Exercice 7 : Mesures quantiques et évolution temporelle En physique quantique, l'état d'une particule ne peut être prédit : on connaıt seulement sa probabilité
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Licence 3 Semestre 2Quantique
Travaux dirig´es de m´ecanique quantique
olivier.legrand@unice.fr anders.kastberg@unice.fr olivier.alibart@unice.frFormalisme math
ematiqueExercice 1 :Commutateurs et traces
1.Montrer que
[A,BC] =B[A,C] + [A,B]C(1)2.La trace d"un op´erateur est la somme des ´el´ements diagonaux de sa matrice repr´esentative dans une
base donn´ee TrA=? nA nn(2)Montrer que
TrAB= TrBA(3)
et en d´eduire que la trace est invariante dans un changement de baseA→A?=SAS-1. La trace d"un
op´erateur est (heureusement!) ind´ependante de la base.3.Montrer que la trace est invariante par permutation circulaire
TrABC= TrBCA= TrCAB(4)
Exercice 2 :D´eterminant et trace
1.Soit une matriceA(t) d´ependant d"un param`etretv´erifiant
dA(t) dt=A(t)B Montrer queA(t) =A(0)exp(Bt). Quelle est la solution de dA(t) dt=BA(t)?2.Montrer que
deteAt1×deteAt2= deteA(t1+t2)
et que deteA= eTrA
ou de fa¸con ´equivalente detB= eTr lnB(1)Suggestion : obtenir une ´equation diff´erentielle pour l"op´erateurg(t) = det[exp(At)]. Les r´esultats sont
´evidents siAest diagonalisable.
Exercice 3 :Commutateurs et valeur propre d´eg´en´er´eeSoit trois matricesN×N A,BetCqui v´erifient
[A,B] = 0 [A,C] = 0 [B,C]?= 0 Montrer qu"au moins une valeur propre deAest d´eg´en´er´ee.2014/20151
Licence 3 Semestre 2Quantique
Exercice 4 :Matrices normales
Une matriceCest ditenormalesi elle commute avec la matrice hermitique conjugu´ee CC=CC
En ´ecrivant
C=12(C+C) + i12i(C-C) =A+ iB
montrer queCest diagonalisable. Exercice 5 :Matrices normales et d´ecomposition spectrale (`a chercherseul!)On se propose de d´emontrer le th´eor`eme de d´ecomposition spectrale d"un op´erateur normalMsans
faire appel `a la diagonalisabilit´e des op´erateurs hermitiques. Ainsi, comme il est ais´e de montrer que les
op´erateurs hermitiques et les op´erateurs unitaires sont normaux, le th´eor`eme de d´ecomposition spectrale
pour ces deux classes d"op´erateurs en d´ecoule.On veut donc ´etablir le th´eor`eme suivant : Tout op´erateur normalMsur un espace de HilbertHest
diagonal par rapport `a une base orthonorm´ee deH. R´eciproquement, tout op´erateur diagonalisable est
normal.1.Montrer la r´eciproque.
2.Pour d´emontrer la premi`ere proposition, on proc`ede par induction sur la dimensionddeH. Soitλ
une valeur propre deM,Ple projecteur sur le sous-espace propre associ´e `aλetQle projecteur sur le
compl´ement orthogonal `a ce sous-espace. On ´etablira d"abord queM=PMP+QMQ .(1)
D´emontrer ensuite queQMQest normal.
