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On considère les matrices M = ( 0, 7 0, 2 0, 1 0, 6 )et P = ( 60 70 ) Pour tout entier naturel n, on note Un la matrice Un = ( an bn ) 1) a) Déterminer U1

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Pour tout entier naturel n, on définit Un = ⎛ ⎝ an bn cn ⎞ ⎠ On définit les matrices A = ⎛ ⎝ 0, 95 0 0 0, 05 

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1 Commandes Xcas pour la spécialité maths Terminale S.

Ces commandes se trouvent dans le menuCmds.Arithmétique

iquo(a,b), irem(a,b)quotient et reste de la division euclidienne deaparbisprime(p)Test de primalitégcd(a,b), lcm(a,b)PGCD, PPCM de 2 entiersiabcuv(a,b,c)Renvoieuetvtels queau+bv=cpowmod(a,n,m)Renvoiean(modm)L:=convert(a,base,b)conversion de a en base ba:=convert(L,base,b)conversion inversen:=a % b; A:=n % 0n2Z=bZcongru àa;A2Z; A=a(modb)Matrices et vecteurs

M:=matrix(3,4,(j,k)->j+k)matrice définie par une formuleM:=[[1,2,3],[4,5,6]]matrice définie par des coefficients (ou bien créer untableur Xcas en lui donnant un nom de variable)

v:=[0,1,0]vecteur défini par ses coordonnéesM[0,1] ou M(1,2)élément deMligne 1 colonne 2les indices commencent à 0 ou à 1 selon la notation

M[j,k]:=amodifie l"élément d"indicej;k(copieM)M[j,k] =< a ou M(j,k) =< amodifie en place l"élément d"indicej;k+,-,

*addition, soustraction, multiplication de matrices/vecteursinv(M)inverse d"une matrice carréeMM^4puissance entière d"une matricematpow(M,n)puissance (symbolique) d"une matricefairesupposons(n>0)siMn"est pas inversibleP,D:=jordan(M)diagonalisation de la matriceM(hors programme)Autres

asc("chaine")renvoie la liste des codes ASCII d"une chainechar(L)renvoie la chaine de caractères à partir d"une listersolve()résolution de suites récurrentesL:=readrgb("fichier")lecture du fichier image (jpg, png) dansLwritergb("fichier.png",L)stocke et affiche l"image contenue dansLrectangle(dx,0,dy/dx,affiche l"image de tailledx,dygl_texture="fichier")contenue dans fichierAttention : la notationM(j,k):=aest interprétée comme une définition de fonction sij,kest

symbolique (non entier) et non comme une affectation de l"indicej;kdeM. On peut utiliser la notationM(j,k)=2 Exemples d"illustrations -Cryptographie s:="un message a coder"; L:=asc(s), la listeLcontient une suite d"entiers com- pris entre 0 et 255. Pour le système RSA, on peut générer une paire de premiers etn 1 p:=nextprime(10^30); q:=nextprime(10^15); n:=p *q; (on peut aussi utiliser de l"aléatoire) puis une paire de clefs, n1:=euler(n); c:=rand(); d:=inv(c % n1) % 0 puiscoderetdécoderavecN:=powmod(L,c,n); char(powmod(N,d,n));Pouréviter des attaques évidentes, on peut créer des regroupements de 8 par deux conversion en base l:=convert(L,base,256); M:=convert(l,base,256^8) Pour le système de Hill, on crée par exemple une matrice aléatoire 2,2 n:=nextprime(512); M:=ranm(2,2) % n; Minv:=inv(M); (on recommence siMn"est pas inversible), puis on calcule les produits par paire d"éléments de L(ajouter un espace danssen fin de si le nombre d"éléments est impair)

N:=seq(M

*[L[2*j],L[2*j+1]],j,0,size(L)/2-1)

Le décodage en utilisantMinv

O:=seq(Minv

*N[j],j,0,size(N)-1) puis il faut aplatirOavant d"appelerchar P:=[]; pour j de 0 jusque size(O)-1 faire P:=concat(P,O[j]); fpour; P -Systèmes dynamiques, graphes probabilistes Ouvrir un tableur (menu Tableur), indiquez par exemple 4 lignes et 4 colonnes et choisissez un nom de matrice, par exempleMpuis remplissez-le par exemple avec 0 B B@13 14 014 13 14 12 14 014 014 13 14 12 14 1 C CA Si vous n"avez pas le bon nombre de lignes ou de colonnes ou oublié le nom de variable, cliquez sur la ligneSheet config...du tableur. Vous pouvez ensuite faire une étude formelle supposons(n>0); Mn:=matpow(M,n); limit(Mn,n=inf) ou numérique avecv:=seq(1./nrows(M),j,1,nrows(M)); pour j de 1 jusque 100 faire v:=M *v; fpour; Notez que pour un graphe probabiliste, les sommes des colonnes doivent être égales à 1 pour la convention du programme de TS (produit matrice, par vecteur). Un exemple de modèle proie-prédateur se trouve sur le site pédagogique de Xcas -Images Voir la sessionimage.xwssur le site de Xcas (cf. ci-dessus). -Autres Cherchez le mot-clef fougere (F12 dans Xcas), ou fraction continue (en lien avec l"identité de Bézout, les réduites successives sont les coefficients de Bézout deaunbvn= (1)nrn), ... 2quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47