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La premiére phase de l'algorithme est terminée Une ligne de N1 est constituée de 0 La matrice N n'est donc pas inversible Correction de l'exercice 9 :

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CORRECTION Exercice n°1 1) La matrice A est de format 3 4 × puisqu'elle contient 3 lignes et 4 colonnes 2) 14 a est le nombre figurant à l'intersection de la 1

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Correction de l'exercice 2 4 (Associativité du produit matriciel) On consid`ere les trois matrices suivantes : A = 2 −3 1 0 5 4 1 3 6 −2 −1 7

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Exercice 1 Soit E un espace vectoriel sur un corps K K = R ou C ( ) de dimension 3 et f un endomorphisme de E Prouver que •si f 0 et f 2 = 0 alors la matrice 

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Par conséquent, on a : avec donc étant de dimension 1, cette matrice n'est pas diagonalisable dans 2) Une matrice est toujours trigonalisable dans 3) Comme , 

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TD 4: Matrices

Institut Galilée. L1, algèbre linéaire

Année 2013-2014, 2ème semestre

Exercice 1.On donne les matrices suivantes :

M=1 2 4

2 6 0 ;N=a1c 2 1 0 ;P=1 2p31 ;T=0 @3i 5

2 + 2i1

A etU=p2 5 5 oùaetcsont des nombres complexes. a)Donner les coefficients suivants de la matrice M :m2;3,m1;2. b)Calculer, lorsque c"est possible, les sommes suivantes :M+N;N+P;M+tN c)Calculer, lorsque c"est possible, les produits suivants :MN;MtN;MP;PM;UT;TU;iN;p2T d)A quelles conditions sur les dimensions des matricesAetBpeut-on calculer la sommeA+tB? e)A quelles conditions sur les dimensions des matricesAetBpeut-on calculer le produitAtB?

Exercice 2.Soient les matrices :

-A=1 2 1; -Bn= [bij]1i;jnoùbi;j= 0sii < j,bi;j=i+jsinon; -Cn= [cij]1i;jnoùci;j= 0sijijj>1,bi;j= 1sinon, -Dn= [di1]1inoùdi1=xi1

1. Ecrire la matriceB4et la matriceC4

2. Calculer les produitsAC3ettC3C3

3. Calculer les produits

tCnCnetCntCn

Exercice 3.Soient les matricesC=1 2

14 ,D=31 4 2 etX=a b c d a)Résoudre l"équationXC=D, d"inconnueX. b)Résoudre l"équationCX=D, d"inconnueX. Exercice 4.Déterminer en fonction deaetbréels toutes les matrices deM2;2(R)qui commutent avec la matricea0 0b

Exercice 5.Soit la matriceA=2 1

02 , En utilisant l"égalitéA=2I2+0 1 0 0 et en vérifiant que l"on peut utiliser la formule du binôme de Newton, calculerAn. Exercice 6.Dire si les matrices suivantes sont inversibles. Si oui, donner leur inverse : A=0 B

B@3 0 0 0

0 2i0 0

0 0 3 + 4i0

0 0 021

C CAB=0 B

B@1 21 0

0 0 01

0 0i0

0 0 0 21

C CAC=0 B

B@i21 0

02 41 2 0i0

0 12 0;51

C

CAD=23

1 2 E=2 3 46

F=2 31

46 3
G=x3 2 1 en fonction du paramètrex2C: 1

Exercice 7.On considére les matricesA=46

2 3 etB=33 22
Effectuer le produitAB.AetBsont-elles inversibles?

Exercice 8.Soit pour2Rla matrice33R=0

@cos() sin() 0 sin() cos() 0

0 0 11

A a)CalculerRRpour;2R. b)La matriceRest-elle inversible? Si oui calculer son inverse.

Exercice 9.En utilisant la méthode du pivot, dire si les matrices suivantes sont inversibles et donner

leur inverse A=0 @1 24 0 1 3 1 311 A B=0 @1813 1 4 2

0 1 31

A C=0 B

B@1 211

25 31
13 21

1 22 11

C CA Exercice 10.Résoudre dansR3en fonction du paramètremle système linéaire suivant : 8< :mx+y+z= 0

3xy+ 2z= 2m

mxy2z= 4 Discuter en fonction du paramètreml"inversibilité de la matriceM=0 @m1 1 31 2
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