleme ntsiABCDestunpa rallŽlo gramme.

2.Le pointCestlemi lieudus egment[AB]sietseulementsi

AC= 1 2 AB. vectorielle AI= IB.

2.3Colin ŽaritŽentredeuxvecteurs

2.3.1DŽÞni tionetconsŽquences

colinŽaritŽ.VoiciladŽÞnitiondecet tenouvellenot ion.

DŽÞnition2.3.1.Deuxvecteu rsnonnuls

uet vsontcolinŽ airessietseulementsiilexisteun rŽelktelque v=k u. Remarque.Deuxvecteu rscolinŽairesontdonclam medirection(maispasforc Žmentlemme sens).Parconv ention,le vecteur VoiciŽgaleme ntdeuxconsŽquencedecettedŽ Þnition: 1.

ABestcolin Žaireˆ

2.L espointsA,B etCdupla n(distincts deuxˆdeux)sontalignŽssietseul ements i

ABet

ACsontcolinŽ aires.

2.3.COL INƒARITƒENTREDEUXVECTEURS19

Parlasu itenou sconsidŽrons

u(x,y)et v(x ,y )deuxvecteursdontlescoordonnŽessont

DŽÞnition2.3.2.Leno mbrerŽelxy

!yx estappelŽ dŽterminantdesvec teurs uet v.Nousle noteronspar det( u, v)=det(A)= xx yy =xy !yx

Proposition8.Lesvecteu rs

u(x,y)et v(x ,y )sontcolinŽ airessietseulementsidet( u, v)=0. leurscoordon nŽessontproportionelles.

DŽmonstration.ProcŽdonsparŽquivalence .

1.Su pposonsquelesvecteurs

u(x,y)et v(x ,y rŽelktelque u=k usÕexprimentenfonction dece llede v.CÕest-ˆ-dire:(x,y)=(kx ,ky ).Ain si, det( u, v)=xy !yx =kx y !ky x =k(x y !x y )=0

2.Su pposonsquelÕidentitŽde t(

u, v)=xy !yx =0soitvŽriގe.Si uestlevect eurnul, par convention vet usontcolinŽ aires.Maintenantsi u#=

0,cÕestquelÕunedesescoordon-

pouvonsalorsutilis erlarelationxy !yx =0pourobtenir y x x y

EndÕ autrestermes,y

=kyaveck= x x $R.Ainsi(x ,y )=k(x,y)etdonc v=k u, lesvect eurssontbiencolinŽaires.Par symŽtrie,lamm edŽmonstrationfonctionnemutatis mutandissix=0ety#=0. Voiciquelques courtexemplesmettantenj eulecalculvecto rieletlac olinŽarit Ž.

Exemple2.3.1.1.Le svecteurs

u(2,5)et v(3, 15 2 )sontcolinŽairescardet( u, v)= 2% 15 2 !5%3=0.

ˆladroite(IJ).

Exercice1.Proposerunalgorithme permett antdesavoirsitroispoin tssontalign Žs.

20CHAPITRE2.VECTEURS

2.4DŽc ompositiondÕunvecteur

lesnota tionssuivantesparlasuite: OI= iet OJ= j. (OJ)sontorthog onales(perpendiculaires)etquelesvecte urs iet jsonttousle sdeuxde mmenor me. quelesvect eurs iet jsoientforcŽmentd emmenorme. iet jsoientnoncolinŽa ires. ainsiquedeuxv ecteursnonc olinŽaires(ici iet i, j). OM=x i+y j ¥PardŽÞn ition,lescoordonnŽesdÕunvecte ur i; j)sontcellesde lÕuniquepointMdupl antelque OM= w.

2.4.2DŽcompos itiondÕunvecteur

ConsidŽrons

uet vdeuxvect eursnon-colinŽairesduplan.E tantdonnŽ,unvecteur wdupl an, iles ttoujour spossiblededŽcomposercelui-c isuivantlesvecteurs uet v.PlusprŽcisŽment,nous uet vdeuxvecteu rsnoncolinŽairesduplan.Pourtoutve cteur wduplan , ile xisteununiquecouple derŽels (a;b)$R 2 telsque w=a u+b v OU= u(respec- tivement OV= v).Si milairement,dŽsignonsparMlÕuniquepointduplan telque OM= w. lepo intMcoupeladroit e(OV)enunpointy.Autrementdit,MapourcoordonnŽes(x,y) i, j).

Depl us,OxMyestunpa rallŽlo grammedonc

OM= Ox+ Oy.

2.5.BIL ANDUCHAPITRE21

Enout re,lesvecteurs

uet

OxsontcolinŽ aires:ilexistedonca$Rtelque

Ox=a u.De vet

Oy,ilexisteb$Rtelque

Oy=b v.Par OM=a u+b v

2.(U nicitŽdeladŽcomposition).Rai sonnons parlÕabs urdeensu pposantquÕilexistedeuxdŽ-

compositions(a;b)et(a ,b )duvecteur wpouraboutir ˆunecontradiction .Au trementdi t, noussuppos onsquelesdeuxŽgalitŽs suivant essontsat isfaitespourd escouples(a;b)$R 2 et (a ,b )$R 2 w=a u+b vet w=a u+b v Cesiden titŽsnouspermettentdÕobten iralorsquea u!a u=b v!b v.DÕo, (a!a u=(b !b) v.

