[PDF] Dérivabilité et convexité - Fontaine Maths PDF ECT1-Cours_Chapitre_8_Version

rive donc comme un produit (uv)′ = Un polynôme du second degré est du signe de f est convexe sur I, si et seulement si, sa courbe est située entièrement

Cours de mathématiques ECT 1ère rive donc comme un produit (uv)′ = u′v +uv′, Un polynôme du second degré est du signe de a flexion de la courbe Cf (La fonction f est concave sur ]−∞; 3] et convexe sur [3;+∞[) -100 -200

[PDF] Dérivabilité et convexité - Fontaine Maths

rive donc comme un produit (uv)′ = Un polynôme du second degré est du signe de f est convexe sur I, si et seulement si, sa courbe est située entièrement

[PDF] Fonctionnelles convexes - Numdam

Numérisation de documents anciens mathématiques http://www numdam org/ est le dual), toute fEr 0 ~~) est égale à la régularisée s c i (pour la topologie de la strictement le point txl g ri) de l'ensemble F A défaut d'un tel hyperplan,

[PDF] Applications de la dérivée de fonctions algébriques

La courbe est concave vers le bas (convexe) sur cette région du y: le second nombre largeur à une centrale électrique située sur la rive opposée, à 3000 m

[PDF] OPTIMISATION

Théor`eme de séparation des ensembles convexes (Lemme de Farkas, Séparation, Théor`eme sur l'alternative en second lieu, les conditions d' optimalité sont `a la base de la majorité d'algorithmes Le plan de notre recherche est typique pour des mathématiques rive” le taux annoncé de convergence, c -`a-d , ce

[PDF] M11 Mathématiques

6 sept 2017 · Notations Ensembles usuels en mathématiques On désigne espion étaient en fait un agent double, connaître P(i) seul ne sert à rien Un terrain rectangulaire d'aire A se trouve le long de la rive 4 convexité, concavité

[PDF] lAnnales de mathématiques - Présentation du site - Free

[AB] représente un côté du pentagone convexe et on va reporter la lon- gueur AB 3 fois Connaître les doubles et moitiés de nombres d'usage cou- rant mètres d'écart le long de la rive et choisit de viser un point sur l'autre rive Il trace sur

[PDF] Remise à niveau en analyse Master Mathématiques pour les

Soit H un espace de Hilbert et C une partie convexe, fermée et non vide de H ronce qui s'engraisse et pourrit à l'aise sur la rive du Léthé, si tu n'étais pas

[PDF] CORRIG´ES DES EXERCICES - Pearson France

2014 Pearson France - 9782326000322 - Mathématiques pour l'économie - Tous (a) a2 + 4ab + 4b2 = (a + 2b)2 par l'identité du second degré Le graphique de la fonction du deuxi`eme degré g est une parabole convexe, aussi p > 0 Si y est le côté parall`ele `a la rive et x l'autre côté, 2x + y = 1000, de sorte que

[PDF] Maths: les équations

[PDF] Maths: les équations

[PDF] MATHS: petit exercice où il faut bien citer les propriétées (rectangle,

[PDF] Maths: Racine Carré

[PDF] Maths: Résolution graphique d'inéquations 2nde

[PDF] Maths: statistiques et probabilités

[PDF] maths: tache complexe

[PDF] Maths: Vrai/ Faux

[PDF] Maths: x est un nombre entier relatif compris entre -3 et +3 inclus

[PDF] Maths:Devoir Maison

[PDF] Maths:Devoir Maison :Vitesse moyenne

[PDF] Maths:Devoir Maison:Développements

[PDF] Maths:Le toboggan: théorème de pythagore

[PDF] maths:Une relation efficace(fonction)

[PDF] mathsenligne correction

Cours de mathématiquesECT 1ère annéeChapitre 8Dérivabilité et convexité

Adrien Fontaine

Année scolaire 2018-2019

Cours de mathématiquesECT1

1.DÉRIVÉE EN UN POINT

1.1.Nombre dérivé

Définition 1 : Nombre dérivé

Soitfune fonction définie sur intervalle ouvert I et soitx0?I. La fonctionfest ditedérivable en

0si le taux d"accroissementf(x)-f(x0)

x-x0admet une limite finie quandxtend versx0. Cette limite est alors appeléenombre dérivédefenx0et est notéef?(x0) : f ?(x0)=limx→x0f(x)-f(x0) x-x0.

