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TD d"Économie - Julien GrenetÉcole Normale SupérieureAnnée 2007-2008
Vade mecum : Calcul des taux de croissance
Cette annexe aux TD sur la croissance expose la méthode de calcul des taux de crois- sance en temps continu et en temps discret.1 Temps continu
Soity=f(t)une variable dont l"évolution au cours du temps est décrite par la fonction f. Taux de croissance d"une variable :La dérivée de la variableypar rapport au temps est par convention notéey= ∂f(t) ∂tet indique la variation instantanée deyent.Le taux de croissance de cette fonction, notég
yest défini comme le rapport de cette variation temporelle à la valeur de la fonctionfen un instanttdu temps, soit : g y=yy= ∂f(t) ∂t f(t) Taux de croissance d"un produit de variables :Dans la plupart des applications économiques, la fonctionfs"écrit souvent comme le produit de plusieurs variables qui dépendent ou pas du temps : f(t) =kh(t)αl(t)β(1)
Pour calculer le taux de croissance deyen fonction du taux de croissance de ces autres variables, on utilise la propriété suivante : gy=y y=∂lnf(t) ∂t Autrement dit, le taux de croissance d"une variable qui dépend du temps n"est rien d"autre que la dérivée du logarithme de cette variable par rapport autemps. Utilisons cette propriété pour calculer le taux de croissance defen fonction du taux de croissance des variables du membre de droite de l"équation (1). On commence par calculer le logarithme dey: lny= lnf(t) = lnk+αlnh(t) +βlnl(t) Dérivons cette expression par rapport au temps : ∂lnf(t) soit : g y=α.gh+β.gl oùghetgldésignent les taux de croissance des variables dont l"évolution au cours du temps est décrite par les fonctionshetlrespectivement. 1 Exemple-type :On demande de calculer le taux de croissance d"une la variableYqui vérifie l"équation suivante :Y(t) =[A(t)]
α[B(t)]β
[C(t)]γ En utilisant la méthode de log-différenciation, on montre aisément que : g y=α.gA+β.gB-γ.gC Propriété importante :si une variableycroît au taux constanta, alors : y=f(t) =eatf(0)La démonstration de cette propriété est une application directe de la méthode de résolution
des équations différentielles linéaires du premier ordre. La solution générale d"une équation
du typex=axestx(t) =ke at. Pour s"en convaincre, il suffit de différencierkeatparrapport àtet vérifier que l"équation différentielle est satisfaite : sadérivée est en effeta
fois elle-même. Pour trouver la valeur dek, il suffit d"annuler cette équation, ce qui donne : k=x(0).