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Universit´e Paris-Sud
Licence et Magist`ere de Physique
Travaux Dirig´es
de M´ecanique Quantique
2008-2009
Table des mati`eresTD 1 :´Equation de Schr¨odinger1TD 2 :
´Etats li´es pour un puits quelconque3
TD 3 : Fonction d"onde dans l"espace des impulsions 5TD 4 : Repr´esentation et notation de Dirac8
TD 5 : La mesure10
TD 6 : Sym´etries - Syst`eme `a 2 niveaux13
TD 7 : Oscillateur harmonique - Produit tensoriel 16TD 8 : Moments cin´etiques - spin19
TD 9 : Particules identiques21
TD 10 : Atome d"hydrog`ene23
TD 11 : Composition des moments cin´etiques27
TD 12 : Perturbation ind´ependante du temps30
TD 13 : Perturbation d´ependante du temps33
T.D. no1 :´Equation de Schr¨odinger
A. Etats li´es - Quantification de l"´energie. On consid`ere une particule plong´ee dans un potentielV(x) en forme de puits carr´e, c"est `a dire d´efini par :V(x) =-V0<0 pour-a/2< x < a/2 et nul ailleurs. (Vx) 0x V/2 a-a/21/Quel est le mouvement d"une particule dans ce potentiel en m´ecanique classique?
2/On ´etudie le cas-V0< E <0 (´etats li´es).
a/ Ecrire l"´equation de Schr¨odinger et la r´esoudre s´epar´ement dans chacune des trois zones. On
pourra poser : k 0=? 2mV0 ?2, k=?-2mE?2etK=?2m(E+V0)
?2.(1)b/ On peut montrer que, dans le cas d"une discontinuit´e de potentiel finie, les fonctions d"ondes
restent born´ees, continues et de d´eriv´ee continue. Ecrire les relations qui en d´ecoulent et en
d´eduire que :?k-iK k+ iK?2=e2iKa.(2)
Quelle est la dimension de l"espace vectoriel des solutions, pour une valeur donn´ee de l"´energie?
c/ On peut montrer que l"´equation pr´ec´edente est ´equivalente au syst`eme : |sin(Ka2)|=Kk0lorsque tan(Ka2)<0,(3)
|cos(Ka2)|=Kk0.lorsque tan(Ka2)>0 (4)
Montrer par une m´ethode graphique simple qu"il y a quantification des ´energies. Que se passe-t-il
lorsque le puits devient tr`es profond? B. Etats libres - Courant de probabilit´e - R´eflexion, transmission1/Dans le cas du puits carr´e pr´ec´edent, on ´etudie maintenant le casE >0 (´etats libres).
a/ R´esoudre l"´equation de Schr¨odinger dans chacune des trois zones et ´ecrire les relations de
raccordement. 1 b/ Montrer que pour toute ´energieE, les solutions forment un espace vectoriel de dimension deux. Montrer que toute solution peut se d´ecomposer en deuxondes planes qui se propagent en sens contraire. Peut-on normer ces solutions?2/Soitφ(?r,t) la fonction d"onde d"une particule de massemplac´ee dans un potentielV(?r).
On d´efinit la densit´e de probabilit´e de pr´esence de la particule au point?ret `a l"instantt
par :ρ(?r,t) =|φ(?r,t)|2=
φ(?r,t)φ(?r,t).(5)
a/ Montrer que cette densit´e satisfait `a l"´equation deconservation: ∂t+?? ·?J= 0 (6) o`u lecourant de probabilit´e?Jest donn´e par : J=?2mi?φ(??φ)-(??φ)φ?
.(7) b/ Donner ?Jpour une fonction d"onde de la forme :φ(?r,t) =Aeif(?r,t).(8)
c/ Pr´eciser ?Jdans le cas d"une onde plane,f(?r,t) =?k·?r-ωt.3/On consid`ere une particule de massem, soumise au potentiel `a une dimension suivant :
V(x) =-V0pourx <0 (V0>0),(9)
V(x) = 0 pourx >0.(10)
On s"int´eresse dor´enavant aux ´etats stationnaires d"´energie positive, repr´esentant une onde se
propageant depuis +∞, partiellement r´efl´echie enx= 0 et partiellement transmise. a/ Expliquer bri`evement pourquoi on choisira les fonctions d"onde sous la forme :φ(x) =Ae-iKxpourx <0 (11)
φ(x) =e-ikx+Beikxpourx >0 (12)
o`uK=?2m(E+V0)/?etk=⎷2mE/?.
