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Chapitre 12 : Matrices - résumé de cours

Dans tout le chapitre désigne ou , n et p deux entiers naturels non nuls.

1. L'ensemble Mn,p()

1.1 Définition et vocabulaire

Déf: On appelle matrice à n lignes et p colonnes, à coefficients dans , toute famille de indexée par = 1;n1;p. On note A = (ai,j)(i,j) et on représente A sous forme de tableau.

1,1 1,p

i,j n,1 n,p colonne j a a a ligne i a a

Proposition 12.1: Deux matrices sont égales ssi elles ont même taille et mêmes coefficients.

Notation: L'ensemble des matrices nxp à coefficients dans est noté Mn,p()

Vocabulaire:

La matrice nulle est la matrice dont tous les coefficients sont nuls, on la note 0n,p.

Si n = 1 A est une matrice ligne.

Si p = 1, A est une matrice colonne

Si n = p A est une matrice carrée d'ordre n.

On note Li(A) = (ai,1,...,ai,p) la ième ligne de A et Cj(A) = 1,j n,j a a la jème colonne de A.

1.2 Combinaisons linéaires de matrices

Def: Soit A = (ai,j)(i,j) et B = (bi,j) (i,j), deux matrices de Mn,p() et . On définit une loi interne d'addition en posant A+B = (ai,j+bi,j) (i,j) On définit une loi de produit externe en posant A = (ai,j) (i,j) Proposition 12.2: Soit A, BMn,p() et ,, on a les règles de calcul suivantes :

Propriétés de l'addition

(A+B)+C = A+(B+C)

A+0n,p = 0n,p+A

A+(-A) = (-A)+A = 0n,p où -A = (-ai,j) (i,j)

A+B = B+A

Propriétés de la multiplication par un

scalaire (A+B) = A + B et (+)A = A + B (A) = ()A

1lK.A = A

Remarque : On verra ultérieurement que l'ensemble Mn,p() muni des deux opérations précédentes est un lK-espace vectoriel. Notation: Soit i et j deux entiers naturels. Le symbole de Kronecker ij est un entier qui vaut 1 si i = j et 0 sinon PCSI2

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Def: On note Ei,j la matrice (k,i.l,j)(k,l).

C'est à dire la matrice dont tous les coefficients sont nuls sauf celui situé à la ligne i et à la

colonne j Proposition 12.3 : Soit AMn,p(), A s'écrit de manière unique comme combinaison linéaire des matrices (Ei,j)(i,j) : p pn n i,j i,j i,j i,j i 1 j 1 j 1 i 1

A a E a E

Remarques : On verra ultérieurement que ces matrices forment une base de Mn,p() appelée base canonique.

1.3 Produit de deux matrices

Def : Soit n, p, m * et A = (aij)Mn,p() et B = (bij)Mp,m(). On définit la matrice ABMn,m(lK) par AB = (ci,j) avec

Pour tout (i,j)1;n1;m, c,i,j =

p ik kj 1i 1 j i 2 2 j ip pj k 1 a b a b a b ... a b

1,1 1,j 1,m

k,1 k,j k,m p,1 p,j p,m

1,1 1,j 1,m1,1 1,k 1,p

i,1 ij i,mi,1 i,k i,p n,1 n,k n,pn,1 n,j n,m b b b b b b b b b c c ca a a c c ca a a a a ac c c Attention : Le produit matriciel a des propriétés différentes du produit de deux réels : Le produit AB n'est pas toujours défini : il existe à condition que le nombre de colonnes de A soit égal au nombre de lignes de B Ce n'est pas une loi interne excepté dans le cas particulier des matrices carrées. Le produit n'est pas commutatif, même dans le cas de deux matrices carrées. Il existe A et B non nulles telles que AB = 0 donc la règle du produit nul est fausse. Si AB = AC on ne peut pas en déduire que B = C. Proposition 12.4 : Soit A Mn,p(), B Mp,m(), X Mp,1() et Y M1,n() AX =

1,1, 1,2 1,p1

1,2, 2,2 2,p 2

pn,1 n,2 n,p a a ax a a a x xa a a

1,1 1 1,p p

2,1 1 2,p p

n,1 1 n,p p a x a x a x a x a x a x = x1C1(A) + x2C2(A) + ...+xpCp(A)

YA = y1L1(A) + y2L2(A) + ... + ynLn(A)

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j1,m, Cj(AB) = A.Cj(B) i1,n, Li(AB) = Li(A).B i1,n, j1,m, cij = Li(A).Cj(B) avec C = AB Application: Ecriture matricielle d'un système linéaire: Soit (S) un système de taille np et de matrice augmentée (A|B).

Si on note X =

1 2 p x x x , on a (S) AX = B et le système homogène associé est (H) AX = 0 Proposition 12.5: Propriétés du produit matriciel.