Par induction,QMQest diagonal par rapport `a une base orthonorm´ee du sous-espace associ´e `aQet
PMPest d´ej`a diagonal par rapport `a une base orthonorm´ee du sous-espace associ´e `aP. Il s"ensuit que
M=PMP+QMQest diagonal par rapport `a une base orthonorm´ee de l"espace total.3.Montrer qu"une matrice normale est hermitiquesi et seulement sielle poss`ede des valeurs propres
r´eelles.Exercice 6 :Identit´es op´eratorielles
1.Soit l"op´erateurf(t) fonction du param`etret
f(t) = etABe-tA o`u les op´erateursAetBsont repr´esent´es par des matricesN×N. Montrer que df dt= [A,f(t)]d2fdt2= [A,[A,f(t)]] etc.En d´eduire
e tABe-tA=B+t1![A,B] +t22![A,[A,B]] +...(1)
2.On suppose queAetBcommutent tous deux avec leur commutateur [A,B].´Ecrire une ´equation
diff´erentielle pour l"op´erateur g(t) = eAteBt et en d´eduire, par int´egration entret= 0 ett= 1, la relation eA+B= eAeBe-1
2[A,B](2)
Attention! Cette identit´e n"est pas g´en´eralementvalable. Elle n"est garantie que si [A,[A,B]] = [B,[A,B]] =
0. Montrer ´egalement avec les mˆemes hypoth`eses
eAeB= eBeAe[A,B](3)
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Postulats de la physique quantique
Exercice 7 :Mesures quantiques et ´evolution temporelleA. Mesure quantique
On consid`ere une base orthonorm´ee{|1?,|2?,|3?}o`u le hamiltonienHet une grandeur physiqueAsont repr´esent´es par les matrices :H=E0((
3 0 0 0 1 00 0-1))
etA=a(( 2 0 0 0 0 10 1 0))
(1) o`uE0etasont des constantes positives.1.a) On proc`ede `a une mesure de l"´energie. Quels r´esultats peut-on obtenir?
b) DiagonaliserA. c) On proc`ede `a une mesure de la grandeurA. Quels r´esultats peut-on obtenir?2.On pr´epare le syst`eme dans l"´etat :|ψ?=1
⎷3(|1?+|2?+|3?). a) Quelle est la probabilit´e pour qu"une mesure de l"´energie donne 3E0?b) Si le r´esultat d"une telle mesure est effectivement 3E0, quel est l"´etat du syst`eme apr`es la mesure?
c) Quel(s) r´esultat(s) donneraitalorsune mesure deA? Avec quelle(s) probabilit´e(s)?3.a) Quelle est la probabilit´e pour que l"´energie mesur´ee soitE0si le syst`eme est initialement dans l"´etat
|ψ?? Quel est l"´etat du syst`eme apr`es la mesure?b) Quels sontalorsles r´esultats possibles d"une mesure deA? Quelles sont les probabilit´es associ´ees?
c) On suppose que la mesure deAdonne-a. Quel est l"´etat du syst`eme apr`es la mesure?4.On effectue un grand nombre de mesures de l"´energie sur un grandnombre de syst`emes identiques tous
pr´epar´es dans l"´etat|ψ?. Quelle en est la moyenne?B. Mesure et ´evolution temporelle
L"´evolution du vecteur d"´etat d"un syst`eme quantique est r´egie par l"´equation de Schr¨odinger :
i?∂ ∂t|ψ(t)?=H|ψ(t)?.(2)o`u le hamiltonienHne d´epend pas du temps et poss`ede une base d"´etats propres{|φn?}, i.e.H|φn?=
E n|φn?, o`u l"on suppose que les ´energies propresEnsont non d´eg´en´er´ees.1.On d´ecompose le vecteur d"´etat dans cette base :|ψ(t)?=?
ncn(t)|φn?.Trouver l"´equation diff´erentielle que doit v´erifier chaque coefficientcn(t) et la r´esoudre.
2.Dans une base orthonorm´ee{|1?,|2?,|3?}, le hamiltonien a pour matrice repr´esentative :
H=?ω((
0 0 0 0 0 10 1 0))
(3) a) On suppose que le syst`eme est initialement dans l"´etat :|ψ(0)?=|3?.Calculer l"expression de|ψ(t)?dans la base{|φ0?,|φ+?,|φ-?}des ´etats propres deH, puis dans la base
initiale{|1?,|2?,|3?}. b) Quelle est la probabilit´eP2(t) pour que le syst`eme soit dans l"´etat|2?au tempst?3.On suppose maintenant que le syst`eme est initialement dans l"´etat:|ψ(0)?=1
⎷2(|1? - |2?). a) Calculer|ψ(t)?dans la base{|1?,|2?,|3?}.b) At=t0on mesure l"´energie et l"on trouve-?ω. Avec quelle probabilit´e? Que vaut|ψ(t)?pourt > t0?
