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Exercices SpeAlgebreAlgebre

lineaire (revision)Arithm´etique

R´eduction

Dualit´eEspaces

vectoriels euclidiensAnalyse

Espaces

vectoriels normesCalcul diff´erentielSuites et s´eries de fonctionsGeometrie

DualiteConiques

et quadriquesFormes diff´erentiellesAnalyse

Series

numeriquesS´eries enti`eresS´eries de

FourierAnalyseIntegrales

a parametreInt´egrales multiples´

Equations

diff´erentielles.

Professeur Docteur-Agrege

CPGE My Youssef, Rabat,

myismail.chez.com mamouni.myismail@gmail.comMy Ismail Mamouni .Annales CNC

MP-TSI-PSI-BCPST

27 concours corrigés

AEΦΥΥΣffΘß

ROYAUME DUMAROC

Minist

OEere de l"?Education Nationale, de l"Enseignement Sup ?erieur, de la Formation des Cadres et de la Recherche ScientiΘque Pr

´esidence du Concours National Commun 2006

´Ecole Mohammadia d'Ing´enieurs

EMI

Concours National Commun

d'Admission aux

Grandes

´Ecoles d'Ing´enieurs ou Assimil´ees

Session 2006

EPREUVE DEMATH?EMATIQUESII

Dur ?ee 4 heures Fili

OEereMP

Cette ?epreuve comporte 4 pages au format A4, en plus de cette page de garde

L"usage de la calculatrice estinterdit

Concours National Commun - Session 2006 - MP

L"?enonc?e de cette ?epreuve, particuliOEere aux candidats du concoursMP, comporte 4 pages.

L"usage de la calculatrice estinterdit.

Les candidats sont inform?es que la pr?ecision des raisonnements ainsi que le soin apport?e OEa la r?edaction et

OEa la pr?esentation des copies seront des ?el?ements pris en compte dans la notation. Il convient en particulier de

rappeler avec pr?ecision les r ?ef?erences des questions abord?ees

Si, au cours de l"

?epreuve, un candidat repOEere ce qui peut lui semblerˆetre une erreur d"?enonc?e, il

le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu"il est

amen ?eOEa prendre.

NOTATIONS ET RAPPELS

Dans tout le probl

OEeme,Kd?esigne le corps des r?eels ou celui des complexes (K=RouC) etn un entier naturel sup ?erieur ou?egalOEa2. Sip2N?, on noteMn;p(K)l"espace vectoriel des matrices OE a coefΘcients dansK,OEanlignes etpcolonnes; sip=n,Mn;p(K)est not?e simplementMn(K), c"est l"alg OEebre des matrices carr?ees d"ordrenOEa coefΘcients dansK. Le groupe des matrices inversibles de M n(K)est not?eGLn(K)et la matrice identit?e se noteraIn. Pour toute matriceAdeMn;p(K),tAd?esigne la matrice transpos?ee deAetrg(A) son rang. Si p=n,SpK(A)repr?esente l"ensemble des valeurs propres deAappartenantOEaK,Tr(A)sa trace et Ason polynˆome caract?eristique; il est d?eΘni par

8λ2K, χA(λ) = det(A¡λ In).

Pour tout couple(i,j)d"?el?ements def1,...,ng, on noteEi;jla matrice deMn(K)dont tous les

coefΘcients sont nuls sauf celui de lai-OEeme ligne et laj-OEeme colonne valant1; on rappelle que la

famille¡Ei;j¢ ?6i;j6nest une base deMn(K), dite base canonique, et que

8(i,j,k,l)2 f1,...,ng?, Ei;jEk;l=δj;kEi;l,avecδj;k= 1 sij=ket 0 sinon.

Pour tout couple(P,Q)d"?el?ements deGLn(K), on noterauP;QetvP;Qles endomorphismes de M n(K)d?eΘnis par

8M2 Mn(K), uP;Q(M) =PMQetvP;Q(M) =PtMQ.

PR ?ELIMINAIRES 1.

SoitA= (ai;j)2 Mn(K).

(a) Pour tout couple(i,j)d"?el?ements def1,...,ng, exprimer les matricesAEi;jetEi;jAdans la base canonique deMn(K). (b) On suppose que, pour toute matriceM2 Mn(K),AM=MA; montrer queAest une matrice scalaire, c"est

OEa dire de la formeλInavecλ2K.

2.

SoitA= (ai;j)2 Mn(K).

(a) Pour tout couple(i,j)d"?el?ements def1,...,ng, exprimer la trace de la matriceAEi;j. (b) On suppose que, pour toute matriceM2 Mn(K),Tr(AM) = 0; montrer queAest nulle. 3. Montrer que, pour tout couple(A,B)d"?el?ements deMn(K),Tr(AB) = Tr(BA). 4. Justier que, pour toutP,Q2GLn(K), les endomorphismesuP;QetvP;Qconservent le rang. Epreuve de Math´ematiques II 1 / 4 Tournez la page S.V.P.