AMn,p(), BMp,q(), CMq,m(), A(BC) = (AB)C

AMn,p(), B,CMp,m(), A(B+C) = AB + AC

A,BMn,p(), CMp,m(), (A+B)C = AC + BC

lK, AMn,p(), BMp,m(), (AB) = (A)B = A(B)

AMn,p(), In.A = A.Ip = A où In =

1 0 0 0 1 0 0 0 1 = (i,j)1 n Cas particulier important: Multiplication à droite et à gauche par Ei,j. AMn,p(), Ei,jMp,m() , A.Ei,j est la matrice dont toutes les colonnes sont nulles sauf la jème colonne qui contient la ième colonne de A. AMp,m(), Ei,jMn,p , Ei,j.A est la matrice dont toutes les lignes sont nulles sauf la ième ligne qui contient la jème ligne de A. Lorsque le produit est bien défini, Ei,j.Ek,l = j,kEi,l

1.4 Transposition

Def: Soit AMn,p() avec A = (ai,j).

La transposée de A est la matrice de Mp,n() définie par tA = (aj,i) Dans la pratique: les lignes de A sont les colonnes de tA et inversement. Proposition 12.6: Propriétés de la transposition La transposition est linéaire c'est à dire, A,BMn,p(), ,, t(A+B) = tA + tB

AMn,p(), t(tA) = A

AMnp(), BMp,m(), t(AB) = tB tA

2. Les matrices carrées

2.1 Calculs dans Mn()

Def: Une matrice nxn est appelée matrice carrée d'ordre n.

L'ensemble de ces matrices est noté Mn().

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D'après le paragraphe précédent :

Toute matrice carrée s'écrit comme combinaison linéaire des matrices (Ei,j)1 Soit A et B deux matrices carrées d'ordre n, le produits matriciels AB existe et donne une matrice carrée d'ordre n. Le produit est donc une opération interne dans Mn(lK) En général on a AB BA. Lorsque AB = BA, on dit que A et B commutent

Pour toute matrice carrée A, AIn = InA = A

Def : On peut définir des puissances entières dans Mn() de la façon suivante :

AMn(), A0 = In et k, Ak+1 = Ak.A = A.Ak

Proposition 12.7 : Si A et B commutent dans Mn() alors on peut appliquer les formules du binôme et de Bernoulli. m, (A+B)m = m mk m k k m k k 0 k 0 m mA B B Ak k et Am - Bm = (A-B) m 1k m 1 k k 0 A B

2.2 Matrices carrées particulières

a) Matrices diagonales

Def: Soit AMn().

A = (ai,j) est diagonale ssi (ij ai,j = 0)

Si A est diagonale et si i1;n, aii = , A = In est dite scalaire.

Exemple: D = diag(d1,...dn)

Notation: Dn() est l'ensemble des matrices diagonales d'ordre n.

Proposition 12.8 :

Toute combinaison de matrice diagonales est une matrice diagonales diag(d1,...dn)diag(d'1,...,d'n) = diag(d1d'1,...,dnd'n) p, (diag(d1,...,dn))p = diag(d1p,...,dnp) b) Matrices triangulaires

Def: Soit AMn().

A = (ai,j) est triangulaire supérieure lorsque tous ses coefficients situés sous sa diagonale sont

nuls c'est à dire que (i > j ai,j = 0). A = (ai,j) est triangulaire inférieure lorsque tous ses coefficients situés au-dessus de sa diagonale sont nuls c'est à dire que (i < j ai,j = 0).

Exemple: T triangulaire supérieure.

Notations: On note Tn+() (resp Tn-()) l'ensemble des matrices triangulaires supérieures (resp. inférieures) de Mn(). PCSI2

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Proposition 12.9 :

Le produit de deux matrices triangulaires supérieures est triangulaire supérieure. Le produit de deux matrices triangulaires inférieures est triangulaire inférieure. Dans les deux cas la diagonale du produit est (t11t'11,...,tnnt'nn). c) Matrices symétriques et antisymétriques

Def: Soit AMn()

A est symétrique lorsque tA = A c'est à dire que i,j1;n, aj,i = ai,j A est antisymétrique lorsque tA = -A c'est à dire que i,j1;n, aj,i = - ai,j Remarque: Une matrice antisymétrique est nécessairement de diagonale nulle. Notation: On note Sn() l'ensembles des matrices symétriques et An() celui des matrices antisymétriques.

3. Matrices carrées inversibles

3.1 Le groupe linéaire GLn()

Def: Soit AMn(). A est inversible lorsque il existe BMn() tel que AB = BA = In. Dans ce cas, B est unique, est appelé inverse de A et noté A-1. Attention : 0n n'est pas inversible mais il existe des matrices non nulles non inversibles.

Exemples à connaître:

Une matrice diagonale est inversible ssi tous ses éléments diagonaux sont non nuls. Si D = diag(d1,...dn) avec i1;n di0 alors D-1 = diag(d1-1,...,dn-1).

In est inversible et In-1 = In.