Exemple :

1.La fonctionfdéfinie surRparf(x)=x2est dérivable en 1 :

f(x)-f(1) x-1=x2-12x-1=(x-1)(x+1)x-1=x+1-→x→12 etf?(1)=2

2.Plus généralement,la fonctionfest dérivable en toutx0?R:

f(x)-f(x0)

3.La fonctionfdéfinie surR?parf(x)=1xest dérivable en toutx0?R?:

1 x-1x0 x-x0=x 0-x xx0

Remarque :

En posanth=x-x0, et sous réserve d"existence, on a également : f ?(x0)=limh→0f(x0+h)-f(x0) h. du paragraphe 2. 2

Cours de mathématiquesECT1

1.2.Interprétation géométrique

Soitfune fonction définie sur un intervalle I, et soitx0?I. Notons M0le point de coordon- nées (x0,f(x0), et M le point de coordonnées (x,f(x)) pourx?I. Le taux d"accroissement f(x)-f(x0) x-x0correspond au coefficient directeur de la droite (MM0). Ainsi : Sifest dérivable enx0, alors ce coefficient directeur tend versf?(x0) lorsquextend versx0.

Par ailleurs, la droite (M

0M) tend vers une po-

sition limite qui est la tangente à la courbe re- présentative defau pointx0. Le nombre dérivé f ?(x0) est alors le coefficient directeur de la tan- gente à la courbefau point M0. M0 M1 M2 M3 Si la limite du taux d"accroissement est infi- nie, alors la courbe représentative defpossède enx0une tangenteverticale d"équationx=x0. 0 M0

On résume cela dans la propositionsuivante :

Proposition 1 :

Soitfune fonction définie sur un intervalle ouvert I et soitx0?I. Sifest dérivable enx0, alorsf?(x0) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentativeCfdefau point d"abscissex0. L"équation de cette tangente est : y=f(x0)+f?(x0)(x-x0).

Si limx→x0f(x)-f(x0)

x-x0= ±∞, alorsfn"est pas dérivable enx0et la courbeCfadmet une tan- gente verticale au point d"abscissex0.

Exemple :

Puisque la fonctionfdéfinie surRparf(x)=x2est dérivable enx0=1 de dérivée f ?(1)=2, la courbe représentative defadmet au point M0de coordonnées (1;1) une tangente, d"équation y=2(x-1)+1=2x-1. Au contraire, la fonction définie surRparf(x)=?|x|n"est pas dérivable en 0 et la courbe représentativedefadmet une tangente verticaleau point (0;0). 3

Cours de mathématiquesECT1

1.3.Approximation affine

enaetCfsa courbe représentative.Au voisinagedea, la tangente enaressemble beaucoup à la courbeCf, on dit que la tangente est uneapproximation affinede la courbeCfau voisinage du point d"abscissea. 0xy af(a)A

Théorème 1 :

Soitfune fonction définie sur un intervalle ouvert I et soita?I. On suppose quefest dérivable ena. Alors, pourhproche de 0, on a : f(a+h)?f(a)+hf?(a)

Exemple :Calculer?

1,02.Soitf(x)=?xetx0=1.fest dérivable en 1 etf?(1)=12. Donc :

1,02=f(1,02)?1+12(1,02-1)=1,01.

Avec une calculatrice, on obtient

1,02=1,0995.

-11234567 1 2 3 4 5 0 f(x)=?x y=1+12(x-1) A

Corollaire 1 :

Soitfune fonction définie sur un intervalle ouvert I et soitx0?I. Sifest dérivable enx0, alorsf

est continue enx0. Remarque :Une fonction peut être continue en un point sans être dérivable en ce point. Par exemple, la courbe ci-contre admet des demi-tangentesà gauches et à droite ena, mais pas de tangente ena. 0xy af(a)A 4

Cours de mathématiquesECT1

1.4.Nombre dérivé à droite et à gauche

Définition 2 :

Soitfune fonction définie sur un intervalle ouvert I et soitx0?I. La fonctionfest ditedérivable

àdroiteenx0si le taux d"accroissementf(x)-f(x0) x-x0admet une limite finie quandxtend versx+0. Dans ce cas, cette limite est appeléenombre dérivé à droitedefenx0, et est notéef? d(x0) : f d(x0)=lim x→x+

0f(x)-f(x0)

x-x0. De même,fest ditedérivable à gaucheenx0si le taux d"accroissementf(x)-f(x0) x-x0admet une

limite finie quandxtend versx-0. Dans ce cas, cette limite est appeléenombre dérivé à gauchede

fenx0, et est notéef?g(x0) : f ?g(x0)=limx→x-

0f(x)-f(x0)

x-x0.