Concours National Commun - Session 2006 - MP

Dans la suite du problOEeme, on admettra que tout endomorphismeΦdeMn(C)qui conserve le rang, c"est OEa dire tel que

8M2 Mn(C),rg(Φ(M)) = rg(M),

est de la formeuP;QouvP;Qpour un certain couple(P,Q)d"?el?ements deGLn(C). PREMI

OEERE PARTIE

A. ?Etude des endomorphismes deMn(C)qui conservent le d?eterminant Dans cette section ,Φd?esigne un endomorphisme deMn(C)qui conserve le d?eterminant, c"est OE a dire tel que

8M2 Mn(C),detΦ(M) = detM.

Pour toutr2 f1,...,ng, on poseKr=In¡JroOEuJrest la matrice deMn(C)d?eΘnie par J r=µIr0 1. Soits2 f1,...,nget soitA= (ai;j)2 Mn(C)une matrice quelconque. Montrer que det(λJs+A)est, en fonction deλ2C, un polynˆomeOEa coefΘcients complexes de degr?e inf ?erieur ou?egalOEas. 2.

SoitM2 Mn(C)une matrice de rangr2 f1,...,ng.

(a) Justier qu'il existe deux matricesRetS,?el?ements deGLn(C), telles queM=RJrS. (b) On poseN=RKrS; exprimer, en fonction du complexeλ, le d?eterminant de la matrice

λM+N.

(c) On notesle rang deΦ(M). Montrer quedet(λΦ(M) + Φ(N))est, en fonction deλ2C, un polyn ˆomeOEa coefΘcients complexes de degr?e inf?erieur ou?egalOEas, puis en d?eduire que r6s, c"estOEa direrg(M)6rg(Φ(M)). 3. Montrer alors que l'endomorphismeΦest injectif puis justiΘer qu"il est inversible. 4. V ´erier que l'endomorphismeΦ-?conserve le d?eterminant. 5. Conclure que l'endomorphismeΦconserve le rang et pr?eciser toutes ses formes possibles. B. ?Etude des endomorphismes deMn(C)qui conservent le polynˆome caract?eristique Dans cette section,Φd?esigne un endomorphisme deMn(C)qui conserve le polynˆome car- act ?eristique, c"estOEa dire tel que

8M2 Mn(C), χΦ?M?=χM.

1. Montrer queΦconserve le d?eterminant et la trace. 2. En d ´eduire qu'il existe un couple(P,Q)d"?el?ements deGLn(C)tel queΦ =uP;QouΦ =vP;Q. 3.

Un tel couple(P,Q)ayant?et?e choisi.

(a) Montrer que, pour tout couple(i,j)d"?el?ements def1,...,ng,Tr(PEi;jQ) = Tr(Ei;j). (b) En d

´eduire queQ=P-?.

4. Pr ´eciser alors les endomorphisme deMn(C)qui conservent le polynˆome caract?eristique.

Epreuve de Math´ematiques II 2 / 4¡!

Concours National Commun - Session 2006 - MP

DEUXIOEEME PARTIE

Dans cette partie,Φd?esigne uneapplicationdeMn(C)dans lui mˆeme telle que, pour tout couple(A,B)d"?el?ements deMn(C), les matricesΦ(A)Φ(B)etABaient le mˆeme polynˆome caract ?eristique. 1. (a) Pour tout quadruplet(i,j,k,l)2 f1,...,ng?, calculer la valeur deTr(Φ(Ei;j)Φ(Ek;l)). (b)

Montrer alors que la famille

¡Φ(Ei;j)¢

?6i;j6nest une base deMn(C). 2.

SoientAetBdeux?el?ements deMn(C).

(a)

Montrer que, pour tout(i,j)2 f1,...,ng?,Tr¡¡Φ(A+B)¡Φ(A)¡Φ(B)¢Φ(Ei;j)¢= 0.

(b) En d

´eduire queΦ(A+B) = Φ(A) + Φ(B).

3. Montrer queΦest lin?eaire puis justiΘer que c"est un automorphisme deMn(C). 4. Montrer que, pour tout couple(i,j)d"?el?ements distincts def1,...,ng, la matriceEi;jest nilpotente et en d ?eduire qu"il en est de mˆeme pour la matriceΦ(Ei;j). 5. Dans la suite de cette partie, on noteraG= (gi;j)?6i;j6nla matrice telle queΦ(G) =In. (a) Justier que, pour toute matriceA2 Mn(C),χΦ?A?=χAG. (b) Montrer que, pour tout couple(i,j)d"?el?ements def1,...,ng, le polynˆome caract?eristique de la matriceEi;jGest?egalOEa(¡1)nXn-?(X¡gj;i). (c) En d ´eduire que la matriceGest diagonale et queG?=In. 6.