b/ Ecrire les conditions de raccordement en 0, et calculerAetBen fonction deKetk. c/ Calculer le courant pourx <0 puisx >0. Identifier les courants incidentJi, r´efl´echiJret transmisJt. d/ On d´efinit un coefficient de r´eflexionRet de transmissionTpar :R=????J
rJi????
etT=????J tJi???? .(13)V´erifier queR+T= 1.
e/ Calculer la limite deRet deTpourktendant vers 0 et pourktendant vers l"infini. Comparer avec les r´esultats de la m´ecanique classique. 2 T.D. no2 :´Etats li´es pour un puits quelconque - Origine de la quantification de l"´energieOn consid`ere une particule sans spin plong´ee dans un potentielV(x) et caract´eris´ee par une
fonction d"ondeφ(x) (probl`eme `a une dimension). Le puits de potentielV(x) a l"allure suivante :1/Rappeler l"´equation de Schr¨odinger que v´erifie la fonction d"onde d´ecrivant un ´etat station-
naire d"´energieE. Quelle est a priori la dimension de l"espace vectoriel des solutions?2/Les casE < Vminsont ils physiquement acceptables? Discuter ensuite le casE=Vminet
comparer avec les r´esultats de la m´ecanique classique. Conclure que n´ecessairementE > Vmin.
3/Quel est le comportement `a l"infini deφ(x) selon les cas :Vmin< E < V2;V2< E < V1;
V1< E. Quels sont les ´etats li´es et les ´etats libres?
4/Dans le casVmin< E < V2, on va montrer (de fa¸con intuitive) qu"il y a quantification
des ´etats. Repr´esenter sch´ematiquement la fonction d"onde de l"´etat fondamental. En supposant
arbitrairement que la fonction d"onde s"annule quandx→ -∞, comment se d´eforme la solution
de l"´equation de Schr¨odinger si l"on augmente tr`es l´eg`erementE? Parmi toutes les solutions,
seul un nombre fini d"entre elles v´erifie les conditions du 3). En particulier, remarquer que l"on
peut ici caract´eriser chaque ´etat li´e par le nombre de z´eros de la fonction d"onde. (voir la r´esolution num´erique jointe) 3Pour la figure
4 T.D. no3 : Fonction d"onde dans l"espace des impulsionsA. Fonction d"onde dans l"espace des impulsions
D efinitionsSoitψ(x,t) la fonction d"onde norm´ee `a 1 d"une particule sur un axe etφ(k,t) sa transform´ee
de Fourier (T.F.) :φ(k,t) =1
⎷2π?ψ(x,t)e-ikxdx .
En utilisant la relation de de Broglieλ=h/p??p=?k, on d´efinit la fonction :ψ(p,t) =1
⎷?φ(p/?,t) =1⎷2π??ψ(x,t)exp(-ipx?)dx ,
o`u le facteur 1/⎷?est introduit pour que˜ψ(p,t) soit norm´ee `a l"unit´e)˜ψ(p,t) est la fonction d"onde dans l"espace des impulsions. On admet, ce qui n"est pas ´evident,
que|˜ψ(p,t)|2est la densit´e de probabilit´e dep. Remarques: il est facile de montrer que la fonction d"onde dans l"espace des positions s"obtient `a partir de celle dans l"espace des impulsions par :ψ(x,t) =1
⎷2π?? -∞˜ψ(p,t)exp(ipx?)dp.La fonction d"onde dans l"espace des impulsions
˜ψ(p,t) d´efinit compl`etement `a elle seule l"´etat de la particule, aussi bien queψ(x,t), fonction d"onde dans l"espace des positions, puisqu"on passe de l"une `a l"autre de fa¸con univoque par T.F. ou T.F. inverse.1/ Puits carr´e infini
a/ Calculer les ´energies et les fonctions d"onde stationnaires, norm´ees `a l"unit´e, d"une particule
dans un puits carr´e infini dont les bords sont situ´es en 0 eta. Tracer les fonctions d"onde associ´ees
aux 3 premiers niveaux. b/ Montrer que les fonctions d"onde dans l"espace des impulsions s"´ecrivent :ψ(p) =1
2i? aπ?ei(nπ/2-pa/2?)?
sinc(pa2?-nπ2) + (-1)n+1sinc(pa2?+nπ2)? avec : sinc(u) =sinu u Repr´esenter graphiquement sinc(u), indiquer l"abscisse du premier z´ero de part et d"autre de l"origine. Puis repr´esenter graphiquement sinc( pa2?-nπ2) et sinc(pa2?+nπ2) en fonction dep.
c/ Montrer que pourngrand on a :˜ψ(p)|2?a
4π??