Sia#=a

nousendŽdui sonsalo rsque u= b "b a"a v.Autrementdit, uestcolin Žaireˆ v.Ceci .Similairement,nousobtenonsŽgalement b=b parlem merai sonnement.

2.4.3Appli cation

SoitAGFuntr ianglenonaplati.

1.Plac erlespointsBetCtelsque

AB=2 AG+ AFet GC= 1 3 GF.

2.DŽ montrerquelespointsA,BetCsontalignŽ senutiliserlecalculve ctorie l,puisenchoisis-

2.5Bil anduchapitre

Voicilessavo irsfaireˆ acquŽrirdanscechapit re: ¥ManipulerlesopŽrat ionsŽlŽmen tairesducalculsvectoriels(m ilieu,relationdeChas les,...) ¥MaitriserlanotiondecolinŽari tŽets escaractŽristiq ues.

22CHAPITRE2.VECTEURS

2.6Pour ensavoirpl us

2.6.1Quelq uesremarquessurlagŽomŽtrie noneuclidienne

AudŽ butdecechapitre nousa vonsan noncerquenousallionsŽtudierlagŽomŽtri eeucli dienne

dÕunpoin tdevuvectoriel. Cet ŽnoncŽso us-entendquÕilexisteraitdesgŽomŽtrie snoneuc lidienne.

Quepour raient-ellestresetquellesseraientlesdi!Žrencesav eclagŽomŽtr ieenseig nerdans lÕenseignementprimaireetsecondaire? Pourmieuxc omprendrececii lestutilederevenirauxElŽmentsdÕEuclide.DanssontraitŽ,

Euclideconstruittoutel agŽomŽtriequenousconnaisson s(propriŽtŽsdestrianglesŽquilat Žraux,

etc,...)ˆlÕaidederai son nementslogico-dŽductif ˆparti rdÕunelistedecinqaxiomes.Parexemple:

Çunse gmentdedroitepeuttretrac Ženjo ignantdeuxpointsq uelconquesdistinctsÈdontlavŽra citŽ

sembletellement ŽvidentˆnosyeuxquÕilnepara itpasdŽraisonnabledesupposerunete lleasser tion

celui-cisՎnoncecomme suit cÕestunehon tepourlesm athŽmatiquesÈ.Il falluencoreunp eude tempsa uxmathŽmaticien s pourdŽcou vrircesnouvellesgŽomŽtries . depar lerdepluscourtchemin :si nousdess inonsdeuxpointsAetBsurunef euille,il snous semblentŽvidentquelepl uscourtcheminpourall erdelÕunˆ lÕautreestlalignedr oite.Quese

produirait-ilsinousplacionssespoints ˆlasurf acedela Terre,lÕunˆ TokyoetlÕautr eˆLi lle

parexe mple?DŽj),ilsembleunpeupl usdŽlicatdeparlerde lignedroiteˆ lasurfacedelaTerr e. .. LaTer renousfourni tunpremierexemp lesurlequelilestpossibledefaired elagŽo mŽtrienon

euclidienne,ilsÕagitdelagŽom Žtriesp hŽrique.Ene!et,celle-ciproposed esdi!Žrencesnotoi reavec

surunball on!Iles tmmepossiblededessi ner surcemme ballonuntr ianglepo ssŽdanttrois tandisquenotrefeu illededes sinesttoutepl ate.

Iles tŽgalemen tpossibledeparlerdecourbur enŽgativeenfaisantdelagŽomŽt riehype rbolique .

AtitredÕexemple,ilestfacilededŽcrirecelle-ci:ilsu"tdepr endrelÕintŽrie urdÕunboletdÕimagi-

nerquedes petits tresv iventˆlÕintŽrieur. Dufaitdesacourbure,ilestbe aucoupplus di"cileet

pluslong ,poureux,desedŽpl acerversl eborddece bol tandisquÕilestplusaisŽdesepromener verslecent redece mmebol.Ainsi,lep luscou rtchem inentredeuxpointsdecebolnecorres-

pondraitpasˆdeslignes droitesma isp lut™tˆde sarcsdecerclesoles indivi duscher cheraientˆ

sera pprocher,dansunpremiertemps,ducen treavantdesÕ Žloignerˆnouveauv ersl eurdestination.

2.6.POUR ENSAVOIRPLU S23

Bienenten du,cesgŽomŽtriessontplus complexes ˆenseignerquecelledÕEuclidemaiselles

nÕensontpa smoinspassionnan tes.Vo iciquelquesgr andsmathŽmaticiensquiontcontribuŽˆfair e

Lobatchevskien1829,Riemannen1867ou encor ePoincarŽen1902. CesgŽom ŽtriespeuventsemblerunpeuŽtra nges,voirabstraitesetnՐtr equede sjeuxauxquels

seprt entlesmathŽmaticiens .IlnÕenest rien!AtitredÕexemple,lagŽomŽtr iesphŽr iquepeut-tre

utiliserenaviation(pe nsezauv olTokyo-Lille),maisleplusf rappantestpeut-trela dŽcouvertede posentsurdelagŽ omŽtrieno neucli dienn e.

