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Par Stylianos GEORGIADIS
Thèse présentée
Estimation des systèmes semi-markoviens à temps discret avec applications
Soutenue le 03 décembre 2013
Spécialité : Modélisation Stochastique et Statistique D2112
UNIVERSITÉ DE TECHNOLOGIE DE COMPIÈGNE
Laboratoire de Mathématiques Appliquées de Compiègne Thèse présentée en vue de l"obtention du grade de Docteur de l"UNIVERSITÉ DE TECHNOLOGIE DE COMPIÈGNE Champ Disciplinaire : Modélisation Stochastique et Statistique
ESTIMATION DES SYSTÈMES
SEMI-MARKOVIENS À TEMPS DISCRET
AVEC APPLICATIONS
Stylianos GEORGIADIS
Soutenue le 03 décembre 2013 devant le jury composé de : Mme Marta A. FREITAS Universidade Federal de Minas Gerais Rapporteur Mme Ghislaine GAYRAUD Université de Technologie de Compiègne Présidente M. Claude LEFÈVRE Université Libre de Bruxelles Rapporteur M. Nikolaos LIMNIOS Université de Technologie de Compiègne Directeur dethèse M. Pascal MOYAL Université de Technologie de Compiègne Examinateur M. Rafael PÉREZ-OCÓN Universidad de Granada Rapporteur M. Wojciech PIECZYNSKI TELECOM SudParis Examinateur `A ma m`ere Στη μητ´ερα μoυ
Remerciements
Je tiens tout d"abord à exprimer toute ma reconnaissance à NikolaosLIMNIOS, mon directeur de thèse qui est à l"origine de ce travail. C"est un honneur pour moi de travailler avec lui et je ne peux qu"admirer son talent. Je lui suis vivement re- connaissant, non seulement parce qu"il a accepté de me prendre enthèse, mais aussi parce qu"il a partagé ses idées avec moi et, surtout, il m"a transmissa passion de la recherche et la motivation nécessaire pour mener à bien ce travail.Je le remer- cie aussi de son aide morale et scientifique durant les moments cruciaux de cette thèse. Ses conseils et ses critiques constructifs, ses encouragements constants et son optimisme m"ont permis de lever bien des doutes. Merci encore pour m"avoir per- mis de participer à un projet européen et travailler en Hongrie, ainsique pour les conférences auxquelles il m"a encouragé à participer. Je suis très honoré de remercier Marta AFONSO FREITAS, Claude LEFÈVRE et Rafael PÉREZ-OCÓN pour avoir accepté d"être les rapporteurset de faire partie de mon jury. Je suis également reconnaissant à Wojciech PIECZYNSKI pour la confiance dont il me fait preuve en participant à ce jury. Je tiens à leur exprimer toute ma profonde gratitude pour l"intérêt particulier qu"ils ont porté à ce travail. Je remercie chaleureusement Ghislaine GAYRAUD qui m"a fait l"honneurde présider le jury de thèse. Je lui suis aussi reconnaissant pour sesencouragements et ses précieux conseils. Merci encore pour le temps consacré à la lecture minutieuse de premières versions de ce manuscrit ainsi que pour les suggestions et les remarques judicieuses qui m"ont permis de l"améliorer. J"adresse mes vifs remerciements à Pascal MOYAL, non seulement parce qu"il a accepté d"être membre de mon jury, mais aussi parce qu"il m"a donnél"opportunité de travailler sur un sujet entièrement nouveau pour moi. Un grand merci à Salim BOUZEBDA pour le soutien constant, les remarques et les suggestions lors de nos discussions enrichissantes. Je le remercie encore d"avoir lu une partie de ma thèse. Je dois une reconnaissance toute particulière à Chrysseis CARONI pour l"intérêt et la confiance qu"elle m"a témoignés et pour m"avoir motivé à poser ma candida- ture pour cette thèse. Je voudrais également remercier Ioannis SPILIOTIS pour ses encouragements. Je tiens à remercier tous les membres du Laboratoire de Mathématiques Appli- quées de Compiègne qui m"ont toujours accueilli de façon très chaleureuse, qui m"ont toujours témoigné leur intérêt aussi bien pour mes travaux de recherches que pour mes enseignements, tout particulièrement Marie-Claude DUBAN et Sergio ALVA- REZ. Je voudrais aussi remercier la secrétaire du laboratoire, Béatrice BARBIER, iii ivRemerciements ainsi que la secrétaire de l"école doctorale, Julie JAREK, pour avoir facilité tous les problèmes administratifs. Un remerciement sincère à toutes les personnes qui ont contribuéde manière plus ou moins directe à l"avancement de cette thèse et à la préparation dema soutenance. Je remercie vivement Aurore pour son soutien amical. Merci encorepour avoir lu très sérieusement de nombreuses versions préliminaires de cette thèse. Ses commentaires m"ont beaucoup aidé à la rédiger. À toutes celles et ceux que j"ai rencontrés lors de mon séjour à