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pour les matrices diagonales (ai j = 0 pour i = j) on a aussi det A = n ∏ i=1 Solution : Dans l'exercice précédent on a vu que le déterminant de ∣ ∣ ∣ σ4 : (1, 2, 3) → (2,3,1),σ4 = σ2 ◦σ3 = σ1 ◦σ2 = σ1 ◦σ3 ◦σ3 ◦σ2 etc σ5 : (1, 2
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2 5 Matrices et systèmes linéaires Ces exercices courts, pour la plupart donnés en colles en première année, constitue une collection dans A, etc D'où m
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Aix Marseille Université - Centre de Télé-Enseignement Sciences Case 35. 3, place Victor Hugo. 13331 Marseille Cedex 03. http://www.ctes.univ-provence.fr
LICENCE 3 MATHEMATIQUES
Expédition dans la semaine n° Etape Code UE N° d'envoi de l'UE46 2L3MAT SMI6U01T 1
Nom de l'UE : Analyse numérique et optimisationpropos dtudier une partie du cours, de faire des exercices (corrigs) et, ventuellement, de raliser un TP en
python. Les TP sont conseills mais non obligatoires. Deux devoirs sont rendre afin de bnficier dune note de
contrle continu. note finale=max(note-examen, 1/3(2 note-examen + note-contrle-continu)). - Contenu de lenvoi : Polycopi, chapitre 1, paragraphe 1 4. TP 1 et 2 - Guide du travail effectuerSemaine 1 :
Etudier les paragraphes 1.1 (Objectifs), 1.2.1 (rappels d'algèbre linéaire) et 1.2.2 (discrétisation d'une équation)
proposés (avec corrigés) : 3 !"#$%&'$()$*+,*'-./0, 4, 6 !1'-2*&,*3-,40*, 9 !5-*)-6'27$*8 9 0:*L'exercice 11 !;$%<&=,62&.*+>,.*<6$()$*<&,<*3&')$*@-'627,=2$('$0*fait partie du premier devoir (à rendre
ultérieurement)Semaine 2 :
Etudier le paragraphe 1.3 (méthodes directes) jusqu'au théorème 1.22 (décomposition de Choleski) sans la
démonstrationExercices proposés (avec corrigés) : 19 (Vrai ou faux), 21 (5A0, 27 (Sur la méthode LLt), 28 (Décomposition
LU d'une matrice à paramètres). Faire le TP 1Semaine 3 :
Etudier la démonstration du théorème 1.22, terminer le paragraphe 1.3.Exercices proposés (avec corrigés) : 28 (B$%7&)@&<262&.*5A*+>,.$*)-6'27$*-(*@-'-)$(6'$<) et 29 (C7#$=&..$)$.6*$6*
3-76&'2<-62&.*5A*$6*5BA0.