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Exercice 8 :Dispersion et vecteurs propres
Montrer qu"une condition n´ecessaire et suffisante pour que|??soit vecteur propre d"un op´erateur hermi-
tiqueAest que la dispersion Δ?A= 0 o`u (Δ?A)2=?A2??-(?A??)2=?(A- ?A??I)2??.Exercice 9 :M´ethode variationelle
1.Soit|??un vecteur (non normalis´e) de l"espace de Hilbert des ´etats et un hamiltonienH. La valeur
moyenne?H??est ?H??=??|H|?? Montrer que si le minimum de cette valeur moyenne est obtenu pour|??=|?m?et le maximum pour |??=|?M?, alorsH|?m?=Em|?m?etH|?M?=EM|?M?
o`uEmetEMsont la plus petite et la plus grande valeur propre.3.SiHagit dans un espace `a deux dimensions, sa forme la plus g´en´erale est
H=?a+c b
b a-c? o`ubpeut toujours ˆetre choisi r´eel. En param´etrant|?(α)?sous la forme |?(α)?=?cosα/2 sinα/2?trouver les valeurs deα0en cherchant les extrema de??(α)|H|?(α)?. Retrouver ainsi que les vecteurs
propres deHsont |χ+?=?cosθ/2 sinθ/2? |χ-?=?-sinθ/2 cosθ/2? correspondant aux valeurs propresa+⎷ b2+c2eta-⎷b2+c2respectivement, l"angleθ´etant d´efini par c=? b2+c2cosθ b=? b2+c2sinθ . On notera que tanθ=b/c, et qu"il faut prendre garde `a choisir la bonne d´etermination deθ.Exercice 10 :Th´eor`eme de Feynman-Hellmann
Soit un op´erateur hermitiqueA(λ) d´ependant d"un param`etre r´eelλ,a(λ) une valeur propre simple et
|?(λ)?le vecteur propre normalis´e (||?(λ)||2= 1) correspondantA(λ)|?(λ)?=a(λ)|?(λ)?
Montrer que
∂a ?(λ)?(1) Exercice 11 :Op´erateur d"´evolution et repr´esentation de HeisenbergOn consid`ere un syst`eme dont l"hamiltonienHest ind´ependant du temps (syst`eme isol´e). Montrer que
le vecteur d"´etat `a l"instantt, not´e|ψ(t)?, se d´eduit du vecteur d"´etat `a l"instant initial|ψ(t0)?par la
formule : |ψ(t)?=U(t-t0)|ψ(t0)? avecU(τ) = exp[-iHτ/?].1.Montrer queU(τ) est unitaire.
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Licence 3 Semestre 2Quantique
2.On note|ψ(0)?l"´etat de ce syst`eme `a l"instantt= 0. On s"int´eresse `a la valeur moyennea(t) des
r´esultats de mesures d"une observableA`a l"instantt.a.Exprimera(t) en fonction de|ψ(0)?,Aet de l"op´erateur d"´evolutionU(t) introduit plus haut.
b.Montrer quea(t) peut s"interpr´eter comme la valeur moyenne d"un op´erateurA(t) dans l"´etat|ψ(0)?,
et queA(t) est d´etermin´e par : i?dA(t) dt= [A(t),H] etA(0) =A.(1)Cette approche est appel´ee repr´esentation (ou point de vue)de Heisenberg : le vecteur d"´etat est
ind´ependant du temps, et les op´erateurs ob´eissent `a l"´equation de Heisenberg (1).Exercice 12 :Point de vue de l"interaction
Un point de vue interm´ediaire entre celui de Schr¨odinger et celui de Heisenberg est lepoint de vue
de l"interaction(ou de Dirac). On l"utilise lorsqu"il est naturel de d´ecomposer l"hamiltonienHen un
hamiltonienlibreH0ind´ependant du temps, que l"on sait diagonaliser, et un hamiltonien d"interaction
W(t).L"objectif est de se d´ebarrasser de l"´evolution connue deH0. On d´efinit le vecteur d"´etat|˜ψ(t)?dans le
point de vue de l"interaction par ˜ψ(t)?= exp[iH0t/?]|ψ(t)? |˜ψ(t= 0)?=|ψ(t= 0)? Le point de vue de l"interaction co¨ıncide avec celui de Heisenberg siW= 0.