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Predicats de triangles [ge02] - Exercice resolu

Karine Zampieri, Stephane Riviere

UniscielalgoprogVersion 22 mai 2018

Table des matieres

1

Enonce2

2 Algorithmique, Programmation

3

2.1 Predicat triangle

3

2.2 Les predicats

4

2.3 Nature de triangle

8

3 Que retenir de cet exercice?

13

4 References generales

1 3 Python - Predicats de triangles (Solution)Mots-ClesGeometrie, Predicats RequisStructures de base, Structures conditionnelles, Algorithmes parametres

Diculte• ◦ ◦Objectif

Cet exercice travaille uniquement avec des fonctions booleennes, aussi nommeespredicats. Les valeurs de verite qu'elles renvoient sont utilisees par un algorithme de caracterisation de familles de triangles. 1 Unisciel algoprog { Predicats de triangles [ge02]2 1

Enonce

Le triangle est une forme geometrique dont on a demontre une quantite incroyable de proprietes.En voici quelques-unes : •Les c^otesa,b,cforment un triangle si la longueur du plus grand c^ote est inferieure a la somme des longueurs des deux autres c^otes. •La loi du cosinus : cos(A) =b2+c2-a22bc •Un triangle est rectangle si le carre de l'hypotenuse (le c^ote le plus long) est egal a la somme des carres des deux autres c^otes. •Un triangle est equilateral si ses trois c^otes sont egaux. •Un triangle est isocele s'il possede deux et uniquement deux c^otes egaux. •Un triangle est scalene si les trois cotes sont de longueurs dierentes.Objectif Ecrire des fonctions puis les utiliser an de caracteriser la nature d'un triangle a partir des longueurs des trois c^otes. De plus, dans le cas de triangles isocele et scalene, preciser s'ils sont rectangles ou s'il possedent un angle obtus (superieur a 90) ou seulement des angles aigus. ...(suite page suivante)... Unisciel algoprog { Predicats de triangles [ge02]3

2 Algorithmique, Programmation

2.1 Predicat triangle

Il n'est pas toujours possible de prendre trois segments de longueur quelconque et de construire un triangle ayant ces segments pour c^otes. Par exemple, le triplet (1,2,5) ne correspond pas a un triangle.Propriete Pour construire un triangle dont les c^otes ont pour longueur trois reels donnes, il faut et il sut que le plus grand soit inferieur ou egal a la somme des deux autres :Inegalite triangulaire.Pre-conditions Pour simplier l'ecriture des fonctions, les valeurs des trois parametres doivent ^etre stric- tement positiveset donnees dans un ordre non decroissant, c.-a-d. que siv1,v2,v3 laspecicationde la fonction, elle n'a pas a ^etre veriee par la fonction. Ecrivez leprold'une fonctiontrtriangle(a,b,c)qui renvoieVraisi le triplet de reels a b c )peuvent representer les longueurs des trois c^otes d'un triangle,Fauxsinon.Analyse Denir son corps revient a formaliser la propriete d'inegalite triangulairepour le plus grand des trois reels passes en parametres. D'apres la contrainte d'ordre imposee par l'enonce, le plus grand des trois nombres est la valeur du troisieme parametre. La pro- Ecrivez le corps de la fonction.Validez votre fonction avec la solution. Solution Python@[pgtrpredicats.py]deftrtriangle(a,b ,c ):"""Pr édicatde triangle param a longueur de segment param b longueur de segment param c longueur de segment return Vrai si (0 a b c peuvent constituer les longueurs des cot s d un triangle return(c<= a + b ) Unisciel algoprog { Predicats de triangles [ge02]4 Ecrivez une proceduretest_trianglequi teste cette fonction avec les series de valeurs suivantes :

Validez votre procedure avec la solution.

Solution Python@[pgtrpredicats.py]deftest_triangle():"""@test """ trtriangle (1.0, 2.1, 2.5) trtriangle (0.6, 0.9, 1.8) trtriangle (0.8, 1.7, 2.5)

2.2 Les predicats

Ce probleme denit les fonctions booleennes qui prennent en parametres trois reels, re- presentant les longueurs de segments d'un triangle, et qui renvoientVraiouFauxselon qu'ils denissent ou non un triangle ayant la propriete designee par le nom de la fonction : trplat,trequilateral,trrectangleoutrisocele. Elles prennent toutes trois valeurs suppo- seesstrictement positives donnees dans un ordre non decroissant. Rappel : Les contraintes imposees aux valeurs passees aux parametres n'ont pas a ^etre veriees par les fonctions.Propriete Les trois valeurs denissent untriangle platsi et seulement si la plus grande est egale a la somme des deux autres.L'egalite de deux reels se fera a epsilon pres.

Denissez la constanteEPSILON=1e-8.Denition

Deux reelsxetysontegaux a epsilon pressix-y < ε. Ecrivez une fonctionegalite(x,y)qui teste et renvoieVraisi des reelsxetysont egaux a

EPSILONpres,Fauxsinon.

Unisciel algoprog { Predicats de triangles [ge02]5Outil Python

La fonction valeur absolueabs(x)est denie dans la bibliothequemath.Validez votre fonction avec la solution.