Semaine 4 :
Etudier le paragraphe 1.4 (Normes et conditionnement d'une matrice) Exercices proposés (avec corrigés) : 39
(D&')$<*2.+,26$<*@-'627,=2$('$<), 42 (Matrice diagonalisable et rayon spectral), 44 (E$%'2$*+$*D$,)-..). Faire le
TP2L'exercice 48 (F&.+262&..$)$.6*+$*=-*)-6'27$*6'-.<@& IntroductionL"objet de l"analyse numérique est de concevoir et d"étudier des méthodes de résolution de certains problèmes mathématiques, en général issus de la modélisation de problèmes "réels", et dont on cherche à calculer la solution Les méthodes numériques pour la résolution des équations différentielles sont abordées dans le cours d"équations différentielles. Dans le cadre de ce cours, nous aborderonsles thèmes suivants, qui font l"objet de trois grands On pourra consulter les ouvrages suivants pour ces différentes parties (ceci est une liste non exhaustive!) : - A. Quarteroni,R. Sacco et F. Saleri, MéthodesNumériques:Algorithmes,Analyseet Applications,Springer - P.G. Ciarlet, Introduction à l"analyse numérique et à l"optimisation, Masson, 1982, (pour les chapitre 1 à 3 - L.Dumas,Modélisationà l"oraldel"agrégation,calculscientifique,CollectionCAPES/Agrégation,Ellipses, - P. Lascaux et R. Théodor, Analyse numérique matricielle appliquée à l"art de l"ingénieur, tomes 1 et 2, - L. Sainsaulieu, Calcul scientifique cours et exercices corrigés pour le 2ème cycle et les éécoles d"ingénieurs, - P. Lascaux et R. Theodor, Analyse numérique sappliquée auxsciences de l"ingénieur, Paris, (1994) - R. Temam, Analyse numérique, Collection SUP le mathématicien, Presses Universitaires de France, 1970. - G. Golub and C. Van Loan, Matrix computations, The John Hopkins University Press, Baltimore (chapitre - Poly d"algèbre linéaire de première année, P. Bousquet, R.Herbin et F. Hubert, http ://www.cmi.univ- Ce cours a été rédigé pour la licence de mathématiques à distance (téléenseignement) du CTES de l"université d"Aix-Marseille. Chaque section est suivie d"un certain nombre d"exercices. On donne ensuite des suggestions pour effectuer les exercices, puis des corrigés détaillés.Il est fortement conseillé d"essayer de faire les exercices Analyse numérique I, télé-enseignement, L34Université d"Aix-Marseille, R. Herbin, 11 novembre 2018 Chapitre 1Systèmes linéaires1.1 ObjectifsOn noteMn(IR)l"ensemble des matrices carrées d"ordren. SoitA?Mn(IR)une matrice inversible etb?IRn, l"objectif est de résoudre le système linéaireAx=b, c"est-à-dire de trouverxsolution de : CommeAest inversible, il existe un unique vecteurx?IRnsolution de (1.1). Nous allons étudier dans les deux paragraphes suivants des méthodes de calcul de ce vecteurx: la première partie de ce chapitre sera consacrée aux méthodes "directes" et la deuxième aux méthodes "itératives". Nous aborderonsensuite en troisième partie les Un des points essentiels dans l"efficacité des méthodes envisagées concerne la taille des systèmes à résoudre. La Le développement des méthodes de résolution de systèmes linéaires est liée à l"évolution des machines infor- matiques. C"est un domaine de recherche très actif que de concevoir des méthodes qui permettent de profiter au mieuxdel"architecturedesmachines(méthodesdedécompositionensous domainespourprofiterdesarchitectures Dans la suite de ce chapitre, nous verrons deux types de méthodes pour résoudre les systèmes linéaires : les méthodes directes et les méthodes itératives. Pour faciliter la compréhension de leur étude, nous commençons par Nous donnons dans ce paragraphe un exemple de problème dont la résolution numérique recquiert la résolution d"un système linéaire, et qui nous permet d"introduire des matrices que nous allons beaucoup étudier par la suite. Nous commençons par donner ci-après après quelques rappelssuccincts d"algèbre linéaire, outil fondamentalpour Ce paragraphe rappelle des notions