sinc2(pa2?-nπ2) + sinc2(pa2?+nπ2)? d/ Indiquer sur un graphique l"allure de cette courbe. Donner les positions et l"´ecartement desdeux pics principaux, ainsi que leur largeur `a la base. Que deviennent l"´ecartement et la largeur
des deux pics principaux quandntend vers l"infini? 5e/ D´ecrire le mouvement d"une particule de mˆeme ´energieE=n2π2?2/2ma2et de mˆeme masse
dans le mˆeme potentiel en m´ecanique classique et donner lavaleur de son impulsion en fonction
den,?eta.f/ Indiquer, pour l"impulsion, ce qui est semblable et ce quidiff`ere en m´ecanique classique et en
m´ecanique quantique, quandntend vers l"infini.2/ Densit´es de probabilit´e pour les ´etats stationnaires
Montrer que, pour un ´etat stationnaire,|ψ(x,t)|2et|˜ψ(p,t)|2sont ind´ependants du temps.
3/ ´Equation de Schr¨odinger dans l"espace des impulsions(facultatif)En prenant la transform´ee de Fourier des deux membres de l"´equation de Schr¨odinger d´ependant
du temps, indiquer `a quelle ´equation ob´eit˜ψ(p,t).B. Relation d"Heisenberg position-impulsion
1/ Lien avec la transform´ee de Fourier
En utilisant les propri´et´es de la transformation de Fourier indiqu´ees ci-dessous, retrouver la
relation :ΔxΔp??/2.
2/ Exemple : oscillateur harmonique
La fonction d"onde de l"´etat fondamental (´etat stationnaire de plus basse ´energie) de l"oscillateur
harmonique `a une dimension (V(x) = 1/2mΩ2x2), s"´ecrit : mΩπ?)1
4exp(-mΩx22?)exp(-iEt?).
Calculer Δx, Δp, ΔxΔppour toutt.
3/ Exemple : puits carr´e infini(facultatif)
Dans le cas de la particule confin´ee dans un puits carr´e infini situ´e entre 0 eta, calculer Δx,
Δp, ΔxΔp.
Vers quelle valeur tend ΔxΔpquand l"´energie tend vers l"infini? Pr´eciser la signification de ce
comportement en utilisant les r´esultats du A-1).4/ Un argument heuristique pour estimer l"´energie du fondamental.(facultatif)
L"in´egalit´e de Heisenberg montre que lorsqu"une particule est confin´ee dans une r´egion de dimen-
sionL, son ´energie cin´etiqueEc=p2/(2m) est d"ordreEc≂?2/(mL2). Utiliser cette remarque pour trouver l"ordre de grandeur de l"´energie du fondamental de : a/ l"oscillateur harmonique unidimensionnelH=p22m+12mω2x2.
b/ L"atome d"Hydrog`eneH=?p22m-e2r.
6 Propri´et´es de la transformation de Fourier D´efinition :soitψ(x) une fonction complexe de variable r´eelle telle que?+∞ -∞ψ(x)dxexiste (?ψest sommable). Alors l"int´egrale : 1 ⎷2π?ψ(x)e-ikxdx
existe?ket d´efinit une nouvelle fonction˜ψ(k) qui est par d´efinition la transform´ee de
Fourier deψ(x). On a de plus :
ψ(x) =1
⎷2π? -∞˜ψ(k)eikxdk ψ(x) est la transform´ee de Fourier inverse de˜ψ(k). Propri´et´es utiles de la transformation de Fourier :FonctionTransform´ee de Fourier
ψ(x) =1⎷2π?
-∞˜ψ(k)eikxdk˜ψ(k) =1⎷2π? -∞ψ(x)e-ikxdxλψ(x)λ˜ψ(k)
ψ(ax) (ar´eel)1
|a|˜ψ(ka) -ixψ(x)d˜ψ dk dψ dxik˜ψ(k) eik0xψ(x)˜ψ(k-k0)ψ(x+x0)eikx0˜ψ(k)
e-x22e-k22Formule de Parseval-Plancherel :?+∞
ψ?1(x)ψ2(x)dx=?