Compiègne, tout particulièrement à Violaine et Alfredo pour leur amitié. J"aimerais saluer mes camarades de l"équipe de judo pour leur compagnie agréable au coursde ces années, notamment Thibault, Jérémy et Alexandre. Un merci du fond du coeur à Lydia pour sa présence. Mes remerciements vont tout particulièrement aux deux premièrespersonnes que j"ai rencontrées à mon arrivée en France, Sonia et Vassilis. Depuis ce jour, notre relation nous a menés à une vraie et profonde amitié et je leur en suis très reconnaissant. Je tiens à remercier sincèrement mes amis de Grèce pour leurs conseils avisés et leurs encouragements. Nos nombreuses discussions m"ont grandement réconforté lors de moments souvent difficiles. Je ne pourrais clôturer ces remerciements sans me tourner vers ma famille, ma mère et mon frère. Pour leurs soutien moral et leurs encouragements au fil des années, qu"ils trouvent ici mon affectueuse reconnaissance.
À tous ceux qui me sont chers.
Oλα ε´ιναι δρ´oμoς...
Table des matières
Table des figures1
Table des tableaux3
Notations5
Préface9
1 Modèle semi-markovien à temps discret 15
1.1 Cadre semi-markovien à temps discret . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.1.1 Chaînes semi-markoviennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.1.2 Équation de renouvellement markovien . . . . . . . . . . . . . 22
1.1.3 Chaîne couple de la CSM et la suite de temps de récurrence
en arrière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.2 Inférence statistique des chaînes semi-markoviennes . . . . . . . .. . 25
1.2.1 Cadre d"observation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.2.2 Méthode de Monte Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2 TLCF multidimensionnel pour l"estimateur du NSM 29
2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.2 Rappels sur les semimartingales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.3 Résultats principaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.4 Résultats asymptotiques des noyaux et des fonctionnelles . . . .. . . 37
2.4.1 Matrice de transition de la chaîne de Markov immergée . . . 38
2.4.2 Noyau semi-markovien cumulatif . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.4.3 Loi conditionnelle du temps de séjour . . . . . . . . . . . . . 39
2.4.4 Fonction de répartition conditionnelle du temps de séjour . . 40
2.4.5 Loi du temps de séjour . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.4.6 Fonction de répartition du temps de séjour . . . . . . . . . . 41
Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3 Estimation des deux mesures fondamentales d"une CSM 43
3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.2 Loi stationnaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.2.1 Résultats intermédiaires sur l"estimation empirique . . . . . . 44
v viTable des matières
3.2.2 Estimation de la loi stationnaire et propriétés asymptotiques 48
3.3 Probabilité de la première entrée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.3.1 Définition et propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.3.2 Estimation de la probabilité de la première entrée et propriétés
asymptotiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.4 Applications numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.4.1 Loi stationnaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.4.2 Probabilité de la première entrée . . . . . . . . . . . . . . . . 62
Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4 Estimation de la fiabilité sur intervalle 67
4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.2 Fiabilité sur intervalle des systèmes semi-markoviens . . . . . . . . . 69
4.2.1 Fiabilité et disponibilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.2.2 Fiabilité sur intervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.2.3 Fiabilité sur intervalle limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.3 Application numérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.4 Estimation empirique et propriétés asymptotiques . . . . . . . . . . .80
4.5 Démonstrations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
5 Comparaison des estimateurs non-paramétriques 91
5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
5.2 Estimation empirique et du maximum de vraisemblance exacte . . . 92
5.2.1 Trajectoire unique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
5.2.2 Trajectoires multiples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
