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Les statistiques
1. Notion de population et d'échantillon:
En statistiques, la volonté principale est de pouvoir décrire et d'analyser des données relatives à des phénomènes qui vontêtre caractérisés par des données.
Le problème de l'utilisation ultérieure de ces caractéristiques sera de savoir si elle sont bien transférables et généralisable s à un groupe plus élargi, alors qu'elles sont issues en fait la plupart du temps, d'un sous ensemble réduit de ce groupe. Cela renvoie à une notion essentielle en statistique: la population et l'échantillon.1.1. Populations:
La population réfère à l'intégralité des individus ou organisations répondant à un certain nombre de caractères communs (hommes âgés entre 30 et 40 ans, p.e.). Une population peut être de faible effectif (hommes ayant mis le pied sur la lune), ou au contraire (la plupart du temps) de grand effectif (sujets sportifs de niveau international). Dès lors, il est impossible physiquement de les réunir dans une étude unique, aussi ambitieuse soit-elle. Il faut donc procéder à un découpage de cette population, c'est-à-dire à la définition d'un échan tillon.1.2. Echantillon issu d'une population:
Un échantillon sera défini comme étant un sous-ensemble (à priori représentatif) d'une population. Les caractéristiques devront être les mêmes pour que celle de la population dont l'échantillon sera issu. Statistiques - Master 1 Tronc commun - UE3 E1 - Page 1 La plupart du temps un échantillon type n'existe pas et l'expérimentateur devra alors opérer des choix difficiles et délicats afin que l'échantillon soit représentatif de la population. Dans le cas inverse, les conclusions des descriptions ne pourront être considérées valides que pour l'échantillon, c'est-à- dire que toute généralisation devient impossible donc l'étude perd toute sa raison d'être (p.e. enquête d'opinion). Dans certains cas, des principes peuvent être édictés (code INSEE), sinon l'expérimentateur aura recours à un échantillon tiré au hasard (random sample).1.3. Echantillon tiré au hasard:
S'il existe un grand nombre de moyens de soustraire un échantillon, la validité de la généralisation dépend des choix méthodologiques. Dans un tirage au sort, la règle de base consiste à respecter deux conditions: a)chaque membre de la population à une égalité de chance d'être choisi b)chaque choix est indépendant des autres En pratique, ces conditions ne peuvent être respectées que s'il est possible d'attribuer un nombre à chaque sujet, puis d'opérer un tirage au sort, ou par l'utilisation de tables de tirage au sort . Il est très souvent impossible d'opérer strictement à de tels tirages au sort. Il convient alors de connaître et de définir des règles de sélection sur des critères les plus objectifs possibles et en tout état de cause basés sur des connaissances précises permettant de caractériser l'échantillon et de répartir les sujets testés dans des groupes distincts (le cas échéant) après tirage au sort. Toutes les possibilités de biais Statistiques - Master 1 Tronc commun - UE3 E1 - Page 2 pouvant rendre une sélection non indépendante doivent doncêtre soigneusement examinées.
Quand le tri au hasard est possible : il s'agit de randomisation SINON on peut recourir à des techniques comme l'appariement (sur un certain nombre de variables).2. Les statistiques descriptives
2.1. Notions de paramètres et de statistiques:
Lorsque l'on cherche à réduire une information pour mieux la comprendre, on est amené à utiliser deux notions fondamentales: la mesure de la tendance centrale (moyenne ou médiane) et la dispersion autour de cette tendance centrale (range, écart-type...). Ces deux notions sont appelées paramètres. Une statistique renvoie plus globalement à toute estimation d'un ou plusieurs paramètres concernant une population et a été proposé pour la première fois par Fisher en 1925. Par extrapolation, on a appelé les statistiques toutes les procédures permettant d'exprimer des paramètres ou d'en étudier leur comportement dans des situations spécifiques. Comme nous l'avons vu plus haut, la sélection d'un échantillon idéal n'existe que très rarement. C'est pourquoi, il faut admettre que les paramètres issus de plusieurs échantillons d'une même population peuvent présenter des variations (taille des étudiants de la moitié d'un amphi, p.e.). Cela renvoie à la notion d'intervalle de confiance d'un paramètre statistique et appelle quelques remarques: Statistiques - Master 1 Tronc commun - UE3 E1 - Page 3 * la nécessité de recruter autant de sujets possibles afin de minimiser les sous-estimations et les sur-estimations par l'obtention d'une moyenne stable sur le long terme * si un paramètre est obtenu sur un échantillon réduit, sa représentativité devra être discutée au regard de valeurs de références (si celles-ci existent) * un paramètre statistique sera d'autant plus consistent et fiable que l'échantillon sera suffisamment grand. En statistique, par convention, les lettres grecques sont utilisées pour exprimer des paramètres sur des populations, et les lettres romaines pour les paramètres d'échantillons. Ex: N Xi N i 1 représente le calcul de la moyenne d'une population de N sujets n Xi X n i 1 représente le calcul de la moyenne d'un échantillon de n sujets2.2. Les méthodes de mesure de la tendance centrale:
2.2.1. Moyennes:
La valeur centrale qui résume au mieux une distribution de données de scores est la moyenne arithmétique: Statistiques - Master 1 Tronc commun - UE3 E1 - Page 4 n Xi X n i 1 ou plus simplement: N x X La moyenne a une propriété fondamentale: la somme desécarts à la moyenne est nulle:
)(XXi = 0Autres expressions de moyennes:
- la moyenne géométrique, définie comme la racine nième du produit des n valeurs, ces dernières étant toutes strictement positives, n n i n nXiXXXXgX 1321....
Cette moyenne est utilisée :
a)quand on veut calculer la tendance centrale de ratios et qu'il est souhaité leur donner le même poids b)quand on veut moyenner des changements exprimés en pourcentage - la moyenne harmonique, définie comme l'inverse de la moyenne arithmétique des inverses des n valeurs, ces dernières étant toutes strictement positives. Xi n Xin XH 1111 Cette moyenne est utilisée quand on veut moyenner des taux (rare). Statistiques - Master 1 Tronc commun - UE3 E1 - Page 5 Lorsque l'on souhaite calculer une moyenne arithmétique plus rapidement, il est possible de passer par un tableau de fréquences et la moyenne est calculée ainsi: n fiXi X i k 1 où k = nombre de classes différentes.