-∞˜ψ?1(k)˜ψ2(k)dk(conservation du produit scalaire) |ψ(x)|2dx=? |˜ψ(k)|2dk(conservation de la norme)ψ(k)→0 quandk→ ±∞
et :ΔxΔk?1
2avec :
Δx= ´ecart type dex=?
|ψ(x)|2(x-< x >)2dx? 1 2,Δk= ´ecart type dek=?
|˜ψ(k)|2(k-< k >)2dk? 1 2. 7 T.D. no4 : Repr´esentation et notation de DiracA. Calcul formel en notation de Dirac
1/ Associativit´e
Soitλun scalaire,|u>,|v>,|w>des ´etats physiques, on notera : A=|u>2. Donner la nature (scalaire, vecteur ou op´erateur) des objets suivants et les simplifier, le
cas ´ech´eant.C|u>
A
ACλB
3. D"apr`es ce qui pr´ec`ede, justifier que :|u> 2/ Conjugaison
Soitλun scalaire,|u >,|v >,|w >des ´etats physiques,Aun op´erateur. La conjugu´ee hermitique d"une s´equence donn´ee s"obtient en prenant las´equence dansl"ordre inverse, et en
rempla¸cant chaque terme par son conjugu´e, suivant la correspondance suivante : |x >←→< x| A-→A
Calculer la conjugu´ee des objets suivants et pr´eciser leur nature : A|u>
A|u> |u> < x|λi|y >< z|
B. Changement de repr´esentation
Soit|1>,|2>,|3>une base canonique d"un espace `a trois dimension. Dans cette base canonique, la repr´esentation matricielle de ces vecteursest donc : |1>↔((100)) |2>↔((010)) |3>↔((001)) On d´efinit :|u>=|1>
⎷2+|2>⎷2et|v>=|1>2-|2>2+ i|3>⎷2 1. Donner la repr´esentation matricielle de|u>,.
2. Donner la repr´esentation matricielle de|φ >=|u>
2+ i⎷
3 2|v>. 3. Donner la repr´esentation matricielle de|u> 8 C. Commutateurs
Soit deux op´erateursAetBagissant dans un espaceE. On appelle commutateur deAetB l"´op´erateurAB-BAet on le note [A,B]. 1/ R`egles de calculs
On a les propri´et´es suivantes :
[A,B] =-[B,A](1) [λA,B] =λ[A,B](2) [A+B,C] = [A,C] + [B,C] (3) [A,BC] =B[A,C] + [A,B]C(4) D´emontrer ces propri´et´es.
Calculer l"adjoint de l"op´erateur correspondant `a la matrice : (1 0 31 0i 0-1 2))
Un op´erateurAest dit hermitien (ou auto-adjoint) lorsqu"il v´erifieA=A. Lesquelles des
matrices suivantes correspondent `a des op´erateurs hermitiens? (1 0 30 0 23 2i)) ,?1i -i2? Montrer que le produit de deux op´erateurs hermitiens n"esthermitien que si ces deux op´erateurs commutent. Donner des exemples. 2/ Application
Soit une particule de massemdont la fonction d"onde est r´egie par le hamiltonien `a une dimension :ˆH= ˆp2/(2m) +V(ˆx) 1. Montrer que [ˆx,ˆp] =i?
2. Montrer que [ˆxn,ˆp] =ni?xn-1
3. Montrer que [V(ˆx),ˆp] =i?∂V
∂x(ˆx) 4. Montrer que [ˆx,ˆp2] = 2i?ˆp
5. D´eduire de ce qui pr´ec`ede les expressions de [
ˆH,ˆp], [ˆH,ˆx] et [ˆH,ˆxˆp] en fonction de ˆx, ˆp etV(ˆx).quotesdbs_dbs19.pdfusesText_25
2/ Conjugaison
Soitλun scalaire,|u >,|v >,|w >des ´etats physiques,Aun op´erateur. La conjugu´eehermitique d"une s´equence donn´ee s"obtient en prenant las´equence dansl"ordre inverse, et en
rempla¸cant chaque terme par son conjugu´e, suivant la correspondance suivante : |x >←→< x|A-→A
Calculer la conjugu´ee des objets suivants et pr´eciser leur nature :A|u>
A|u> |u> < x|λi|y >< z|
B. Changement de repr´esentation
Soit|1>,|2>,|3>une base canonique d"un espace `a trois dimension. Dans cette base canonique, la repr´esentation matricielle de ces vecteursest donc : |1>↔((100)) |2>↔((010)) |3>↔((001)) On d´efinit :|u>=|1>
⎷2+|2>⎷2et|v>=|1>2-|2>2+ i|3>⎷2 1. Donner la repr´esentation matricielle de|u>,.
2. Donner la repr´esentation matricielle de|φ >=|u>
2+ i⎷
3 2|v>. 3. Donner la repr´esentation matricielle de|u> 8 C. Commutateurs
Soit deux op´erateursAetBagissant dans un espaceE. On appelle commutateur deAetB l"´op´erateurAB-BAet on le note [A,B]. 1/ R`egles de calculs
On a les propri´et´es suivantes :
[A,B] =-[B,A](1) [λA,B] =λ[A,B](2) [A+B,C] = [A,C] + [B,C] (3) [A,BC] =B[A,C] + [A,B]C(4) D´emontrer ces propri´et´es.