fondamentales que vous devriez connaître à l"issue du cours d"algèbre linéaire de première année. On va commencer par revisiter leproduit matriciel, dont la vision combinaison linéaire de lignes est fondamentale pour bien comprendre la forme matricielle de la procédure d"élimination de Gauss. qui est le produit d"une matrice1×npar une matricen×1, qu"on peut aussi écrire sous forme d"un produit où(?i(A))tdésigne la matrice transposée, qui est donc maintenant une matricen×1qu"on peut identifier à un vecteur deIRn. C"est la technique "habituelle" de calcul du produit de deux matrices. On a dans notre exemple : Mais de l"expression (1.2), on peut aussi avoir l"expression des lignes et des colonnes deM=ABen fonction ce qui montre que la ligne 1 deABest une combinaison linéaire des lignes deB. Le colonnes deAB, par contre, Analyse numérique I, télé-enseignement, L36Université d"Aix-Marseille, R. Herbin, 11 novembre 2018 Cette remarque est très importante pour la représentation matricielle de l"élimination de Gauss : lorqu"on calcule des systèmes équivalents, on effectue des combinaisons linéaires de lignes, et donc on multiplie à gauche par une Il est intéressant pour la suite de ce cours de voir ce que donne la multiplication d"une matrice par une matrice de La multiplication deApar la matricePéchange les lignes deAlorqu"on multiplieAparPà gauche, et elle échangeles colonnesdeAlorqu"onmultiplieAparPà droite.Noter que ceci montred"ailleurs bienque le produit matriciel n"est pas commutatif...La matricePs"appelle matrice de permutation. Les matrices de permutation auront un fort rôle à jouer dans l"élaboration d"algorithmes de résolution des systèmes linéaires (voir l"algorithme De manière plus générale, on peut définir une matrice de permutation de la façon suivante : Définition 1.1(Matrice de permutation).Soitn?INet soienti,j? {1,...,n}. On noteraP(i↔j)?Mn(IR)la La matriceP(i↔j)est alors appelée matrice de permutation élémentaire. Une matrice de permutation est définie Remarquons qu"une matrice de permutation possède alorsntermes égaux à1, et tous les autres égaux à 0, tels que chaque ligne et chaque colonne comprenne exactement l"un des termes égaux à1(pour les amateurs de jeu d"échecs, ces termes sont disposés commentours sur un échiquier de taillen×ntelles qu"aucune tour ne peut en Pour toute matriceA?Mn(IR)et toute matrice de permutationP, la matricePAest obtenue à partir deApar permutation des lignes deA, et la matriceAPest obtenue à partir deApar permutation des colonnes deA. Dans un système linéaireAx=b, on remarque qu"on ne change pas la solutionxsi on permute des lignes, c"est à dire si l"on résoutPAx=Pb. Notons que le produit de matrices de permutation est évidemment une matrice de Le tableau ci-dessous est la traduction littérale de "Linear algebra in a nutshell", par Gilbert Strang1Pour une On rappelle pour une bonne lecture de ce tableau les quelquesdéfinitions suivantes (s"il y a des notions que vous Définition 1.2(Pivot).SoitA?Mn(IR)une matrice carrée d"ordren. On appelle pivot deAle premier élément non nul de chaque ligne dans la forme échelonnée deAobtenue par élimination de Gauss. Si la matrice est Analyse numérique I, télé-enseignement, L37Université d"Aix-Marseille, R. Herbin, 11 novembre 2018 Définition 1.3(Valeurs propres).SoitA?Mn(IR)une matrice carrée d"ordren. On appelle valeur propre deA toutλ?Cltel qu"il existex?Cln,x?