5.3 Mesures de fiabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
5.3.1 Fiabilité, disponibilité et fiabilité sur intervalle . . . . . . . . 96
5.3.2 Disponibilité asymptotique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
5.3.3 Maintenabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
5.3.4 Taux de défaillance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
5.3.5 Temps moyens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
5.4 Comparaison des estimateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
5.4.1 Trajectoire unique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
5.4.2 Trajectoires multiples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
Table des matièresvii
6 Approximation stochastique pour les CRM 105
6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
6.2 Préliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
6.3 Approximation de moyenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
6.4 Approximation de diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
6.5 Cas d"espace d"état fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
6.5.1 Loi forte des grandes nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
6.5.2 Théorème de la limite centrale . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
7 Limite fluide du modèle d"Engset 119
7.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
7.2 Modèle d"Engset . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
7.2.1 Décompositions de semimartingales . . . . . . . . . . . . . . . 121
7.2.2 Processus libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
7.3 Limite fluide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
7.3.1 Cas sur-critique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
7.3.2 Cas sous-critique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
7.3.3 Cas critique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
7.4 Modèle d"Engset à plusieurs serveurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
7.5 Résultats numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
7.6 Application aux files d"attente avec ré-essais à serveur unique . . .. 126
7.6.1 Loi de grands nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
7.6.2 Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
Conclusion générale131
A Annexes135
A.1 Théorème de Slutsky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 A.2 Théorème d"Anscombe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 A.3 TLCF pour les semimartingales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 A.4 Méthode delta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 A.5 Théorèmes limites pour les CRM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 A.6 Preuve du théorème 3.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
Bibliographie141
Table des figures
1.1 Trajectoire d"une chaîne de renouvellement markovien. . . . . . . .. 18
3.1 Décomposition de l"espace d"état d"une CSM absorbante. . . . . . . .53
3.2 Décomposition de l"espace d"état d"une CSM irréductible. . . . . . . 55
3.3 Système semi-markovien à trois états. . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.4 Système semi-markovien à quatre états. . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.1 Fiabilité sur intervalle (p= 10). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.2 Fiabilité sur intervalle (k= 5). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.3 Fiabilité sur intervalle (k= 10,p= 0,1,...,30). . . . . . . . . . . . . 79
4.4 Estimation de la fiabilité sur intervalle (k= 10,p= 0,1,...,30). . . 82
5.1 Estimation des mesures de fiabilité (L= 1,M= 5000). . . . . . . . . 100
5.2 Estimation des mesures de fiabilité (L= 10000,M= 100). . . . . . . 102
7.1 Cas sur-critique (K >3000). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
7.2 Cas sous-critique (K <3000). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
7.3 Cas critique (K= 3000). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
1
Liste des tableaux
3.1 Variations totales pour la loi stationnaireπde la CSM. . . . . . . . 61
3.2 Estimation
pν(M)de la loi stationnaire de la CMI. . . . . . . . . . . 61
3.3 Estimation
pμ?(M)des temps de récurrence moyens de la CMI. . . . 62
3.4 Estimation
pm(M)des temps de séjour moyens de la CSM. . . . . . . 62quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47
[PDF] Processus stochastiques modélisation