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Extremums d'une fonction

I) Définitions (rappels de seconde : voir la fiche de cours correspondante) Soit ࢌ une fonction définie sur un ensemble D inclus dans , ࢓ et ࡹ deux réels.

• ࡹ est le maximum de ࢌ sur D si et seulement si ࢌሺ࢞ሻ൑ ࡹ pour tout ࢞

de D, et s'il existe un réel ࢻ dans D tel que ࢌሺࢻሻൌ ࡹ.

• ࢓ est le minimum de ࢌ sur D si et seulement si ࢌሺ࢞ሻ൒ ࢓ pour tout ࢞ de

D, et s'il existe un réel ࢻ dans D tel que ࢌሺࢻሻൌ ࢓. • On appelle extremum de ࢌsur D son maximum ou son minimum (s'il existe). • Si ࢓ ou ࡹ est un extremum de ࢌ sur un intervalle I ouvert inclus dans D, on dit que ࢓ ou ࡹ est un extremum local de ࢌ sur D

Exemples

1°)

La figure ci-dessus est la représentation graphique d'une fonction ݂ définie sur l'intervalle

D = [-0,5 ; 4,5 ]

Sur D, ݂admet un minimum ݉ ൌ ݂ሺെͲǡͷሻൎ െͷǡͳ͵ et un maximum ܯ

Sur I = ] 0 ; 4 [ intervalle ouvert contenu dans D, ݂admet un minimum local ܽ ൌ ݂ሺ͵ሻൌ ͳet un maximum local ܣ

2°)

La figure ci-dessus est la représentation graphique d'une fonction ݂ définie sur l'ensemble

D = ] - ; 2 [ ׫

Sur D, ݂ admet ni minimum, ni maximum.

II) Extremums et dérivée

Propriété :

Si une fonction ࢌ, dérivable sur un intervalle I, admet un extremum en ࢻ sur I et si ࢻ n'est pas une borne de I alors ࢌԢ(ࢻ) = 0

Démonstration :

Supposons que ݂ admette un maximum en ߙ, ߙ Il existe un intervalle ouvert J inclus dans I autour de ߙ tel que ݂ሺߙ

݂sur J.

Pour ݄ assez voisin de 0, ߙ൅݄ܬ߳et donc ݂ሺߙ ൅ ݄ሻ൑ ݂ሺߙ

Alors pour ݄ > 0 ௙ሺఈା௛ሻି௙ሺఈሻ

0 et pour ݄< 0 ௙ሺఈା௛ሻି௙ሺఈሻ

௛ 0

La fonction ݂ est dérivable sur I ୤ሺ஑ା௛ሻି୤ሺ஑ሻ

admet une limite ݂ǯሺߙ

0 et les rapports

étant aussi bien positifs que négatifs ݂ǯሺߙ que 0.

Démonstration analogue pour un minimum.

Attention :

La réciproque de cette propriété est fausse : de ࢌǯሺࢻሻൌ ૙ on ne peut pas déduire

que ࢌadmet un extremum en ࢻ. ( Voir exemple ci-dessous)

Exemple :

La fonction ݂ሺݔሻൌݔ

définie et dérivable sur Թ est strictement croissante sur Թ et pourtant ݂ǯሺݔሻൌ͵ݔ s'annule en ݔ ൌ Ͳsans que la fonction ait d'extremum en ce point.

En revanche :

si ࢌǯs'annule en changeant de signe en un réel ࢻ, ࢻ n'étant pas une borne de I,

alors ࢌ admet un extremum local en ࢻpuisque ࢌ est : • Soit croissante avant ࢻ et décroissante après (maximum local en ࢻ) • Soit décroissante avant ࢻ et croissante après (minimum local en ࢻ)

Exemples :

1) Soit la fonction݂ définie sur I = [ - 0,5 ; 4,5 ] par ݂ሺݔሻ =ݔ

݂est dérivable sur I (fonction polynôme ) dont la représentation graphique est : Graphiquement on conjecture que ݂ admet un maximum en ݔ = 1 et un minimum en ݔ = 3 (ces points n'étant pas des bornes de l'intervalle de définition). Montrons que la dérivée݂ǯ s'annule en ݔ = 1 et en ݔ = 3

On a ݂ǯሺݔሻൌ ͵ݔ

݂ǯሺͳሻ = 3 - 12 + 9 = 0 et ݂ǯሺ͵ሻ = 27 - 36 + 9 = 0

La propriété est bien vérifiée.

2) Exemple montrant la nécessité de l'hypothèse " Į n'est pas une borne de

l'intervalle I »

Soit la fonction݂ définie sur I = [ 0 ; 3] par ݂ሺݔሻ =ሺݔ െ ʹሻ

݂ est dérivable sur I (fonction polynôme ) dont la représentation graphique est : ݂ admet un minimum en 0 et un maximum en 3 qui sont les bornes d' l'intervalle de définition.

On a ݂ሺݔሻ = ݔ

൅ ͳʹݔ െ ͺ donc ݂ǯሺݔሻ = ͵ݔ

Donc ݂ǯሺͲሻൌ ͳʹ et ݂ǯሺ͵ሻൌ ͵ ces deux valeurs ne sont pas nulles.

3) Exemple montrant que la réciproque est fausse

En reprenant l'exemple précédent on peut calculer݂ǯሺʹሻ = 3 x 4 - 12 x 2 + 12 = 0 et pourtant ݔ = 2 n'est pas un extremum de ݂

4) En lisant un tableau de variation

Soit ݂une fonction définie et dérivable sur I = ሾെͶǢ͸ሿ dont on donne ci-dessous le

tableau de variation.

ݔ - 4 0 2 6

Variations de

5 3

െͳ 1

La lecture de ce tableau nous permet d'affirmer :

• Que ݂admet sur I un maximum en ݔ ൌെͶet un minimum en ݔ ൌ Ͳ

• Que sur ሿ െ ͳǢ͵ሾ ݂ admet un maximum local en ݔ ൌ ʹ et un minimum en ݔ ൌ Ͳ et que

par conséquence ݂ǯሺͲሻ = 0 et ݂ǯሺʹሻ = 0

• En outre on peut affirmer que ݂ሺǮݔሻ൒ Ͳ sur [0 ; 2] et ݂ǯሺݔሻ ൑ Ͳ sur ሾെͶǢͲሿ et sur

[2 ; 6].

III) Etude d'une fonction

Soit la fonction ݂ définie sur l'intervalle I = ሾെͶǢ͵ሿpar ݂ሺݔሻ = ௫

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