= 0tel queAx=λx. L"élémentxest appelé vecteur propre deAassocié à Définition 1.4(Déterminant).Il existe une unique application, notéedetdeMn(IR)dansIRqui vérifie les pro- On peut déduire de ces trois propriétés fondamentales un grand nombre de propriétés importantes, en particulier le fait quedet(AB) = detAdetBet que le déterminant d"une matrice inversible est le produit des pivots : c"est de cette manière qu"on le calcule sur les ordinateurs. En particulier on n"utilise jamais la formule de Cramer, On rappelle que siA?Mn(IR)une matrice carrée d"ordren, les valeurs propres sont les racines dupolynôme Analyse numérique I, télé-enseignement, L38Université d"Aix-Marseille, R. Herbin, 11 novembre 2018 Un point important de l"algèbre linéaire, appelé "réduction des endomorphismes" dans les programmes français, consiste à se demander s"il existe une base de l"espace dans laquelle la matrice de l"application linéaire est diago- Définition 1.5(Matrice diagonalisable dansIR).SoitAune matrice réelle carrée d"ordren. On dit queAest diagonalisable dansIRs"il existe une base(u1,...,un)deIRnet des réelsλ1,...,λn(pas forcément distincts) tels queAui=λiuipouri= 1,...,n. Les réelsλ1,...,λnsont les valeurs propres deA, et les vecteurs Vous connaissez sûrement aussi la diagonalisation dansCl: une matrice réelle carrée d"ordrenadmet toujoursn valeurs propres dansCl, qui ne sont pas forcément distinctes. Une matrice est diagonalisable dansCls"il existe une base(u1,...,un)deClnet des nombres complexesλ1,...,λn(pas forcément distincts) tels queAui=λiui pouri= 1,...,n. Ceci est vérifié si la dimension de chaque sous espace propreEi= Ker(A-λiId)(appelée multiplicité géométrique) est égale a la multiplicité algébrique deλi, c"est-à-dire son ordre de multiplicité en tant caractéristique deAestPA(λ) =λ2, l"unique valeur propre est donc 0, qui est de multiplicité algébrique 2, et de multiplicité géométrique 1, car le sous espace propre associé à la valeur propre nulle estF={x?IR2;Ax= Ici et dans toute la suite, comme on résout des systèmes linéaires réels, on préfère travailler avec la diagonalisation dansIR; cependant il y a des cas où la diagonalisation dansClest utile et même nécessaire (étude de stabilité des systèmes diférentiels, par exemple). Par souci de clarté, nous préciserons toujours si la diagonalisation considérée oùPest la matrice dont les vecteurs colonnes sont égaux à des vecteurs propresu1,...,unassociées aux valeurs DÉMONSTRATION- Par définition d"un vecteur propre, on aAui=λiuipouri= 1,...n, et donc, en notantPla Notons que dans ce calcul, on a fortement utilisé la multiplication des matrices par colonnes, c.à.d. Analyse numérique I, télé-enseignement, L39Université d"Aix-Marseille, R. Herbin, 11 novembre 2018 Remarquons quePlest aussi la matrice définie (de manière unique) parPei=ui, où(ei)i=1,...,nest la base canonique deIRn, c"est-à-dire que(ei)j=δi,j. La matricePest appelée matrice de passage de la base(ei)i=1,...,nà la base (ui)i=1,...,n; (il est bien clair que lai-ème colonne dePest constituée des composantes deuidans la base canonique La matricePest inversible car les vecteurs propres forment une base, eton peut donc aussi écrire : La diagonalisation des matrices réelles symétriques est unoutil qu"on utilisera souvent dans la suite, en particulier Lemme 1.7(Une matrice symétrique est diagonalisable dansIR).SoitEun espace vectoriel surIRde dimensionà l"aide d"un ordinateur.
- E. Hairer, polycopié du cours "Analyse Numérique", http ://www.unige.ch/ hairer/polycop.html - J. Hubbard et F. Hubert, Calcul Scientifique, Vuibert. Masson, 1987
Enseignement des mathématiques, Masson, 1996.
- M. Schatzman, Analyse numérique, cours et exercices, (chapitres 1,2 et 4). - D. Serre, Les matrices, Masson, (2000). (chapitres 1,2 et 4). Et pour les anglophiles...
Englewood Cliffs, NJ.
- R. Fletcher, Practical methods of optimization, J. Wiley,New York, 1980 (chapitre 3). Pour des rappels d"algègre linéaire :
3 TABLE DES MATIÈRESTABLE DES MATIÈRES
Ax=b(1.1)
1.2 Pourquoi et comment?
1.2.1 Quelques rappels d"algèbre linéaire
Quelques notions de base
1.2. POURQUOI ET COMMENT? CHAPITRE 1. SYSTÈMES LINÉAIRES
SoientAetBdeux matrices carrées d"ordren, etM=AB. Prenons comme exemple d"illustration A=?1 20 1?