2.6.2Curiosi tŽengrandedimension

IlnÕ estpasvraimentp ossiblep ourlՐtrehumaindesereprŽ senterunobjetenq uatred imension (ouplu s).Ilestcependan tpossi bledecon ceptualisercequidoitseproduire.Imaginonsquenous surplombionsunmondevivantdansunef euille enpapier,unmondeendeu xdimen sion.Sinous prenionsuncubedenotreuni ver s,leshabit ant sdecemondenepourraientlÕapercevoirquÕau ceci,lesh abitan tsobserveraientunetrancheducub eetseraientfaceˆunc arrŽ.IlnÕest donc pas di"ciledegŽnŽr aliserce procŽdŽensedisantquesidestr esnousobservaientdepuisunmonde enqu atredimensionetsÕamu saientˆvouloirnousmontrer uncubedeleur univers (enquatre dimensions)nousneverrionsquÕunetra nchedece lui- cietferionsfaceˆuncuben ormal. Bienquenotr eintui tionsoitunpeug nŽepardesespacesdedimensionsupŽrieursˆt rois,ces dŽcrirelemouvementdÕ unoisea unousavonsbesoindeconna"tresapo sitiond anslÕespace.En revanche,ilestpossibleq uenousa yonsŽgalemen tbesoindeconnaitreladurŽedesonmouvem ent,

lap ressionatmosphŽrique,lat empŽrature,etc...laconsidŽrationdececiforceˆin tro duireplusde

LÕundesint Žrtsmaj eurdescoordonnŽescartŽsien nesestquenous pouvons Žtudierdes chosesquidŽpass enotreima gination.Ene!et,pou rajouterunedim ensionilsu"tdÕajouterune coordonnŽeˆnotrevecteur.Ildev ient doncpossiblede fairedescalculssurdeschosesquenous nepo uvonsvisualiser.Ce lavaparfoisˆlÕencontredenotreintuition.Voyonsceciaut raversdÕun exemple. DŽbutonsdansleplanetc onsidŽronsun carrŽ dec™tŽ4dontl ecentreestplacŽen( 0,0). Plaonsdesdisqu esderayon1d ansleszonessuivantes:un premierdisque centrŽaupoint(1;1), placerundernierdisque en( 0;0)puisdelÕagrandi rjusquՈcequ Õiltouchelesquat redisquesque nousavons disposer.dansle carrŽauprŽalable.

24CHAPITRE2.VECTEURS

placŽeen(0;0;0do ntlera yonestplusgrandpossi ble(avecpourcondi tionquecettenouvelle boulenepuisse empiŽt ersurlesautres). nouspouvo nsimaginerunhyperc ubedec™tŽ4(quenousnoterions[!2;2] d )endimensiondet auce ntreaveclesmme srestrictionsqu Õauparavant. d calculs.Nousavonsvu queladistance dÕunpointM=(x 1 ;x 2 )ˆlÕoriginevalait d(O,M)= x 2 1 +x 2 2 Endi mensiond,ilsÕagitdelammeformule.CÕest-ˆ-dire,siMapourcoordonnŽes(x 1 ;x 2 ;...,x d

(ilnÕes tplusvraimentpo ssibledepar lerdÕabscissesoudÕordonnŽes,nousnumŽrotonsdoncl es

coordonnŽespardesnombresx 1 ,...,x d )nousavonslaformulesuivante: d(O,M)= x 2 1 +x 2 2 +...+x 2 d lafo rme(±1;...;±1doncd(O,M)= quelepl usgran drayonpossib lepourlaboulec entralevaut d!1.Enc onsŽ quence,laboule centraledŽbordeducubes i d!1>2'(d>9

cequ inՎtaitpa sdutoutintuitif.E nfait,iles tmmepo ssibledeprŽ cis ercerŽsultat.IlsÕagitdÕ un

domainedesmathŽmati quesquis Õappellelaco ncentrationdelamesure.LÕundesrŽsultatsdecette vite(expon entiellementvite)dezŽrolorsqueladimensiondevientdeplusenplusgrande.

2.6.3Distan ce

Ladi stancequenousvenonsdevo irsÕappel leladistanceeu clidienne.IlexistedÕaut refao n

deme surerladistanceentrede uxpoin ts,lÕunedÕellesÕappelleladist ancede ÇManhattanÈ(en

plupartdesville samŽri cainessontconstruite ssurlaformedÕunquadrillage.Ainsi,pourrejoindre unpo intAˆunpointBdela ville ,noussommesforcŽsdesui vreceq uadrillageetdÕarpenterles

c™tŽsdescarrŽs decequa drillage.Ain si,lad ist ancecalculŽecorr espondˆcellequieste!ectivement

parcouruˆpiedplut™tquec ell eobtenueLjv oldÕoiseauÈ.

Formellement,siA(x

A ;y A )etB(x B ;y B ),al ors AB=|x A !x Bquotesdbs_dbs21.pdfusesText_27