en déduire le calcul de la matrice An 2 Page 3 Exercices à préparer pour le contrôle continu Exercice 13
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2 2 Exercices AB a donc un sens : c'est une matrice à 3 lignes et 4 colonnes ( 0 1 −1 −2 Exercice 1 : Soient A et B les deux matrices suivantes A = ⎛
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TD 4: Matrices
Institut Galilée. L1, algèbre linéaire
Année 2013-2014, 2ème semestre
Exercice 1.On donne les matrices suivantes :
M=1 2 4
2 6 0 ;N=a1c 2 1 0 ;P=1 2p31 ;T=0 @3i 52 + 2i1
A etU=p2 5 5 oùaetcsont des nombres complexes. a)Donner les coefficients suivants de la matrice M :m2;3,m1;2. b)Calculer, lorsque c"est possible, les sommes suivantes :M+N;N+P;M+tN c)Calculer, lorsque c"est possible, les produits suivants :MN;MtN;MP;PM;UT;TU;iN;p2T d)A quelles conditions sur les dimensions des matricesAetBpeut-on calculer la sommeA+tB? e)A quelles conditions sur les dimensions des matricesAetBpeut-on calculer le produitAtB?Exercice 2.Soient les matrices :
-A=1 2 1; -Bn= [bij]1i;jnoùbi;j= 0sii < j,bi;j=i+jsinon; -Cn= [cij]1i;jnoùci;j= 0sijijj>1,bi;j= 1sinon, -Dn= [di1]1inoùdi1=xi11. Ecrire la matriceB4et la matriceC4
2. Calculer les produitsAC3ettC3C3
3. Calculer les produits
tCnCnetCntCnExercice 3.Soient les matricesC=1 2
14 ,D=31 4 2 etX=a b c d a)Résoudre l"équationXC=D, d"inconnueX. b)Résoudre l"équationCX=D, d"inconnueX. Exercice 4.Déterminer en fonction deaetbréels toutes les matrices deM2;2(R)qui commutent avec la matricea0 0bExercice 5.Soit la matriceA=2 1
02 , En utilisant l"égalitéA=2I2+0 1 0 0 et en vérifiant que l"on peut utiliser la formule du binôme de Newton, calculerAn. Exercice 6.Dire si les matrices suivantes sont inversibles. Si oui, donner leur inverse : A=0 BB@3 0 0 0
0 2i0 0
0 0 3 + 4i0
0 0 021
C CAB=0 BB@1 21 0
0 0 01
0 0i00 0 0 21
C CAC=0 BB@i21 0
02 41 2 0i00 12 0;51
CCAD=23
1 2 E=2 3 46F=2 31
46 3G=x3 2 1 en fonction du paramètrex2C: 1
Exercice 7.On considére les matricesA=46
2 3 etB=33 22Effectuer le produitAB.AetBsont-elles inversibles?
Exercice 8.Soit pour2Rla matrice33R=0
@cos() sin() 0 sin() cos() 00 0 11
A a)CalculerRRpour;2R. b)La matriceRest-elle inversible? Si oui calculer son inverse.Exercice 9.En utilisant la méthode du pivot, dire si les matrices suivantes sont inversibles et donner
leur inverse A=0 @1 24 0 1 3 1 311 A B=0 @1813 1 4 20 1 31
A C=0 BB@1 211
25 3113 21
1 22 11
C CA Exercice 10.Résoudre dansR3en fonction du paramètremle système linéaire suivant : 8< :mx+y+z= 03xy+ 2z= 2m
mxy2z= 4 Discuter en fonction du paramètreml"inversibilité de la matriceM=0 @m1 1 31 2m121 A
Déterminer l"inverse deMdans le cas oùm= 2.
Exercice 11.Déterminer les inverses des matricesA=1 0;991;01 1
etB=1 0;99 1 1A votre avis, quel problème se pose si on calcule l"inverse d"une matrice en remplaçant chacun de ses
coefficients par une valeur approchée?Exercice 12.On considère les matricesA=7 5
641. Calculer la matriceA23A+ 2I2.
2. Soitnun entier supérieur ou égal à 2. Expliquer pourquoi il existe des nombres réelsanetbnet
un polynômeQn(X)tels que X n= (X23X+ 2)Qn(X) +anX+bn A l"aide des racines du polynômeX23X+ 2, calculeranetbn.On ne cherchera pas à calculerQn(X).
3. en déduire le calcul de la matriceAn.
2 Exercices à préparer pour le contrôle continuExercice 13.SoientAetBdeux matrices,A=21
1 4 etAB=12 561 1 10
DéterminerB.
Exercice 14.Déterminer en fonction dea2Retb2Rtoutes les matrices22qui commutent aveca b 0 0Exercice 15.Les matrices suivantes :
M=0 @21 3 3 2 2611 11
A ;N=0 @111 2 22 22 21A ;P=0 B
B@2 5 6 0
2 3 1;5 0;5
122 00 1 2;5 01
C CA sont-elles inversibles? Donner l"inverse des matrices qui le sont. Exercice 16.Pour quelles valeurs du paramètremla matriceE=0 @11 2 m1m2m22m3m11
A est-elle inversible? Calculer l"inverse de la matrice dans le cas oùm= 0puis dans le cas oùm= 1.Exercice 17.
a)Calculer l"inverse de la matriceA=0 @1=4 3=2 1=4 1 0 01 2 11
A , en réduisant la matrice augmentée(AjI3)à la forme écheloné simplifiée.
b)EcrireA1sous la forme d"un produitE1E2:::En, oùE1;E2, ...Ensont des matrices élémentaires que
vous préciserez.Exercice 18.Résoudre dansR3en fonction des paramètres rélsa,betcle système linéaire suivant :
8< :x+yz=a