Solution Python@[pgtrpredicats.py]EPSILON= 1 e-8

Pr cision defegalite(x,y ):"""Pr édicatd "égalitéde deux r éels param x un r el param y un r el return Vrai si x et y sont gaux

EPSILON

pr s Faux sinon return(abs(x- y ) Solution Python@[pgtrpredicats.py]deftrequilateral(a,b ,c ):"""Pr édicatde triangle é quilateral

param a longueur de segment param b longueur de segment param c longueur de segment return Vrai si (0 a b c constituent un triangle quilateral returnegalite(a,c )Propriete Les trois valeurs denissent untriangle rectanglesi et seulement si le carre de la plus grande (qui correspondra a l'hypotenuse) est egal a la somme des carres des deux autres. Ecrivez une fonctiontrrectangle(a,b,c)qui teste et renvoieVraisi le triplet de reels(a,b,c) (avec0un ordre non decroissant puis ache le resultat des fonctions.Testez avec les series de valeurs suivantes :

Unisciel algoprog { Predicats de triangles [ge02]8(a,b,c)platequilateralisocelerectangle (3,7,10)VraiFFF (5,5,10)VraiFVraiF (6,6,6)FVraiVraiF (3,3,5)FFVraiF (3,5,5)FFVraiF (3,4,5)FFFVrai (1,1,⎷2)FFVraiVrai (4,5,6)FFFF

Validez votre procedure avec la solution.

Solution Python@[pgtrpredicats.py]deftest_predicats():"""@test """ print("Troisreels strictement positifs dans un ordre non decroissant ?" ,sep ="",end="") c1

= float(input())c2= float(input())c3= float(input())print(trplat(c1,c2 ,c3 ))print(trequilateral(c1,c2 ,c3 ))print(trisocele(c1,c2 ,c3 ))print(trrectangle(c1,c2 ,c3 ))

2.3 Nature de triangle

Ce probleme denit une fonction qui renvoie une cha^ne indiquant la nature d'un triangle a partir de trois valeurs strictement positives donnees par l'utilisateur dans un ordre non decroissant. Si l'utilisateur ne respecte pas les contraintes sur les valeurs, elle renvoie le message. Si les valeurs sont fournies correctement, elle renvoieune seuledes propositions suivantes en respectant les regles de priorite precisees : •lorsque la plus grande valeur est strictement superieure a la somme des deux autres. •lorsque la longueur du plus grand c^ote est egale a la somme des deux autres. •lorsque les trois c^otes ont la m^eme longueur. •lorsque seuls deux des trois c^otes ont la m^eme longueur. •lorsque le carre du c^ote le plus long est egal a la somme des carres des deux autres c^otes. •lorsque le triangle est a la fois rectangle et isocele. •dans tous les autres cas. Unisciel algoprog { Predicats de triangles [ge02]9Propriete

Les troisregles de prioritesont :

•Un triangleplatayant deux c^otes egaux sera qualie deplatet non d'isocele. •Un triangleequilateralne sera pas qualie d'isocele. •Un triangleisocele rectanglene sera pas qualie d'isoceleni derectangle.Exemple : Exemples •(2,3,10) ache. •(5,5,10) achem^eme s'il a deux c^otes egaux. •(3,4,5) ache. •(3.6,6.2,6.2) ache.Analyse Commencons par examiner les trois triplets qui correspondent a des triangles ayant deux proprietes. Le seul qui soit explicitement prevu par l'enonce est le triangle isocele rectangle. Un triangle equilateral est aussi isocele sans qu'il soit necessaire de le preciser mais sa propriete equilaterale est predominante. Il en est de m^eme d'un triangle plat dont la propriete d'^etre isocele ne presente aucun inter^et puisqu'il s'agit d'un triangle degenere. Les variables necessaires sont les trois variables reelles pour les trois valeurs entrees par l'utilisateur. Nous ajoutons une variablemessagede typechaînepour memoriser la reponse. L'enonce demande de ltrer les mauvaises reponses, c.-a-d. de refuser de traiter des entrees des que l'une n'est pas positive ou qu'elles ne sont pas donnees dans un ordre non est fausse, c.-a-d. si sa negationnonest vraie. La fonction doit organiser les appels de fonctions en commencant par eliminer le cas ou les parametres ne denissent par un triangle. Ensuite l'organisation des appels peut suivre l'arbre de decision suivant qui s'appuie sur l'enonce : Unisciel algoprog { Predicats de triangles [ge02]10 Ecrivez une fonctiontrnature(a,b,c)qui calcule et renvoie le message (unechaîne) de la nature d'un triplet de reels strictement positifs(a,b,c)(donnes en ordre non decroissant)

qui peuvent constituer les longueurs des c^otes d'un triangle.Validez votre fonction avec la solution.

Solution Python : Si en sequence@[pgtrpredicats.py]deftrnature1(a,b ,c ):"""Nature d "untriangle param a longueur de segment param b longueur de segment param c longueur de segment returnquotesdbs_dbs47.pdfusesText_47