Notation/vocabulaire: L'ensemble des matrices inversibles est noté GLn() et appelé groupe linéaire d'ordre n.

Remarque : Si une matrice A est inversible alors

AB = AC A-1(AB) = A-1(AC) (A-1A)B = (A-1A)C B=C On peut donc "simplifier par A" l'égalité AB = AC. Proposition 12.10: Compatibilité avec les opérations matricielles: Soit A, BGLn() et *.

A est inversible et (A)-1 = 11A

AB est inversible et (AB)-1 = B-1A-1

tA est inversible et (tA)-1 = t(A-1)

3.2 OEL, matrices élémentaires :

Rappels du chapitre 11 :

Il y a trois type d'OEL pour les matrices : Les permutations ( LiLj ), les dilatations ( LiLi ) et les

transvections (LiLi + Lj )

Deux matrices A et A' sont équivalentes en ligne lorsqu'on peut passer de l'une à l'autre par une succession

d'OEL. On note LA A'

Un matrice échelonnée réduite est une matrice échelonnée dont tous les pivots valent 1 et qui sont les

seuls éléments non nuls de leur colonne respectives PCSI2

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L'algorithme de Gauss Jordan montre que toute matrice est équivalente en ligne à une matrice échelonnée

réduite dont on admet l'unicité. Cf TD.

Def : Soit un scalaire non nul, on appelle matrices élémentaires les matrices carrées suivantes :

Les matrices de permutation : Pi,j obtenue en appliquant LiLj à In.

Pi,j = In - Ei,i - Ej,j + Ei,j + Ej,i

les matrices de dilatations : Di obtenue en appliquant LiLi à In.

Di = In + (-1)Ei,i

Les matrices de transvections Tij obtenue en appliquant LiLi + Lj à In.

Tij = In + Eij

Proposition 12.11 : Soit A une matrice de Mn,p()

L'opération LiLj correspond à multiplier à gauche par Pi,j L'opération LiLi correspond à multiplier à gauche par D,i L'opération LiLi + Lj correspond à multiplier à gauche par Ti,j,

Corollaire : Soit A et A' deux matrices de Mn,p()

Les matrices élémentaires sont inversibles et (Pij) = Pji, (Di)-1 = 1iD , Tij = Tij(-) A et A' sont équivalentes en ligne ssi il existe une matrice inversible E produit de matrices

élémentaires telle que A' = EA

Pour toute matrice A, il existe une unique matrice échelonnée réduite R et une matrice inversible E produit de matrices élémentaires telle que A = ER Théorème 12.1: Caractérisations des matrices inversibles. Soit AMn(), les propositions suivantes sont équivalentes :

A est inversible

Le système AX = 0 a une unique solution

nLA I Pour tout BMn,1(), le système AX = B a une unique solution. Pour tout BMn,1(), le système AX = B a au moins une solution.

Plan de la démonstration : puis

Conséquence pratique : Soit A,BMn() vérifiant BA = In, on a AX = 0 B(AX) = 0 X = 0 donc le système AX = 0 admet une unique solution et par suite A est inversible.

On a de plus AB = In A-1(AB) = A-1 B = A-1.

Ainsi l'égalité BA = In suffit pour affirmer que A et B sont inversibles et inverses l'une de l'autre.

3.3 Calcul pratique de l'inverse :

Méthode 1 : Résolution d'un système linéaire On considère le système (S) AX = B où B est quelconque dans Mn,1(). On résout ce système. Si il a une unique solution alors A est inversible et on a : (S) X = A-1Y, ce qui permet de récupérer A-1 Méthode 2 : Utilisation de l'algorithme de Gauss-Jordan

Par une succession d'OEL on transforme M en l'unique matrice échelonnée réduite R qui lui est

équivalente en ligne. Parallèlement, on applique les mêmes OEL sur In : on obtient une matrice B.

Si R = In alors A est inversible et on a donc A = EIn et In = EB soit AB = In et par suite B = A-1. PCSI2

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4. Complément : O.E.C

Def et Proposition 12.12: Opérations élémentaires sur les colonnes (O.E.C) d'une matrice. Soit AMn,p(), les opérations élémentaires sur les colonnes de A sont :

L'échange de deux colonnes (permutation)

l'opération CiCj correspond à multiplier à droite par Pi,jGLp() La multiplication d'une colonne par un scalaire (dilatation) l'opération CiCi correspond à multiplier à droite par D,i GLp() L'ajout à une colonne d'un multiple d'une autre colonne (transvection) l'opération CiCi + Cj correspond à multiplier à droite par Ti,j, GLp() Vocabulaire : Deux matrices A et A' sont dites équivalentes en colonne lorsqu'on peut passer de

l'une à l'autre par une succession d'OEC ou encore lorsqu'il existe une matrice inversible E produit

de matrices élémentaires telle que A = A'E. On note CA A'

Def : A est échelonnée (réduite) en colonne lorsque sa transposée est échelonnée (réduite) en

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