On noteΨl"endomorphisme deMn(C)d?eΘni par

8A2 Mn(C),Ψ(A) = Φ(AG).

(a) Montrer queΨconserve le polynˆome caract?eristique. (b) En d ´eduire qu'il existe une matriceP2GLn(C)telle que

8M2 Mn(C),Φ(M) =PMGP-?ou8M2 Mn(C),Φ(M) =PGtMP-?.

7. (a) Montrer que, pour tout couple(A,B)2¡Mn(C)¢?,Tr(AGBG) = Tr(AB). (b) En d

´eduire que, pour toute matriceB2 Mn(C),GBG=B.

(c) Montrer alors queGest une matrice scalaire et qu"il existeε2 f¡1,1gtel queG=εIn. 8. R ´eciproquement, montrer que siw=ε.uP;P¡?ouw=ε.vP;P¡?, avecP2GLn(C)etε=§1, alors l"endomorphismewdeMn(C)v?eriΘe bien la propri?et?e

8(A,B)2¡Mn(C)¢?, χw?A?w?B?=χAB.

TROISI

OEEME PARTIE

On rappelle qu"une matrice sym

?etriqueB2 Mn(R)est dite positive si, pour tout vecteurX deMn;?(R),tXBX>0; elle est dite d?eΘnie positive si, pour tout vecteurnon nulXdeMn;?(R), tXBX >0. On noteSn(R)le sous-espace vectoriel deMn(R)form?e des matrices sym?etriques;S?n(R)(resp S ??n(R)) d?esigne le sous-ensemble deMn(R)form?e des matrices sym?etriques positives (resp. d ?eΘnies positives). Epreuve de Math´ematiques II 3 / 4 Tournez la page S.V.P.

Concours National Commun - Session 2006 - MP

1.SoitA2Sn(R).

(a) Montrer qu'il existe une matrice orthogonalePet une matrice diagonaleDtelles que A=tPDP. Que repr?esentent pourAles coefΘcients diagonaux deD? (b) Montrer queAest positive si et seulement si toutes ses valeurs propres sont positives. (c) Montrer queAest d?eΘnie positive si et seulement si toutes ses valeurs propres sont strictement positives. 2.

SoitA2 Mn(R).

(a)

Pour tout r

´eelμ, exprimerSpR(A+μIn)en fonction deSpR(A). (b) En d ´eduire que siAest sym?etrique, alors il existeα2Rtel que, pour toutx > α, la matriceA+xInest d?eΘnie positive. Dans la suite de cette partie,Φd?esigne un endomorphisme deSn(R)v?eriΘant

Φ(S??n(R)) =S??n(R).

3. (a) Justier queIn2Φ(Sn(R))puis montrer que l"endomorphismeΦest surjectif. (b)

Justier queΦest un automorphisme deSn(R).

4. (a)

Montrer queS?n(R)est un ferm?e deSn(R).

(b)

Montrer queΦ(S?n(R)) =S?n(R).

5. Dans cette question, on suppose quen= 2et queΦ(I?) =I?. (a) Montrer que siA2S?(R)possOEede uneseulevaleur propre alorsΦ(A) =A. (b) SoitA2S?(R)une matrice qui possOEede deux valeurs propres distinctesλetμ; on suppose queλ > μ. i. Justier que la matriceA¡μI?est sym?etrique, positive et de rang1. ii. En d ´eduire que la matriceΦ(A)¡μI?est aussi sym?etrique, positive et de rang1 puis queμ2SpR(Φ(A)). iii. En utilisant la matrice¡A, montrer queλ2SpR(Φ(A)). (c) Conclure que, pour toute matriceA2S?(R),χΦ?A?=χA.

FIN DE L"?EPREUVE

Epreuve de Math?ematiques II 4 / 4FIN

Concoursmarocain2006:

MathsII,MP

MrMamouni:myismail@altern.org

PCSI-CPGEMedV

Casablanca-MarocSourcedisponiblesur:

c http://www.chez.com/myismail

CORRIGE

PRELIMINAIRES

1)a)OnaA=X

1k;ln a k;l E k;l ,donc: AE i;j =X 1k;ln a k;l E k;l E i;j =X 1k;ln a k;l l;i E k;j n Xk=1 a k;i E k;j car: l;i =0sil6=i =1sil=i E i;j A=X 1k;ln a k;l E i;j E k;l =X 1k;ln a k;l k;j E i;l n X l=1 a j;l E i;l car:quotesdbs_dbs5.pdfusesText_10