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On appelle commutant de A l'ensemble des matrices M qui commutent avec A, Pour trouver le commutant d'une matrice diagonale (ou d'une matrice “simple” 

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Justifier sans calcul que deux solutions X et X commutent d Déterminer le Réciproquement, une matrice diagonale commute avec toute matrice diagonale

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(a) Trouver les matrices qui commutent avec une matrice car- rée diagonale à Soit D une matrice diagonale de Mn(K) à coefficients diagonaux distincts (on les  

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Est-il vrai que K[A] = C(A)? Partie III : Commutant de certaine matrice diagonale Soit D ∈ Mn(K) diagonale de coefficients diagonaux d1,··· ,dn 

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Ei Soit 1 ≤ i ≤ r Comme u et v commutent, on en déduit que Ei est stable par v L'endomorphisme

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5) Déterminer toutes les matrices de M3(R) qui commutent avec la matrice D trouvée à la Réciproquement, toute matrice diagonale commute avec D En

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2) Commutant d'un endomorphisme ou d'une matrice carrée 1妻i妻n L' ensemble des matrices diagonales de format n à coefficients dans K se note Dn( K)

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2)Montrer qu'il existe une base de E dans laquelle les matrices de f et g sont triangulaires supérieures 3)On suppose de plus que f et g sont diagonalisables Montrer qu'il Comme f et g commutent, Ef (λi) est stable par g De plus E = ⊕p

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Réciproquement, toute matrice diagonale commute avec D qui est elle-même Finalement, les matrices qui commutent avec D sont les matrices diagonales 6

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feuille.vide

Q11/3Q3

Q2 espaceblanc. merunepartiedelacopie.

R´edactionmath´ematique:

d´emonstration. probl`eme. 1

2n.Q1a.D´eterminerladimensiondeKerf.

Imf2etKerg=Kerf∩Imf.

c.End´eduirequerg(f2)≥n. ?estunebasedeE. b. matriceA=( (164-4 -18-45

308-7)

matricedanslabaseε.2.1 b.D´eterminerunebasedeKeru. P=( (10-1 -211 21-2)
etD=( (000 010 004) b. (000

0λ0

002μ)

?t?R,??? ?x?(t)=16x(t)+4y(t)-4z(t) y?(t)=-18x(t)-4y(t)+5z(t) z?(t)=30x(t)+8y(t)-7z(t)(1)

X(t)=(

(x(t) y(t) z(t)) etX?(t)=( (x?(t) y?(t) z?(t)) b.Trouverlasolutionduprobl`emepos´e.

MPSI24DS07Corrig´e.Q1a.

dim(Kerf)=n. c. dimImf=dimKerg+rg(g) ?estunebasedeKerf2.Puisquef3=0L(E), b.Puisque?k?[[1,n]],f?f(ek) ?=f2(ek)etf?f2(ek) ?=f3(ek)=0E,ontrouveque

Matb(f)=(

(((((((((((((((((0...0 0 1 0 ...0 10 ...1... ...00...0

0...010...0)

Ker(u)=Vect((1,-2,2)).

(154-4 -18-55

308-8)

.Enr´esolvant

OntrouvequeP-1=

(-3-11 -201 -4-11) .Q7SoitM=( (adg beh cfi) .OncalculeMD=( (0d4g 0e4h 0f4i) etDM=( (000 beh

4c4f4i)

queY2=D.Q10Cesontlesmatricesdelaforme

X=PYP-1=

(10-1 -211 21-2)
(000

0λ0

00μ)

(-3-11 -201 -4-11) (000 -201 -201) ????M+μ( (82-2 -8-22

164-4)

b.S=(M+M?)+(M-M?)+(-M+M?)+(-M-M?)=0. M1= (-3-11 62-2
-6-22) ,M2= (000 -201 -201) ,M3= (41-1 -4-11 82-2)
(a(t) b(t) c(t)) etY?(t)= (a?(t) b?(t) c?(t)) doiventdoncv´erifierlesyst`eme?t?R, ?a?(t)=0 b?(t)=b(t) c?(t)=4c(t)(3) avec( (a(0) b(0) c(0)) =P-1( (2 1 2) (-5 -2 -7) .Ontrouvealorsquea(t)=-5,b(t)=-2etetquotesdbs_dbs47.pdfusesText_47