Proposition 2 :

Soitfune fonction définie sur un intervalle ouvert I et soitx0?I. Alors, la fonctionfest dérivable

enx0, si et seulement si,fest dérivable à droite et à gauche enx0ETf? d(x0)=f?g(x0). Dans ce cas, on af?(x0)=f? d(x0)=f?g(x0). La fonctionfdont la courbe est donnée ci-contre, est dérivableà gaucheet àdroiteenx0, maispas enx0, car f ?g(x0)?=f? d(x0). 0x0

2.FONCTION DÉRIVÉE

Définition 3 :

Soitfune fonction définie sur un intervalle ouvert I. On dit quefestdérivable surI, sifest dérivable en tout pointx?I. La fonctionf?: I→R x?→f?(x)est appelée lafonction dérivéede la fonctionf.

Exemple :

La fonction carrée est dérivable surR.

La fonction inverse est dérivable surR?.

La fonction ln est dérivable sur ]0;+∞[. 5

Cours de mathématiquesECT1

2.1.Dérivée desfonctions usuelles

Le tableau suivant indique les dérivées des fonctions usuelles : fdéfinie sur ...f(x)f?(x)fdérivable sur ... Rk0R Rx1R

Rxnnxn-1Rpournentier

n?2 R?1 x-1x2R? R?1 xn-nxn+1

R?pournentier

n?1 [0;+∞[?x1

2?x]0;+∞[

2.2.Opérations sur les fonctions dérivables

uetvsont deux fonctions dérivables sur un intervalle I :

OpérationDérivée

Somme(u+v)?=u?+v?

Multiplication par une constante k(ku)?=k×u?

Produit(uv)?=u?v+uv?

Quotient

?u v? ?=u?v-uv?v2

Composition(v◦u)?=u?×v?◦u

Remarque :La formule de dérivation de la composition de deux fonctionspermet de déter- miner de nombreuses formules de dérivations :

FonctionDérivée

unpourn>0(un)?=nu?un-1 ?u??u??=u?2?u 1 u ?1 u? =-u?u2 6

Cours de mathématiquesECT1

Exemple :Calculer les dérivées des fonctions suivantes :

f(x)=2x2-x+5

fest un polynôme et sa dérivée se calcule tout simplement : f ?(x)=4x-1

g(x)=(x+3)?x

gest de la formeuvavecu(x)=x+3 etv(x)=? x. Donc,g?=u?v+uv?. De plus, u ?(x)=1 etv?(x)=1 2?x Donc, g ?(x)=1×? x+(x+3)×12?x x+x+32?x 2x

2?x+x+32?x

3x+3 2?x

h(x)=2x-5x2+3

hest de la formeuvavecu(x)=2x-5 etv(x)=x2+3. Donc,h?=u?v-uv? v2.

De plus,

u ?(x)=2 etv?(x)=2x Donc, h ?(x)=2(x2+3)-2x(2x-5) (x2+3)2

2x2+6-4x2+10x

(x2+3)2 -2x2+10x+6 (x2+3)2

i(x)=x?x-x

La fonctioniest lasomme de la fonc-

tionx? xqui est un produituvavec u(x)=xetv(x)=? x, et qui se dé- rive donc comme un produit (uv)?= u ?v+uv?, et de la fonction-xdont la dérivée vaut-1. On a : u ?(x)=1 etv?(x)=1 2?x

Dès lors,

i ?(x)=1×? x+x×12?x-1 2x

2?x+x2?x-2?

x 2?x 3x-2? x 2?x

j(x)=?x2+1

jest de la forme?uavecu(x)=x2+

1, doncj?=u?

2?u. De plus,u?(x)=2x.

Donc, j ?(x)=2x

2?x2+1=x2?x2+1

k(x)=12x2+3

kest delaforme1uavecu(x)=2x2+3 donck?=-u? u2. De plus,u?(x)=4x. Donc, k ?(x)=-4x (x2+3)2

Proposition 3 :

Une fonction polynomiale est dérivable surR. Une fraction rationnelle est dérivable sur son ensemble de définition. 7

Cours de mathématiquesECT1

2.3.Dérivées successives

Exemple :Soitfla fonction définie surRparf(x)=x3-3x2+5x+1.

La fonctionfest dérivable et

?x?Rf?(x)=3x2-6x+5.

La fonctionf?est dérivable et?x?Rf??(x)=6x-6.

La fonctionf??est dérivable et?x?Rf???(x)=f(3)(x)=6.