,B=?-1 0 3 2? etM=?5 43 2? On noteai,j,bi,jetmi,j,i,j= 1,...nles coefficients respectifs deA,BetM. Vous savez bien sûr que m i,j=n? k=1a i,kbk,j.(1.2) On peut écrire les matricesAetBsous forme de lignes (notées?i) et colonnes (notéescj) : A=??? 1(A) n(A)?? etB=?c1(B)...cn(B)? Dans nos exemples, on a donc
1(A) =?1 2?,?2(A) =?0 1?,c1(B) =?-1
3? c 2(B) =?02?
L"expression (1.2) s"écrit encore
m i,j=?i(A)cj(B), 1,2=?1(A)c2(B) =?1(A)c2(B) =?1 2??02?
= (?i(A))t·cj(B) =?12? ·?02?
= 4. Dans notre exemple, on a donc :
1(AB) =?-1 0?+ 2?3 2?=?5 4?
2(AB) = 0?10?
+ 2?21? =?42? Il faut donc retenir que dans un produit matricielAB, 1.2. POURQUOI ET COMMENT? CHAPITRE 1. SYSTÈMES LINÉAIRES
les colonnes deABsont des combinaisons linéaires des colonnes deA les lignes deABsont des combinaisons linéaires des lignes deB. P=?0 11 0?
, A=?a b c d? , PA=?c d a b? , AP=?b a d c? 1. Sii=j,P(i↔j)= Idn,
2. Sii?=j,p(i↔j)
i,i=p(i↔j) j,j= 0,p(i↔j) i,j=p(i↔j) j,i= 1, et pour toutk,l? {1,...,n}tel que(k,l)/? {(i,i),(i,j),(j,i),(j,j)}, sik=l,p(i↔j) k,l= 1sinonp(i↔j) k,l= 0. 1. Voir la page web de Strangwww.mit.edu/~gspour une foule d"informations et de cours sur l"algèbre linéaire.
1.2. POURQUOI ET COMMENT? CHAPITRE 1. SYSTÈMES LINÉAIRES
AinversibleAnon inversible
Les vecteurs colonne sont indépendants Les vecteurs colonne sont liés Les vecteurs ligne sont indépendants Les vecteurs ligne sont liés Le déterminant est non nul Le déterminant est nul Ax= 0a une unique solutionx=0Ax=0a une infinité de solutions Le noyau deAest réduit à{0}Le noyau deAcontient au moins un vecteur non nul Ax=ba une solution uniquex=A-1bAx=ba soit aucune solution, soit une infinité Aanpivots (non nuls)Aar < npivots
Aest de rang maximal : rang(A) =n. rang(A) =r < n
La forme totatement échelonnéeRdeAest la matrice identitéRa au moins une ligne de zéros L"image deAest toutIRnL"image deAest strictement incluse dansIRn L"espaceL(A)engendré par les lignes deAest toutIRnL(A)est de dimensionr < n Toutes les valeurs propres deAsont non nulles Zéro est valeur propre deA A tAest symétrique définie positive2AtAn"est que semi-définie TABLE1.1: Extrait de "Linear algebra in a nutshell", G. Strang A(λ) = det(A-λI).
1.2. POURQUOI ET COMMENT? CHAPITRE 1. SYSTÈMES LINÉAIRES
Matrices diagonalisables
1,...,unsont des vecteurs propres associés.
Par exemple la matriceA=?0 01 0?
n"est pas diagonalisable dansCl(ni évidemment, dansIR). Le polynôme 0}={x= (0,t),t?IR}, qui est de dimension 1.
A=Pdiag(λ1,...,λn)P-1,
1...un?=AP
et donc AP=?λ
1u1... λnun?=?u
1...un??????λ
10...0
0λ2......
0...0λn?????
=Pdiag(λ1,...,λn). 1.2. POURQUOI ET COMMENT? CHAPITRE 1. SYSTÈMES LINÉAIRES