Calculer l"adjoint de l"op´erateur correspondant `a la matrice : (1 0 31 0i 0-1 2))
Un op´erateurAest dit hermitien (ou auto-adjoint) lorsqu"il v´erifieA=A. Lesquelles des
matrices suivantes correspondent `a des op´erateurs hermitiens? (1 0 30 0 23 2i)) ,?1i -i2? Montrer que le produit de deux op´erateurs hermitiens n"esthermitien que si ces deux op´erateurs commutent. Donner des exemples. 2/ Application
Soit une particule de massemdont la fonction d"onde est r´egie par le hamiltonien `a une dimension :ˆH= ˆp2/(2m) +V(ˆx) 1. Montrer que [ˆx,ˆp] =i?
2. Montrer que [ˆxn,ˆp] =ni?xn-1
3. Montrer que [V(ˆx),ˆp] =i?∂V
∂x(ˆx) 4. Montrer que [ˆx,ˆp2] = 2i?ˆp
5. D´eduire de ce qui pr´ec`ede les expressions de [
ˆH,ˆp], [ˆH,ˆx] et [ˆH,ˆxˆp] en fonction de ˆx, ˆp etV(ˆx).quotesdbs_dbs19.pdfusesText_25
|u> < x|λi|y >< z|
B. Changement de repr´esentation
Soit|1>,|2>,|3>une base canonique d"un espace `a trois dimension. Dans cette base canonique, la repr´esentation matricielle de ces vecteursest donc : |1>↔((100)) |2>↔((010)) |3>↔((001))On d´efinit :|u>=|1>
⎷2+|2>⎷2et|v>=|1>2-|2>2+ i|3>⎷21. Donner la repr´esentation matricielle de|u>,.
2. Donner la repr´esentation matricielle de|φ >=|u>
2+ i⎷
3 2|v>.3. Donner la repr´esentation matricielle de|u> 8 C. Commutateurs
Soit deux op´erateursAetBagissant dans un espaceE. On appelle commutateur deAetB l"´op´erateurAB-BAet on le note [A,B]. 1/ R`egles de calculs
On a les propri´et´es suivantes :
[A,B] =-[B,A](1) [λA,B] =λ[A,B](2) [A+B,C] = [A,C] + [B,C] (3) [A,BC] =B[A,C] + [A,B]C(4) D´emontrer ces propri´et´es.
Calculer l"adjoint de l"op´erateur correspondant `a la matrice : (1 0 31 0i 0-1 2))
Un op´erateurAest dit hermitien (ou auto-adjoint) lorsqu"il v´erifieA=A. Lesquelles des
matrices suivantes correspondent `a des op´erateurs hermitiens? (1 0 30 0 23 2i)) ,?1i -i2? Montrer que le produit de deux op´erateurs hermitiens n"esthermitien que si ces deux op´erateurs commutent. Donner des exemples. 2/ Application
Soit une particule de massemdont la fonction d"onde est r´egie par le hamiltonien `a une dimension :ˆH= ˆp2/(2m) +V(ˆx) 1. Montrer que [ˆx,ˆp] =i?
2. Montrer que [ˆxn,ˆp] =ni?xn-1
3. Montrer que [V(ˆx),ˆp] =i?∂V
∂x(ˆx) 4. Montrer que [ˆx,ˆp2] = 2i?ˆp
5. D´eduire de ce qui pr´ec`ede les expressions de [
ˆH,ˆp], [ˆH,ˆx] et [ˆH,ˆxˆp] en fonction de ˆx, ˆp etV(ˆx).quotesdbs_dbs19.pdfusesText_25
C. Commutateurs
Soit deux op´erateursAetBagissant dans un espaceE. On appelle commutateur deAetB l"´op´erateurAB-BAet on le note [A,B].1/ R`egles de calculs
On a les propri´et´es suivantes :
[A,B] =-[B,A](1) [λA,B] =λ[A,B](2) [A+B,C] = [A,C] + [B,C] (3) [A,BC] =B[A,C] + [A,B]C(4)D´emontrer ces propri´et´es.
Calculer l"adjoint de l"op´erateur correspondant `a la matrice : (1 0 31 0i0-1 2))
Un op´erateurAest dit hermitien (ou auto-adjoint) lorsqu"il v´erifieA=A. Lesquelles des
matrices suivantes correspondent `a des op´erateurs hermitiens? (1 0 30 0 23 2i)) ,?1i -i2? Montrer que le produit de deux op´erateurs hermitiens n"esthermitien que si ces deux op´erateurs commutent. Donner des exemples.