Définition 4 :

Soitfune fonction définie sur un intervalle I.

On dit quefestdeux fois dérivablesifetf?sont dérivables. Dans ce cas, on notef??ou f (2)la dérivée def?. f (p)est dérivable. On note alorsf(n)=?f(n-1)??. Remarque :Attention! La notationf(p)n"a rien à voir avec la notionde puissance! Exemple :Soitfla fonction définie surR\{1} parf(x)=1 x-1. Alors, pour toutx?R\{1} :

On peut alors montrer par récurrence que :

(1-x)n+1=n!(1-x)n+1.

3.APPLICATIONS À L"ÉTUDE DES VARIATIONS D"UNE FONCTION

3.1.Monotonie et signe de la dérivée

Théorème 2 :

Soitfune fonction définie et dérivable sur un intervalle I. Alors, fest constante sur I?? ?x?I,f?(x)=0. Remarque:Attention!Lerésultatestfaux siI n"estpasunintervalle.Ainsi,lafonctiondéfinie surR?parf(x)=-1 six<0 etf(x)=1 six>0,vérifief?(x)=0 pourtoutx?R?,maisfn"est pas constante. 8

Cours de mathématiquesECT1

Théorème 3 :

Soitfune fonction définie et dérivable sur un intervalle I. Alors : fest croissante (resp. décroissante) sur I, si et seulement si,f?(x)?0 (resp.f?(x)?0) pour toutx?I fest strictement croissante (resp. strictement décroissante) sur I, si et seulement si,f?est strictement positive (resp. strictement négative) sur Isauf éventuellement en un nombre fini de pointsoùf?s"annule. Exemple :On considère la fonctionfdéfinie surRparf(x)=x3. Alors,fest dérivable surRet pour toutx?R,f?(x)=3x2. Ainsi,f?(0)=0 et pour toutx?R?, f ?(x)>0. On peut donc appliquer le deuxième point du théorème précédent. Ainsi,fest strictement croissante surR. Méthode 1 : Étudier les variations d"une fonction (quand ce n"est pas une fonction classique) on justifie que la fonction est bien dérivable;

on calcule la dérivée de la fonction;

on détermine le signe de la dérivée avant de conclure; de la fonctionf.

30x+36. Il nous maintenant étudier le signe de ce polynôme de degré 2. Son discriminant

vaut doncΔ=(-30)2-4×6×36=36.L"équation 6x2-30x+36=0 admet donc deux racines qui sont : x

1=30-?

2×6=2 etx2=30+?

2×6=3.

Par ailleurs, le coefficient dominant est strictement positif. On en déduit le tableau de signe def?et le tableau de variation def: x f ?(x) f-∞23+∞ 0-0+ On prendra par ailleurs l"habitude de compléter les tableaux de variations par les limites de faux bornes de l"intervalles et par les valeurs defaux valeurs oùfchange de monotonie.

Ainsi, on a :

lim x→-∞f(x)=limx→-∞2x3=-∞et limx→+∞f(x)=limx→+∞2x3=+∞ et : f(2)=2×23-15×22+36×2+7=35 etf(3)=2×33-15×32+36×3+7=7

D"où le tableau de variations complété :

Cours de mathématiquesECT1

x f ?(x) f-∞23+∞ 0-0+ 3535
77

3.2.Extrema locaux

On rappelle qu"un extremum est un maximum ou un minimum.

Théorème 4 :

Soitfune fonction dérivable sur un intervalle ouvert I deRetx0un réel appartenantà I.

1.Sifadmet un extremum local enx0, alorsf?(x0)=0.

2.Si la dérivéef?s"annule enx0en changeant de signe, alorsfadmet un extremum local en

x 0. x ax0b f ?(x)-|0|+ f(x) minimumx ax0b f ?(x)+|0|- f(x)maximum

Exemple :Reprenons l"exemple de la fonc-

tion définie surRparf(x)=2x3-15x2+

36x+7.

On a déjà établie le tableau de signe

def?et le tableau de variation def: x f ?(x) f-∞23+∞ 0-0+ 3535
77

Ainsi,f?s"annule aux point 2 et 3 tout en

changeantdesigne.Donc,2et3 sontdesex- trema locaux def. D"après le tableau de va- riation, on peut même affirmer que 2 est un maximumlocaletque3estunminimumlo- cal. 230
f BC 10

Cours de mathématiquesECT1

3.3.Exemple : étude d"une fonction

Soitfla fonction définie surRparf(x)=1-4x-3x2+1.

1.Calculerf?(x).

SurRfest dérivable comme somme et

quotient de deux fonctions dérivables. f=1-u vd"oùf?=-u?v-uv?v2.

Avec pour tout réelx,

u(x)=4x-3 d"oùu?(x)=4 v(x)=x2+1 d"oùv?(x)=2x

Soit pour tout réelx,

f ?(x)=-4(x2+1)-2x(4x-3) (x2+1)2

4x2+4-8x2+6x

(x2+1)2

4x2-6x-4

(x2+1)2

Ainsi,f?est la fonction définie surRpar

f ?(x)=4x2-6x-4 (x2+1)2

2.Étudier les variations de la fonctionf

Les variations de la fonctionfse dé-

duisent du signe de sa dérivée. Étudions lesignedef?(x)=4x2-6x-4 (x2+1)2. Pourtout réelx, (x2+1)2>0.Par conséquent,f?(x) est du même signe que le polynôme du second degré 4x2-6x-4 aveca=4,b= -6 etc=-4. Le discriminantdu trinôme estΔ=(-6)2-4×4×(-4)=100. Comme

[PDF] [PDF] Dérivabilité et convexité - Fontaine Maths

Adrien Fontaine

Année scolaire 2018-2019

Cours de mathématiquesECT1

1.DÉRIVÉE EN UN POINT

1.1.Nombre dérivé

Définition 1 : Nombre dérivé

0si le taux d"accroissementf(x)-f(x0)

Exemple :

1.La fonctionfdéfinie surRparf(x)=x2est dérivable en 1 :

2.Plus généralement,la fonctionfest dérivable en toutx0?R:

3.La fonctionfdéfinie surR?parf(x)=1xest dérivable en toutx0?R?:

Remarque :

Cours de mathématiquesECT1

1.2.Interprétation géométrique

Par ailleurs, la droite (M

0M) tend vers une po-

On résume cela dans la propositionsuivante :

Proposition 1 :

Si limx→x0f(x)-f(x0)

Exemple :

Cours de mathématiquesECT1

1.3.Approximation affine

Théorème 1 :

Exemple :Calculer?

1,02.Soitf(x)=?xetx0=1.fest dérivable en 1 etf?(1)=12. Donc :

1,02=f(1,02)?1+12(1,02-1)=1,01.

Avec une calculatrice, on obtient

1,02=1,0995.

Corollaire 1 :

Cours de mathématiquesECT1

1.4.Nombre dérivé à droite et à gauche

Définition 2 :

0f(x)-f(x0)

0f(x)-f(x0)

Proposition 2 :

2.FONCTION DÉRIVÉE

Définition 3 :

Exemple :

La fonction carrée est dérivable surR.

La fonction inverse est dérivable surR?.

Cours de mathématiquesECT1

2.1.Dérivée desfonctions usuelles

Rxnnxn-1Rpournentier

R?pournentier

2?x]0;+∞[

2.2.Opérations sur les fonctions dérivables

OpérationDérivée

Somme(u+v)?=u?+v?

Multiplication par une constante k(ku)?=k×u?

Produit(uv)?=u?v+uv?

Quotient

Composition(v◦u)?=u?×v?◦u

FonctionDérivée

Cours de mathématiquesECT1

f(x)=2x2-x+5

g(x)=(x+3)?x

2?x+x+32?x

h(x)=2x-5x2+3

De plus,

2x2+6-4x2+10x

i(x)=x?x-x

La fonctioniest lasomme de la fonc-

Dès lors,

2?x+x2?x-2?

j(x)=?x2+1

1, doncj?=u?

2?u. De plus,u?(x)=2x.

2?x2+1=x2?x2+1

k(x)=12x2+3

Proposition 3 :

Cours de mathématiquesECT1

2.3.Dérivées successives

La fonctionfest dérivable et

La fonctionf?est dérivable et?x?Rf??(x)=6x-6.

Définition 4 :

Soitfune fonction définie sur un intervalle I.

On peut alors montrer par récurrence que :

3.APPLICATIONS À L"ÉTUDE DES VARIATIONS D"UNE FONCTION

3.1.Monotonie et signe de la dérivée

Si limx→x0f(x)-f(x0)

La fonction carrée est dérivable surR.

La fonction inverse est dérivable surR?.

f(x)=2x2-x+5

g(x)=(x+3)?x

h(x)=2x-5x2+3

i(x)=x?x-x

j(x)=?x2+1

k(x)=12x2+3

on calcule la dérivée de la fonction;